2022年全国甲卷高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2022 年全国甲卷高考理科数学真题及答案注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若 1 z    3i ，则 z  1 zz  （） A． 1   3i B． 1   3i C．   1 3 3 i 3 D．   1 3 3 i 3 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：）则（ A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．设全集 U    { 2, 1,0,1,2,3} ，集合 A   { 1,2}, B   2 x x ∣  4 x   3 0  A．{1,3} B．{0,3} C．{ 2,1}  D．{ 2,0}  ，则 ( U A B  ð  ) （） 4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）

A．8 B．12 C．16 D．20 5．函数   y x 3  x 3   cos x 在区间    π π, 2 2    的图像大致为（） A． C． B． D． 6．当 1x  时，函数 ( ) f x 1 2  7．在长方体 A． 1 B．   a ln x  取得最大值 2 ，则 (2) f   （） b x C． 1 2 D．1 ABCD A B C D 1 1 1 1 中，已知 1B D 与平面 ABCD 和平面 1 1 AA B B 所成的角均为30 ，则（） A． AB  2 AD C． AC CB 1 B．AB与平面 1 1 AB C D 所成的角为30 D． 1B D 与平面 1 BB C C 所成的角为 45 1 8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以 O为圆心，OA为半径的圆弧，C是 AB的中点，D在 AB 上，CD AB ．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值 s 的计算公式： s AB   2CD OA ．当 OA   2, AOB  60  时， s  （）

A．11 3 3  2 B．11 4 3  2 C． 9 3 3  2 D． 9 4 3  2 9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π ，侧面积分别为 S甲和 S乙，体积分别为V甲和 V乙．若 =2 甲 S S 乙，则 =V 甲 V 乙（） A． 5 B． 2 2 C． 10 D． 5 10 4 10．椭圆 C : 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的左顶点为 A，点 P，Q均在 C上，且关于 y轴对称．若直线 ,AP AQ 的斜 0) b 率之积为 1 4 A． 3 2 ，则 C的离心率为（） B． 2 2 C． 1 2 D． 1 3 11．设函数 ( ) f x  sin x    π 3    在区间 (0, π) 恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（） B． 5 19, 3 6      C． 13 8, 6 3       D． 13 19, 6    6    A． 5 13, 3 6      12．已知 a  31 32 , b  cos , c  4sin 1 1 4 4 B．b a c   ，则（）   A． c b a 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 C． a b c   D． a c b   13．设向量 a ， b 的夹角的余弦值为 1 3 ，且| a | 1,|  b ，则 (2 | 3  a b b _________． )   14．若双曲线 2 y  2 x m 2  1( m  的渐近线与圆 2 x 0)  2 y  4 y   相切，则 m  _________． 3 0 15．从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为________．

16 ．已知 ABC△ 中，点 D 在边 BC 上，  ADB  120 ,  AD  2, CD  2 BD ．当 AC AB 取得最小值时， BD  ________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）记 nS 为数列 na 的前 n项和．已知 n 2 S n   n 2 a n 1  ．（1）证明： na 是等差数列；（2）若 4 a a a 成等比数列，求 nS 的最小值． 7 9 , , 18．（12 分）在四棱锥 P ABCD  中， PD  底面 ABCD CD AB AD DC CB ∥   , ,  1, AB  2, DP  3 ．（1）证明： BD PA ；（2）求 PD与平面 PAB 所成的角的正弦值． 19．（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X表示乙学校的总得分，求 X的分布列与期望． 20．（12 分）  的焦点为 F，点  0) ,0 D p ，过 F的直线交 C于 M，N两点．当直线 MD垂直于 x 设抛物线 C y : 2  2 ( px p 轴时， MF  ． 3 （1）求 C的方程；（2）设直线 ,MD ND 与 C的另一个交点分别为 A，B，记直线 ,MN AB 的倾斜角分别为 ,．当  取得最大值时，求直线 AB的方程． 21．（12 分）

已知函数  f x   x e x  l n x   ． x a （I）若   0 f x  ，求 a的取值范围；（2）证明：若   f x 有两个零点 1 2 ,x x ，则 1 2 x x  ． 1 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为   x    y 2 t  6 t ，（t为参数），曲线 2C 的参数方程为 s    x      y  2  6 s ，（s 为参数）．（1）写出 1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 3C 的极坐标方程为 2cos   sin  ，求 3C 0 与 1C 交点的直角坐标，及 3C 与 2C 交点的直角坐标． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知 a，b，c均为正数，且 2 a  2 b  24 c  ，证明： 3 （1） a b   2 c  ； 3 （2）若 2b c ，则 1 1 3   ． a c

绝密★启用前注意事项：理科数学参考答案 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. C 2. B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 11 14. 3 3 15. 6 35 . 16. 3 1 ## 1+ 3  三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分． 17. （1）解：因为 n 2 S n   n 2 a n 1  ，即 2 S n  2 n  2 na n  ①， n 当 2n  时， 2 S n 1    n  2  1  2  n   1 a n 1    n  1  ②， ①  ②得， 2 S n  2 n  2 S n 1    n  2  1  2 na n   n 2  n   1 a n 1    n  1  ，即 2 a n  2 n 1 2   na n  2  n   1 a  1 n 1  ，即  2 n   1 a n  2  n   1 a n 1   2  n  1  ，所以 a n a  n 1 1  ， 2n  且 N* n ，

所以 na 是以1为公差的等差数列．（2） 78 ． 18. （1）证明：在四边形 ABCD 中，作 DE AB 于 E ，CF AB 于 F ，因为 / / CD AB AD CD CB   ,  1, AB  ， 2 所以四边形 ABCD 为等腰梯形，所以 AE BF 故 DE  ， 3 2  ， 1 2 BD  2 DE  2 BE  ， 3 2 2   ，，，  AB 所以 2 AD BD 所以 AD BD 因为 PD  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ，所以 PD BD 又 PD AD D 所以 BD  平面 PAD ，又因 PA  平面 PAD ，所以 BD PA ；（2） 5 5  ， . 19. （1）0.6 ；（2）分布列见解析，  E X   13 . 【解析】依题可知， X 的可能取值为 0,10,20,30 ，所以，  P X  0  0.5 0.4 0.8 0.16    ,  P X  10   P X  20   P X  30  0.5 0.4 0.8 0.5 0.6 0.8 0.5 0.4 0.2 0.44          ， 0.5 0.6 0.8 0.5 0.4 0.2 0.5 0.6 0.2 0.34          ， 0.5 0.6 0.2 0.06    . 即 X 的分布列为

X P 0 0.16 10 0.44 20 0.34 30 0.06 期望  E X    0 0.16 10 0.44 20 0.34 30 0.06 13        . 20. （1） 2 y x ； 4 （2） : AB x  2 y 4  . 21. 已知函数  f x   x e  x ln x （1） ( e  , 1]   ． a x （2）由题知,  f x 一个零点小于 1,一个零点大于 1  x 不妨设 1 1 < < x 2 要证 1 2 x x x  ,即证 1 1  1 x 2 x 因为 1 1, x 2  (0,1) ,即证  1 f x  f    1 x 2    因为  f x 1    f x 2  ,即证  2 f x     f 1 x 2    即证即证 x e x x e x  ln x   x e x 1 x  ln x   1 x 0, x   (1, ) 1 e xx    2 ln   x  1 2    x  1 x        0 下面证明 1x  时， 1 e xx  x e x  0,ln x  1 2    x  1 x     0 设 ( ) g x  1 x  x e , x  ， 1 x e x

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