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借助 ANSYS 优化设计声学换能器莫喜平中国科学院声学研究所

编写说明本讲义是在 2004 年“现代声纳技术讲座”—《用 ANSYS 有限元软件模拟分析声学换能器》基础上进行完善充实而成。讲座完成后由于一些学者参考本讲义而引用不方便以及有扩大交流面的想法，故此将该讲义的主体内容凝练成论文公开发表（参考文献 1），对原讲义进行较详细文字加工和修订一些打印错误。同时近些年 ANSYS 软件经过升级和扩充系列功能，但用于换能器分析的模块并没有增加新内容，所以本讲义在内容安排上有关 ANSYS 软件操作及水声换能器方面的建模举例等内容基本保持第一版讲义的原貌，而删掉关于几个浅显问题讨论的内容。近些年不少超声领域的学者与本人探讨 ANSYS 软件应用的问题，所以笔者考虑水声换能器建模的讨论已经内容较多，有必要将超声换能器的分析内容及分析方法做些介绍，因此本讲义新增的第五章内容即是从纵向换能器优化的实例入手，结合超声换能器设计中所关注的技术问题，展开一系列计算与讨论。其中不乏有笔者初浅的处理思路和分析方法，与各位学者共勉，同时也希望得到您的批评指导及各方面的宝贵意见。莫喜平 2008 年 6 月于北京

借助 ANSYS 优化设计声学换能器目录第一章 ANSYS 有限元软件简介 1 1.1 ANSYS 软件应用于声学及换能器领域解决的具体问题 1 1.2 ANSYS 软件简介 1 第二章 ANSYS 有限元软件设计换能器的基本理论 3 2.1 有限元法分析换能器机电耦合问题的数理基础 3 2.2 ANSYS 有限元软件用于换能器分析的基本理论 4 2.3 ANSYS 有限元软件用于换能器分析的一般步骤 5 2.4 利用 ANSYS 软件来解决磁致伸缩机电耦合问题 7 第三章 ANSYS 有限元软件分析换能器的基本过程 11 3.1 模型简化——准物理模型 11 3.2 建模——有限元模型的生成 12 3.2.1 几何模型的构建 12 3.2.2 属性－从几何模型到有限元模型 13 3.3 求解——解有限元方程 16 3.3.1 求解选项 16 3.3.2 施加载荷 16 3.4 后处理——提取变量参数、获得问题答案 17 第四章换能器分析模拟实例 18 4.1 压电材料参数与坐标变换 18 4.2 压电换能器模拟分析实例——纵向换能器发射性能分析 20 4.3 几种常见类型压电换能器的分析建模实例 36 第五章纵向换能器结构优化与设计 45 5.1 纵向换能器压电堆优化的新探讨 45 5.2 双激励纵向换能器的结构弹性与小型低频宽带换能器的设计 51 5.3 换能器有载谐振频率及阻抗分析的流体模型简化处理方法 56 5.3.1 水声换能器简化流体模型分析实例 56 5.3.2 超声清洗换能器简化流体负载模型分析实例 58 参考文献 63

莫喜平：借助 ANSYS 优化设计声学换能器第一章 ANSYS 有限元软件简介 1.1 ANSYS 软件应用于声学及换能器领域解决的具体问题 ANSYS 软件是目前比较流行的大型有限元分析软件之一，其 Multiphysics 模块可以分析解决多学科问题，如：结构、力学、热学、流体、电磁场以及任意两种或两种以上物理场之间的耦合问题。近年来工程应用领域对多物理场进行耦合求解的实际问题比较多，分析问题时经常需要考虑两个或多个物理场之间耦合来更真实地模拟物理过程和工程实际， ANSYS Multiphysics 提供了一个易于应用的多物理场求解分析模块，包括压电分析、热－结构应力分析、热－电耦合分析、流体－结构耦合分析、磁－热分析、磁－结构分析、微机电系统(MEMS)分析等。与声学及换能器有关的问题分析模拟几乎需要用到以上各种分析场模型，充分体现了声学与换能器涉及学科领域之宽、学科交叉内容丰富的特点，如：结构力学分析——分析换能器结构振动模态、基本振型、静态应力分析、动态应力分析、结构响应等等。应用领域包括进行预应力计算与预应力结构设计（静力分析）、换能器结构耐静水压设计（静力分析）、换能器本征频率及基本振型计算（模态分析）、换能器机械振动极限（静力分析、谐波响应分析）、超声换能器变幅杆设计（静力分析、模态分析）、结构减震设计（谐波响应分析）、声学目标频谱特性（模态分析、谐波响应分析）、固体中声场及波动问题（瞬态分析、谐波响应分析）等等。热分析——分析换能器热极限、超声换能器热效应等等。流体分析——分析声场分布，单纯流体分析应用较少，主要应用流体－结构耦合计算有关结构声辐射及换能器响应等等。磁场分析——用于磁性换能器结构体中的磁场计算及磁路设计。电磁场分析——在声学问题分析中应用不多，在 ANSYS 早期版本中，有利用电磁场类比解决声学问题的应用实例。耦合场分析——在声学及换能器领域应用十分广泛，是换能器设计、结构声辐射等问题分析的重要手段，主要有压电耦合问题（换能器领域中涉及机电转换耦合的一切分析问题）、流体－结构耦合问题（声学换能器在流体介质中建立声场的分析、结构声辐射问题）以及压电－流体－结构耦合分析问题。压电－流体－结构多场耦合分析是换能器分析中的关键过程（一般进行谐波响应分析），通过这种耦合分析可以计算换能器的电声特性：如换能器的发射响应曲线、换能器的阻抗特性、发射（接收）指向性、换能器阵互辐射特性、辐射效率、接收灵敏度曲线、响应带宽等。通过计算上述电声转换参数及声场分布特性，可以设计符合技术状态要求的换能器结构，如匹配层换能器、前盖板弯曲耦合宽带纵向换能器、大开角换能器、窄波束换能器、低频单向换能器等等。关于换能器模拟分析的基本过程将在后续章节中以实例形式进行详细讲析。 1.2 ANSYS 软件简介下面简要介绍一下 ANSYS 软件，便于大家了解软件的全貌，方便使用和更有效地处理好实际具体问题以及灵活运用软件进行换能器优化设计。 ANSYS 是目前比较流行的有限元分析软件之一，它能解决工程中诸多门类、诸多学科中形形色色的实际问题，功能非常全面，如：结构力学：静力分析、模态分析、谐波响应分析、谱分析、瞬态分析，结构屈曲、蠕变、塑性、大变形、断裂及疲劳等结构非线性分析。 - 1 -

热学：传导、对流、辐射问题的稳态分析、瞬态分析，热－结构耦合等。电磁场：静电场分析、稳恒磁场分析、瞬态电磁场分析以及机－磁耦合静力莫喜平：借助 ANSYS 优化设计声学换能器学或动力学问题等。流体力学：流体静力学分析、流体动力学分析、湍流及流体中声场分析等等。耦合场：可以解决多种物理场之间的相互耦合问题，如：压电耦合、热－结构耦合、磁－热耦合、磁－结构耦合、流体－结构耦合、热－电磁耦合以及任意两种或两种以上物理场之间的耦合问题等等。与换能器设计有关的问题主要是结构分析、流体－结构耦合分析、压电耦合分析，有的时候还要用到电场、磁场分析、热分析等。 ANSYS 软件经过不断升级，随着版本提高，软件的建模功能和求解问题的快捷方便性不断提高，可分析解决的工程实际问题也不断增加，几乎渗透到应用学科的各个角落，如材料、机械、建筑、汽车、能源、水利、信息、动力、仪表、航天、海洋、压力容器、地球物理、热物理、武器、传感器、动物、人体等等。就目前推出的版本，除了通用的建模工具、界面、后处理器扩充以外，声学及换能器方面涉及的模块增加的新功能不多，大家在使用 ANSYS 解决声学及换能器问题时，6.x 版本以上就完全可以了。下面简要介绍一下 8.x 版本扩充的建模工具、界面、后处理器等新功能。新的多物理场求解器是一个通用的、全自动的序贯耦合多场求解器，适用于 ANSYS Multiphysics 中所有场分析能力之间的耦合计算。从技术上讲，多物理场求解器是一个交叉求解器，有三个嵌套循环：时间、交叉和场循环。多物理场求解器一个极为重要的特点是各物理场间的界面网格允许不一致，这样，各用户可以独立地建模和执行他们的分析。直接耦合场单元：新的 22X 系列单元使 ANSYS 的多物理场直接耦合分析技术具有更好的一致和易用性，22X 序列单元是“真正的”耦合场单元，因为它在单元内部实现物理场之间的耦合作用，进行直接耦合场分析。如 SOLID226，选择压电或压阻选项，进行相关耦合问题的建模分析——压力传感器、传感器、加速度计、麦克风等。改进后的流体－结构耦合 FSI 的网格重划分功能使多物理场求解器能够解决边界或场域形状发生较大变化的流体－固体耦合问题。模态综合分析技术：组件模态综合（CMS）是一种子结构耦合分析方法，常用于超大型模型的结构动力分析。网格划分功能增强：在“Element Shape Control（单元形状控制）”中增加了一个“Hex Dominant（六面体单元为主）”选项，对实体结构划分非结构化的六面体网格。该功能对于那些不能通过“Sweep（扫掠）”或其它直接的方式划分成六面体网格的复杂几何体是非常有用的，对于那些能分割成多个可“Sweep（扫掠）”结构的复杂几何体，或很薄的复杂几何体，该功能的意义就不是很大。还有诸如：接触分析功能的改进、材料非线性功能改进、热分析新功能、低频电磁场分析新功能、循环对称分析、电磁接触、离子光学、“环境设置”新功能等等。以上所介绍的内容非常片面，限于本人的理解水平，仅代表个人见解，如与 ANSYS 软件本身技术状态有出入，以 ANSYS 公司的介绍资料为准，关于 ANSYS 软件更多细节和使用说明，请参阅 ANSYS/HELP 文件。 - 2 -

莫喜平：借助 ANSYS 优化设计声学换能器第二章 ANSYS 有限元软件设计换能器的基本理论 2.1 有限元法分析换能器机电耦合问题的数理基础有限元方法是以变分原理和剖分插值为基础，对实际模型进行离散化、构造插值函数，通过物理上的近似，认为实际点的行为由相邻节点行为的插值关系来描述，于是把实际的物理问题离散化成求解节点未知量的代数方程组求解问题。有限元方法所依据的能量变分原理的数学表达式为：其中 L 为拉格朗日函数 2 ∫ δ Ldt t t 1 = 0 L = ( T U − M − W M ) + 对应的压电方程 ( U W E − E eE T c S E ⎧ − ⎪ ⎨ D eS E s ⎩⎪ + ε = = ) (2.1) (2.2) (2.3) 拉格朗日函数表达式中 T 代表系统的动能，U 表示弹性应变能，W 表示外 M M 界机械力所作的功，U 表示电场中的电能，W 表示外界电场力所作的功。若令 u E E 表示位移，f 表示系统 V 内所受体力密度，F 表示系统边界面Σ上所受的面力密度， ϕ为电位，q 表示自由体电荷密度，σ表示自由面电荷密度，则拉格朗日函数表达式中诸分量由下式确定： 1 2 = = = = = M M ⎧ T ⎪ ⎪ ⎪ U ⎪ ⎪ ⎪ W ⎨ ⎪ ⎪ U ⎪ ⎪ ⎪ W ⎪ E ⎩ E udV T T SdV T V ⋅ u ρ ∫∫∫ V 1 ∫∫∫ 2 ∫∫∫ f udV T V 1 ∫∫∫ 2 ∫∫∫ V ϕ qdV + V T E DdV dS ϕσ ∫∫ Σ T F udS + ∫∫ Σ (2.4) 经过剖分插值，利用哈密顿原理：变分等于零的条件，作一系列推导得下列有限元方程： ]{ } K u = C V Q = 上式中[ 为总质量阵，[ 为总刚度阵， [ ]{ } [ + M u ⎧ ⎪ ⎨ { } { } T P u + ⎩⎪ ]K ]M 0 { } V P + { } F (2.5) { }P 为机电耦合向量，{ 是力载 }F - 3 -

莫喜平：借助 ANSYS 优化设计声学换能器荷向量，{ 是系统位移向量，V 是电极面上的电势，Q 是电极面上的自由电荷电 }u 量， C 是陶瓷片的钳定电容。 0 方程(2.5)中第一式表征机械载荷力与机电耦合力作用下的动力学方程，第二式则表征外电场与机电耦合作用下的电路状态方程。有限元方法几乎能解决换能器的所有问题，包括结构应力分析、振动特性模拟、发射及接收声电转换问题以及远场辐射问题等等。但是在处理远场辐射问题时，则由于不能把区域取无限大（实际上取的很有限），所以不能把结构细节与远场行为同时描述得很清楚，因此有限元方法在处理远场辐射问题时求解精度受到限制。在许多声学计算中，在一定误差允许条件下，有限元方法能给出令人满意的结果，在精度要求较高或者结构体线度较大时（如分析基阵等），需要将流体空间取得更大，网格分得更细，于是要花费更多的计算时间。 2.2 ANSYS 有限元软件用于换能器分析的基本理论 ANSYS 是目前比较流行的有限元分析软件之一，它能解决工程中诸多学科形形色色的实际问题，功能非常全面，如：结构力学、电磁场、流体力学、热学、耦合场（多种物理场之间的相互耦合）等问题。与换能器设计有关的问题主要是结构分析、流体－结构耦合分析与压电耦合分析，有的时候还要用到电磁场分析、热分析等。 ANSYS 在处理结构力学线性问题时所依赖的有限元方程如下： [ ] } [ { M u + ]{ } [ C u + ]{ } K u = { } F (2.6) [ M]、[ 、]C [ ]K 是系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，在结构参数（包括几何参数和材料参数）给定及有限元网格生成后，[ ]M 、[ ]C 、[ 已经完全唯 ]K 一确定了；{ 是载荷力向量，它的不同特征决定了不同分析类型： }F 如{ } F = { } F t ( ) 为时间的任意函数，属于瞬态结构分析，依赖方程就是(2.6) 式。如果{ } F = { F e 0 j δ ⋅ e 依赖的方程可化为： j t ω} 是时间的简谐函数，则对应的分析类型为谐波分析， ( 2 − ω [ [ M j C ω + ] ] + [ ){ } ] K u = { F e j δ 0 } 如果{ } { } F = 0 ，则属于模态分析，即计算 [ ]{ } [ M u + ]{ } [ C u + ]{ } K u { } = 0 有非零解的本征值问题。 - 4 - (2.7) (2.8)

如果{ } F { F≡ 0 } ，即 F ∂ ⎧ ⎨ t ∂ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ { } = 0 ，则属于静力分析，根据准静态原理求解力作莫喜平：借助 ANSYS 优化设计声学换能器用终点时的状态{ } u { } u= = 0 ，依赖的方程简化为： [ ]{ } K u { F= 0 } (2.9) 针对控制方程(2.6)式的最普遍形式，如果将各参数矩阵[ ]M 、[ 、[ ，位 ]K ]C }u }F 移向量{ 及载荷向量{ 都考虑成具有广义涵义，那么几乎所有物理场的线性问题都可以等效成上面的模型，最后用统一的求解器来求解，所以在求解中 ANSYS 处理的是纯数学问题，只不过最后输出的数据将按前处理中结构、单元类型中的约定，而赋予广义位移向量具体的物理含义。如此 ANSYS 的求解内核是面向 { }u 诸多广义场生成的数学模型的普适求解器，这样便可以构造不同物理场的求解问题，下面给出两个典型例子：求解声辐射问题中流体－结构耦合的控制方程： [ ] ⎡ K s ⎢ [ ] 0 ⎢ ⎣ [ ] C ⎡ s ⎢ [ ] 0 ⎢ ⎣ { } u ⎧ ⎨ { } P ⎩⎪ { } u ⎧ ⎨ { } P ⎩⎪ [ ] 0 M [ ] 0 C [ ⎡ [ ⎢ ⎢ ⎣ M M ⎤ ] ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ] ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎬ ⎭⎪ ⎫ ⎬ ⎭⎪ ] ] s fs [ f + [ f + [ [ K K fs f ] ⎤ ⎥ ] ⎥ ⎦ { } u ⎧ ⎨ { } P ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = { } F ⎧ s ⎨ { } 0 ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ (2.10) 在处理问题时，采用直接耦合方式将广义位移向量取作结构位移向量{ 与流 }u 体中节点声压向量 { }P 的组合，而在广义刚度阵、广义质量阵中加入流体－结构耦 K fs ] 与[ 合分量[ 耦合分量的具体表达式在手册中有详细介绍。 ]M fs ，其它系数矩阵分量以足标 s 和 f 区分结构与流体部分。关于在解决压电耦合问题时采取广义矩阵和广义向量表示的控制方程如下： [ ] M ⎡ ⎢ [ ] 0 ⎣ [ ] 0 ⎤ ⎥ [ ] 0 ⎦ { } u ⎧ ⎪ ⎨ { } V ⎩⎪ ⎫ ⎪ ⎬ ⎭⎪ + [ ] C ⎡ ⎢ [ ] 0 ⎣ [ ] 0 ⎤ ⎥ [ ] 0 ⎦ { } u ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ { } V ⎩⎪ ⎭⎪ + [ K z T K ] ] ⎡ ⎢ [ ⎢ ⎣ [ [ z d K K ] ⎤ ⎥ ] ⎥ ⎦ { } u ⎧ ⎨ { } V ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = { } F ⎧ ⎨ { } Q ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ (2.11) 将广义位移向量取作结构位移向量{ }u 与压电体节点电位向量{ }V 的组合；广义质量阵与广义阻尼阵中以[ 扩充，而广义刚度阵中加入机电耦合分量[ 和介电矩阵分量[ ，具体形式在手册中有更详细的表述。 K d K z ]0 ] ] 2.3 ANSYS 有限元软件用于换能器分析的一般步骤图 2.1 为利用 ANSYS 软件分析换能器性能的一般步骤示意图，整体上可分为以下四步： 1．设计者“预处理” 设计者“预处理”是分析换能器性能的第一步，也是关键的一步，其宗旨就 - 5 -

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