2009年全国1高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年全国 1 高考文科数学试题及答案本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件 A B，互斥，那么球的表面积公式 ( P A B  )  ( ) P A  ( P B ) S  2 4π R 如果事件 A B，相互独立，那么其中 R 表示球的半径 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么球的体积公式 V  3 4 π R 3 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径 ( ) P k n  k C P k n (1  P ) n k  ( k  0 1,2 n ，，， ) 一、选择题（1） sin 585 o 的值为 (A)  2 2 (B) 2 2 (C)  3 2 (D) 3 2 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解： sin 585 o  sin( 360 o  o 225 )  sin( 180 o  o 45 )  sin 45 o  2 2 ，故选择 A。 (2)设集合 A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B   ，则集合 ( U A B ð ) 中

的元素共有 (A) 3 个（B） 4 个（C）5 个（D）6 个【解析】本小题考查集合的运算，基础题。（同理 1）解： A B  {3,4,5,7,8,9} ， A B   {4,7,9}  ð U ( A B  ) {3,5,8}  故选 A。也可用摩根定律： ( 痧 U A B  )  ( ) A  ( B ) U U （3）不等式 x x   1  1 1 的解集为（A） x  （C） 0  1 x   x 1 x   x x   1    0 （B） x  （D） 0  1 x  x x  0 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解： x x   1 1 |1  1 x | | x  |1 x ( 2 )1  ( x  2 )1  4 x 0 0 x 0 ，故选择 D。（4）已知 tan a =4,cot= (A) 7 11 (B)  7 11 1 3 (C) ,则 tan(a+)= 7 13 (D)  7 13 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题 tan  ， 3 tan( )    tan  tan    tan tan   1  34  12 1   7 11 ，故选择 B。（5）设双曲线 2 2 x a 离心率等于－＝1 ＞，＞的渐近线与抛物线  a 0 b 0  2 2 y b y＝x ＋相切，则该双曲线的 2 1 （A） 3 （B）2 （C） 5 （D） 6 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线 2 2 x a －＝1 ＞，＞的一条渐近线方程为  a 0 b 0  2 2 y b y  ，代入抛物线方程 bx a 整理得 2 ax  bx  a 0 ，因渐近线与抛物线相切，所以 2 b 4 2  a  0 ，即

2 c  5 2 a  e 5 ，故选择 C。（6）已知函数 ( ) f x 的反函数为 ( ) 1 g x ＝＋2lgx ＞，则  x 0  f )1(  g )1(  （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令 lg21  故选择 C。 x 得  1 1x ，即 f )1(  1 ，又 g )1(  1 ，所以 f )1(  g )1(  2 ，（7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种（B）180 种（C）300 种（D）345 种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有 CCC 2 5 1 6 1 2  CCC 1 5 1 3 2 6  345 ，故选择 D。（8）设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |  | b |  | |, ac  b c ，则  ba,  （A）150° （B）120° （C）60° （D）30° 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知 a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且 a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。（9）已知三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的侧棱与底面边长都相等， 1A 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 1CC 所成的角的余弦值为 (A) 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。（同理 7）解：设 BC 的中点为 D，连结 1A D，AD，易知   1A AB 即为异面直线 AB 与 1CC 所成的角, 由三角余弦定理，易知 c os  cos  A AD 1 co  s DAB  AD AD A A AB 1   3 4 .故选 D (10) 如果函数 3cos(2  y ) x   的图像关于点 (A)  6 (B)  4 (C)  3  2 ,0) 中心对称，那么  的最小值为 4(  3 (D)

【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数 y ＝3  cos 2  x  ＋的图像关于点，0 中心对称    4   3  13 (  6 42    3      k  2      k k Z    由此易得 min ) | |  6 .故选 A （11）已知二面角 l   为 600 ，动点 P、Q 分别在面 ,内，P 到 的距离为 3 ，Q 到的距离为 2 3 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。（同理 10）解:如图分别作 QA   于 , A AC l C PB 于  ,   B 于 , PD l D  于，连 , CQ BD 则  ACQ   PBD  60 ,  Q AQ  2 3, BP  ， 3  AC PD   2 又  PQ  2 AQ AP  2  12  2 AP  2 3 C B A D P 当且仅当 AP  ，即 A 0 点与点重合时取最小值。故答案选 C。 P （12）已知椭圆 2 y 1  的右焦点为 F,右准线l ，点 A l ，线段 AF 交 C 于点 B。若 2 xC : 2  ,则 AF =  FA  3 FB  (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解：过点 B 作 BM l 于 M,并设右准线l 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意  FA  3 FB  , 故 | BM  .又由椭圆的第二定义,得 | 2 3 | | BF  2 2   3 2 2 3 AF | |  2 .故选 A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修  选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共 10 小题，共 90 分．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（13） ( x y 10 ) 的展开式中， 7 3 x y 的系数与 3 x y 的系数之和等于_____________. 7 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理 13）解: 因 T r  1  )1( r r xC 10 10  r r y 所以有 3 C 10  (   7 C 10 )   3 2 C 10   240 （14）设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS 。若 9 S  ，则 2 a 72  a 4  a 9  _______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前 n 项和，基础题。（同理 14）解:  na 是等差数列,由 9 S  72 ,得   S 9 9 , a 5 a  5 8 a  2  a 4  a 9  ( a 2  a 9 )  a 4  ( a 5  a 6 )  a 4  3 a 5  。 24 (15)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M ，若圆 M 的面积为3，则球O 的表面积等于__________________. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为 R ，圆 M 的半径为 r ，则所以 2 R  4 2 4 R   16  。 2 r  3  ，即 2 r 3 由题得 2 R  R ( 2 2 )  3 ， l （16）若直线 m 被两平行线 1 : x 则 m 的倾斜角可以是    1 0 y l 与 2 : x    3 0 y 所截得的线段的长为 22 ， ①15 ②30 ③ 45 ④ 60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为 d |13|  11   2 ，由图知直线 m 与 1l 的夹角为 o30 ， 1l 的倾斜角为 o45 ，所以直线 m 的倾斜角等于 30 o 0 45  0 75 或 45 o 0 30  0 15 。故填写①或⑤ 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ．．．．．．．．．) (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效设等差数列{ na }的前 n 项和为 ns ，公比是正数的等比数列{ nb }的前 n 项和为 nT ，已知 a 1  1, b 1  3, a 3  b 3  17, T 3  S 3  求{a 12, },{ } n n b 的通项公式. 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和，基础题。解：设 na 的公差为 d ，数列 nb 的公比为 0q ， a 由 3 b 3  得 17 1 2  d 2  3 q  17 T 3 S 3  得 2 q 12    q d 4 由①②及 0 q  解得 q  ,2 d  2 ① ② 故所求的通项公式为 a n   1 2( n 1)   2 n  1, b n   3 2 n 1  。 (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）在 ABC 中，内角 A B C、、的对边长分别为 a b c、、 . 已知 2 a 2  c  ，且 2 b sin B  4cos A sin C ，求b . 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得 2 a  2 c  2 b  2 bc cos A ，又 2 a  2 c  ,2 bb  0 ， 2 b  2 bc cos A  2 b ，   2 sin sin B  即 b  2 c cos 由正弦定理得 A b c 又由已知得 sin sin sin 所以 4 cos B C b 4cos A   c ， A ① B C 4cos A sin C ②

故由①②解得 4b (19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 S ABCD  中，底面 ABCD 为矩形， SD  底面 ABCD ， AD  2 ， DC SD  ，点 M 在侧棱 SC 上， 2 ABM   60 （Ⅰ）证明： M 是侧棱 SC 的中点；（Ⅱ）求二面角 S AM B   的大小。（同理 18）解法一：（I）作 ME ∥CD 交 SD 于点 E，则 ME ∥ AB ， ME  平面 SAD 连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形作 MF AB ，垂足为 F，则 AFME 为矩形设 ME x ，则 SE x ， AE  2 ED AD  2  (2  x 2 )  2 MF AE   (2  2 x )  2, FB 2   x 由 MF FB   tan 60 , 。得 (2  x ) 2   2 3(2  x ) 解得 1x  即 1ME  ，从而 1 2 所以 M 为侧棱 SC 的中点 ME  （Ⅱ） MB  2 BC MC  DC 2  ，又 2  ABM  60 ,  AB  2 ,所以 ABM 为等边三角形，又由（Ⅰ）知 M 为 SC 中点 SM  2, SA  6, AM  ，故 2 SA 2  2 SM AM  2 ,  SMA   90 取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则为二面角 S AM B  的平面角  BG AM GH AM   , ,由此知 BGH 连接 BH ，在 BGH 中， BG  3 2 AM  3, GH  1 2 SM  2 2 , BH  AB 2  AH 2  22 2

所以 cos  BGH  2 BG GH    2 2 BG GH  BH 2   6 3 二面角 S AM B  的大小为  arccos(  6 3 ) 解法二: 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设 ( 2,0,0) A ，则 ( 2,2,0), B C (0,2,0), S (0,0,2) （Ⅰ）设 MC   ( 0) ,则 SM  2 2  ), 1     (0,2,0),  1 , M (0, 又 AB MB  ( 2, MB AB ,  , 2 2  )      1 1 60 故 MB AB MB |   |  | AB | cos60  即 4    1 ( 2) 2  2 )   ( 1 2  2 2  )   ( 1 解得 1 ，即 SM MC 所以 M 为侧棱 SC 的中点（II）由 (0,1,1), M ( 2,0,0) A ，得 AM 的中点 G ( 2 1 1 , 2 2 2 , ) 又 GB  ( 2 3 2 2 , ,  1 2 ), MS  (0, 1,1),  AM (   2,1,1) GB AM   0, MS AM   0 所以因此 GB AM MS  ,  AM ,GB MS 等于二面角 S AM B  的平面角  cos GB MS ,  | GB MS GB MS   | |   | 6 3 所以二面角 S AM B  的大小为  arccos(  6 3 )

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