2014年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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绝密★启封并使用完毕前 2014 年北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1) 已知集合 A  { | x x 2  2 x  ， {0, 1, 2} B  0} ，若 A B  (A) {0} (B) {0, 1} (C) {0, 2} (D) {0, 1, 2} (2) 下列函数中，在区间 (0, } 上为增函数的是 (A) y x  1 (B) y =( x  1) 2 (C) y 2 x  (D) y  log ( 0.5 x  1) 开始输入 m,n 的值 , k m S   1 1 k m n   是输出 S 结束 1 k k  S S k  否 (3) 曲线 x        y  1 cos  2 sin  ，（为参数）的对称中心 (A) 在直线 2 x 上 y (B) 在直线 y   上 2 x (C) 在直线 y x  上 1 (D) 在直线 y x  上 1 (4) 当 7m  , 3n  时，执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 (A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840 (5) 设{ }na 是公比为 q的等比数列，则“ 1q  ”是“{ }na ”为递增数列的 (A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (6) 若 ,x y 满足 x   kx    y 2 0 y    2 0 y    0 且 z   的最小值为 4 ，则 k 的值是 y x (A) 2 (B) 2 (C) 1 2 (D)  1 2

(7) 在空间坐标系 O xyz  中，已知 (2,0,0) A ， (2, 2,0) B ， (0, 2,0) C ， (1,1, 2) D ，若 1S ， 2S ， 3S 分别表示三棱锥 D ABC  在 xOy ， yOz ， zOx 则坐标平面上的正投影图形的面积，则 (A) 1S = 2S = 3S (B) 1S = 2S 且 3 S S 1 (C) 1S = 3S 且 3 S S 2 (D) 2S = 3S 且 1 S S 3 (8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若 A同学每科成绩不低于 B同学，且至少有一颗成绩比 B高，则称 “A同学比 B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) 复数 21 i      1 i  _____ ．  (10) 已知向量 a  、 b 满足|  | 1 a   b  ， (2,1)  a   b   0 且，则| | _____ ． (11) 在设曲线 C经过点 (2,2) ，且 2 y 4 x 2 1  具有相同渐近线，则 C的方程是． (12) 若等差数列{ }na 满足 7 a  a 8  a 9 a  ， 7 0 a 10  ，则当 n  ______时，{ }na 的前 n项和最大． 0 (13) 把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A与产品 B相邻，且产品 A与产品 C不相邻，则不同的摆法有_____ 种． (14) 设函数 ( ) f x  A sin( 2  ) 3 ( 性，且 f  ( ) 2  f  - f  ( ) 6 ，则 ( ) f x 的最小正周期为．   （ , ,A 是常数， 0, A  x )  ），若 ( ) f x 在区间[ 0 上具有单调   ] 6 2 ,

三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 (15)（本小题 13 分）如图，在 ABC 中， B   3 ，（Ⅰ）求sin BAD ．（Ⅱ）求 BD ， AC 的长． AB  ，点 D在 BC边上，且 CD=2， 8 cos ADC  1 7 (16)（本小题 13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 22 15 12 23 24 12 12 8 8 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 20 客场 5 18 13 21 18 25 8 12 7 15 12 （Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，另一场不超过 0.6 的概率；（Ⅲ）记 x 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X为李明在这场比赛中的命中次数，比 ( E X 和 x 的大小。 )

(17)（本小题 14 分）如图，正方形 AMDE 的边长为 2，B，C分别为 AM 和 MD 的中点，在五棱锥 P ABCDE 中， F 为 PE 的中点，平面 ABC 与棱 PD ， PC 分别相较于点 G 、 H ．（Ⅰ）求证： / / AB FG ；  （Ⅱ）若 PA  平面 ABCDE ，且 PA=AE，求直线 BC与平面 ABF所成的角，并求线段 PH的长 P A G H F E B D C M (18)（本小题 13 分）已知函数 ( ) f x （Ⅰ）求证： ( ) 0 a  x  cos f x  ；（Ⅱ）若 sin x x x  sin x ， [0, x   ] 2  在 (0, b  ) 2 上恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值．

(19)（本小题 14 分）已知椭圆 C ： 2 x 22 y  ．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； 4 （Ⅱ）设 O为原点，若点 A在椭圆 G上，点 B在直线 2 y  上，且 OA OB ，求直线 AB与圆 2 x 2 y  的 2 位置关系，并证明你的结论． (20)（本小题 13 分）对于数对序列 1 1 ( P a b ， 2 a b ，…， ( ) ( ) , , 2 a b ， n ) , n T P 记 1 ( )  a 1 b  , 1 T P k ( )  b k  max{ T k ( ), P a 1  a 2   a k } 1  (2   ， n k ) 其中 max{ T k ( ), P a 1  a 2   a k } 表示 1( P kT ) a 和 1  a 2 1    两个数中最大的数． a k （Ⅰ）对于数对序列 (2,5) P ， (4,1) ，求 1( T P ， 2( T P ； ) ) （Ⅱ）记 m为四个数 a 、b 、c 、d 的最小值，对于两个数对 ( , )a b ，( , c d 组成的数对序列 ( , ) P a b ，( , c d ) ) 和 '( , P c d ， ( , )a b ，试分别对 m a 和 m b 时的情况比较 2( T P 和 2( T P 的大小； ') ) ) （Ⅲ）在由 5 个数对 (11,8) ， (5, 2) ， (16,11) ， (11,11) ， (4,6) 组成的有序数对序列中，写出一个数对序列 P使 5( T P 最小，并写出 5( T P 的值（只需写出结论）。 ) )

绝密★考试结束前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （5）D （2）A （3）B （4）C （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）  1 （11） 2 x 3 2 y 12  1 y 2   x （13）36 （10） 5 （12）8 （14） 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（I）在 ADC  中，因为 COS ADC  ，所以 1 7 sin ADC  4 3 7 。所以sin  BAD  sin(  ADC B   ) sin   4 3 7  1 2 cos 1 7 B  3 2  3 3 14 ADC cos ADC sin B     （Ⅱ）在 ABD 中，由正弦定理得 BD  AB BAD sin   sin  ADB 8   3 3 14 4 3 7  3 ，在 ABC 中，由余弦定理得

2 AC  2 AB  BC 2 2  AB BC  cos B 49  1 2      2 8 5  2 8  2 5 所以 AC  7 （16）（共 13 分）解：（I）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. （Ⅱ）设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6”。则 C= AB AB ，A,B 独立。根据投篮统计数据， ( ) P A  3 5 , ( P B )  . 2 5 ( P C )  )  ( P AB 2 2 5 5     ) ( P AB 3 3 5 5 13 25  所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 . 13 25 x . （Ⅲ） EX （17）（共 14 分）解：

（I）在正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以 AB ∥ DE 。又因为 AB  平面 PDE，所以 AB ∥平面 PDE，因为 AB  平面 ABF，且平面 ABF  平面 PDF FG 所以 AB ∥ FG 。，（Ⅱ）因为 PA  底面 ABCDE,所以 PA AB ， PA AE . 如图建立空间直角坐标系 Axyz ,则 , (1,0,0) B , (2,1,0) C , (0,0,2) P , F (0,1,1) , (0,0,0) A  BC  (1,1,0) . 设平面 ABF 的法向量为 ( , , ) x y z  n ，则    n AB    n AF     0, 0, 即 0, x     y z  0. 令 z  ，则 1, y   。所以 1 n  (0, 1,1)  ，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a, 则 sin a  cos  , n BC   n BC   n BC  1 2 。设点 H 的坐标为 ( , u v w 。 ). , 因为点 H 在棱 PC 上，所以可设  PH  PC  (0    1), ，即 ( , u v w ,  2)   (2,1, 2). ,    v w   。 2 2  因为 n 是平面 ABF 的法向量，所以  0 ，即 (0, 1,1) (2 ,   ,2 2 ) 0  。    u  。所以 2 ,   n AH 4 2 2 , 3 3 3 ). ( , 。解得  ，所以点 H 的坐标为 2 3 所以 PH  ( 4 3 2 )  ( 2 3 2 ) (   4 3 2 )  2 （18）（共 13 分）解：（I）由 ( ) f x  x cos x  sin x 得

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