上海电力大学-数值计算方法上机习题.pdf-资料库

上海电力大学数值计算方法上机实习报告学院：自动化工程学院专业：电气系统检测与控制课程名称：数值计算方法学生姓名：尹申学号： 18104049 指导老师：黄建雄 20 19 年 5 月 25 日

上海电力大学自动化工程学院实验一 1．设，（1）由递推公式，从 , 出发，计算；（2）， , 用，计算；（3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。解答过程：（1）创建一个名为 shangji_01_1 的 m 脚本，输入代码如下： clc clear; I=0.1822; for n=1:20 I=-5*I+1/n; fprintf('%12.8f\n',I) end fprintf('\n 当I0=0.1822时，I20的值为：%12.8f\n\n',I) 显示结果为： I=0.1823; for n=1:20 I=-5*I+1/n; fprintf('%12.8f\n',I) end fprintf('\n 当I0=0.1823时，I20的值为：%12.8f\n',I) 即当即当时，实验结果约为-1.1593e+10；时，实验结果约为-2.0558e+09。· 1 +=105dxxxInnnIInn151+−=−0=0.1822I0=0.1823I20I20=0I20=10000InIInn515111+−=−−0I0=0.1822I0=0.1823I

上海电力大学自动化工程学院（2）创建名为 shangji_01_2 的 m 脚本文件，输入代码如下： clear all; clc; I=0; for n=20:-1:1; I=(1/5)*(-I+1/n); fprintf('%12.8f\n',I) end fprintf('\n 当I20=0时，I0的值为：%12.8f\n\n',I) 显示结果如下： I=10000; for n=20:-1:1; I=(1/5)*(-I+1/n); fprintf('%12.8f\n',I) end fprintf('\n 当I20=10000时，I0的值为：%12.8f\n',I) （3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。在（1）中计算值与真值之间的误差为：即每迭代一步，误差都会被放大为原来的五倍，随着迭代次数的增多，误差增大得越来越快。在（2）中计算值与真值之间的误差为：每迭代一步，误差缩小为原来的 5 倍，随着迭代次数的逐渐增多，迭代结果越来越接近精确值。 2 ()*002211*1*11*5...5551515IIeeIInInIIIennnnnnnnnn−====−=+−−+−=−=−−−−−−()****111515151515151nnnnnnnnnIIIInInIIIe−=−=+−−+−=−=−−−nneeee5151512210====

上海电力大学自动化工程学院实验二 2．求方程的近似根，要求，并比较计算量。（1）在[0，1]上用二分法；（2）取初值，并用迭代；（3）加速迭代的结果；（4）取初值，并用牛顿迭代法；（5）分析绝对误差。解答过程：(1)用二分法： clc clear close all %二分法 a=0;b=1;i=1; f=@(x)( exp(x)+10*x-2);%@是定义函数句柄的运算符,相当于建立了一个函数文件 c=(a+b)/2;%取区间中点 while abs(c-a)>0.0005 if f(a)*f(c)<0 b=c; 运行结果如下图所示： c=(a+b)/2; elseif f(c)*f(b)<0 a=c; c=(b+a)/2; end i=i+1; end fprintf('二分法运算次数为%d\n',i) fprintf('二分法计算结果为%.15f\n',c) (2)用不动点迭代法：将方程写成等价方程的形式，再用进行迭代，当迭代误差时停止迭代，得到近似解。 3 0210=−+xex41105−+−kkxx00=x1021xkex−=+00=x0210=−+xex102xex−=1021kxkex−=+41105−+−kkxx

上海电力大学自动化工程学院 clc clear close all %不动点迭代 x=0;%x的初值为0 for k=1:1:50 %规定迭代次数的上限 g1=x; %g1=x(n-1) x=(2-exp(x))/10; 运行结果如下图所示： g2=x; %g2=x(n) if abs(g2-g1)<0.0005; fprintf('迭代次数为%i\n',k) fprintf('迭代结果为%.15f\n',g2) break; end end (3)用加速迭代法：设有不动点迭代，则 Aitken 加速的迭代方程为当迭代误差时停止迭代，得到近似解。 clc clear close all %加速迭代 k=0; x=0; while 1 k=k+1; y=(2-exp(x))/10; z=(2-exp(y))/10; 运行结果如下图所示： g1=x; x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);% 加速 g2=x; if(abs(g2-g1) <0.0005) % 如果满足精度要求跳出while循环 fprintf('迭代次数%d\n',k); fprintf('迭代结果%.15f\n',x); break; end end (4)用牛顿迭代算法：记要求解的非线性方程为，则牛顿迭代法的迭 4 1021kxkex−=+2+1(),(),1,2,3...(),2kkkkkkkkkkkyxzykyxxxxyx===−=−−+（）41105−+−kkxx0210)(=−+=xexfx

代方程为: 上海电力大学自动化工程学院当迭代误差时停止迭代，得到近似解。代码如下所示： clc clear close all %牛顿迭代算法 f=@(x)( exp(x)+10*x-2); f_diff= @(x)(exp(x)+10); n=0; x=0; while 1 n=n+1; 运行结果如下图所示： g1=x; x=x-f(x)/f_diff(x); g2=x; if(abs(g2-g1) < 0.0005) fprintf('迭代次数为:%d\n',n); fprintf('迭代结果为:%.15f\n',x); break; end end (5)分析绝对误差：在命令行窗口中利用如下代码求出方程的精确解：迭代方式二分法迭代不动点迭代 atiken 加速迭代牛顿迭代各方法绝对误差分析：迭代结果迭代次数绝对误差 11 4 2 2 0.090332031250000 1.930700573e-4 0.090512616674365 1.248463289e-5 0.090483753435776 4.134787148e-5 0.090525108583390 7.276135e-9 二分法仅仅是根据端点函数值符号性质来判断根的大致位置（压缩常数 L=0.5），因此收敛速度慢而且误差也相对较大；不动点迭代法是线性阶收敛，由迭代方程可知，其压缩常数，且压缩常数较小，因 5 )(')(1kkkkxfxfxx−=+41105−+−kkxx1021xkex−=+12718.010)('max]1,0[==exLx

上海电力大学自动化工程学院此收敛速度较快；Atiken 加速迭代法为平方阶收敛，且艾特肯迭代加速法用到了相邻三项，和用于迭代，迭代函数二阶连续可导，自然收敛速度比不动点迭代要快得多；采用牛顿迭代法需运算 2 次，其迭代序列收敛速度是不低于二阶的（对于求单根是二阶收敛，即本题所出现的情况；而对于求重根的问题就只有线性收敛），所以对于本题中的牛顿法，收敛速度也是非常快的。 6 1kx+kx1−kx

上海电力大学自动化工程学院实验三 3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 x y 10 11 12 13 14 15 16 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76 试从中找出使用次数和容积之间的关系，计算均方差。（用拟合）解答过程：（1）将拟合曲线进行简单变换；（2）令 ,若要拟合曲线，则要求最小，也即满足以下等式：由由上式可得法方程组：（3）根据法方程组编写程序计算 a，b，c 的值： ①创建名为 shangji_03 的 m 脚本文件，代码如下： clc clear close all x=[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];%表中x的值 y=[6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 ... 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 10.76];%表中y的值 C=zeros(3); D=zeros(3,1); for k=1:15 C(1,1)=C(1,1)-x(k)*x(k); C(1,2)=C(1,2)-x(k); 7 axbycx+=+()yxcaxb+=+()1521,,[y(xc)(axb)]kkkkabc==+−+()cba,,000abc===()()()()()()()()()=+−+=+−+−=+−+−===020202151151151iiiiiiiiiiiiiibaxcxyybaxcxybaxcxyx()()()()()()()()()()()()−−−=−−−−−−============15121511512151215115115115115115115115121kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkyxyxyxcbayyyxyxyxxx

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