2004年吉林高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2004 年吉林高考文科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟. 参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 V= n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C k n Pk(1－P)n－k 第 I 卷 2R 球的表面积公式 S=4 其中 R 表示球的半径，球的体积公式 3 4 R ， 3 其中 R 表示球的半径一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 xxM |{  2  |,4 N  |{ xx 2  2 x  3 }0 ，则集合 NM  = （） A．{ | xx 2 } B．{ | xx 3 } C．{ x 1|  x 2 } D． { x 2|  x 3 } ( x  )5 的反函数是（） 1   5 (5 2．函数 y  A． y  C． y  3．曲线 y  x 1 x 1 x 3 x x  )0  (5 x  )0 B． y  x (5 Rx  ) D． y  x (5 Rx  )  3 2 x  1 在点（1，－1）处的切线方程为（） A． y  x 3  4 B． y  3  x 2 C． y  4  x 3 D． y  x 4  5 4．已知圆 C 与圆 ( x  )1 2  2 y  1 关于直线 y  对称，则圆 C 的方程为 x （） A． ( x  )1 2  2 y  1 C． 2 x (  y 2  )1  1 B． 2 x 2  y  1 D． 2 x (  y 2  )1  1 5．已知函数 y  tan(  ) 2 x 的图象过点 A．   6 B．  6 ( 12 )0, ，则可以是（） C．   12 D．  12 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为（） A．75° B．60° C．45° D．30° 7．函数 y  xe 的图象（） A．与 y  的图象关于 y 轴对称 xe B．与 y  的图象关于坐标原点对称 xe

C．与 y  的图象关于 y 轴对称 xe D．与 y  的图象关于坐标原点对称 xe 8．已知点 A（1，2）、B（3，1），则线段 AB 的垂直平分线的方程是（） A． 4 x 2  y  5 B． 4 x 2  y  5 C． x  y 2  5 D． x  y 2  5 9．已知向量 a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|= （） A．1 B． 2 C． 5 D． 6 10．已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为球心 O 到平面 ABC 的距离为 A． 1 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 6 3 ，则  2 （） 11．函数 A． y  4  4 sin x  2 cos x 的最小正周期为（） B．  2 C． D．2 12．在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有 A．56 个 B．57 个 C．58 个 D．60 个第Ⅱ卷（）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13．已知 a为实数， ( ax  10) 展开式中 7x 的系数是－15，则 a . 14．设 yx, 满足约束条件： x x 2      ,0  , y  x y  ,1 则 z  3  x 2 y 的最大值是 . 15．设中心的原点的椭圆与双曲线 2 2 x  2 y 2 =1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知等差数列{ na }， a 2  ,9 5 a  .21 （Ⅰ）求{ na }的通项公式；（Ⅱ）令 nb na 2 ，求数列 }{ nb 的前 n 项和 Sn. 18．（本小题满分 12 分）已知锐角三角形 ABC 中， sin( BA  )  （Ⅰ）求证（Ⅱ）设 AB=3，求 AB 边上的高. ； tan2 B tan A  3 5 , sin( BA  )  1 5 . 19．（本小题满分 12 分）已知 8 支球队中有 3 支弱队，以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组，每组 4 支. 求：（Ⅰ）A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 20．（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90°，AC=1， CB= 2 ，侧棱 AA1=1，侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D， B1C1 的中点为 M.

（Ⅰ）求证 CD⊥平面 BDM；（Ⅱ）求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小. 21．（本小题满分 12 分）若函数 )( xf  1 3 3 x  1 2 2 ax  ( a  )1 x  1 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数 a的取值范围. 22．（本小题满分 14 分）给定抛物线 C： 2 y  ,4 x F 是 C 的焦点，过点 F 的直线l 与 C 相交于 A、B 两点. （Ⅰ）设l 的斜率为 1，求 OA与夹角的大小； OB （Ⅱ）设 FB   若AF ,   ]9,4[ ，求l 在 y 轴上截距的变化范围. 参考答案一、选择题 2 A 1 C 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B 11 B 12 C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.

13． 1 2 14．5 15． 2 x 2 2  y  1 16．②④ 三、解答题 17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分 12 分. 解：（Ⅰ）设数列 }{ na 的公差为 d，依题意得方程组    a 1 a 1 ,9  ,21 d   d 4 解得 a 1 ,5  d  .4 所以 }{ na 的通项公式为 an  n 4  .1 （Ⅱ）由 a n  4 n  1 得 b n  2 4  1 n , 所以 }{ nb 是首项 2b 1 5 ，公式 42q 的等比数列. 于是得 }{ nb 的前 n 项和 nS  5 2 n 4 2(  4 2   1 )1  32  n  )1 . 4 2( 15 18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分 12 分. （Ⅰ）证明：  sin( BA  )  3 5 , sin( BA  )  , 1 5  sin    cos   A cos B  A sin B  , 2 5 1 5  tan tan A B  .2 3 5 A ,  tan( BA  )  3 4 ,  tan2 B 代入上式并整理得  )  tan 所以（Ⅱ）解：   sin    sin   A cos B  cos A sin B  A cos B  cos A sin B  3 5 1 5 , . tan   2 tan 1  A   . tan2 B BA    tan A  tan tan A 2 tan2 B  B B tan4 ，  即 BA  sin( 3 4 .01  ，将 B 解得 tan B 6 2  2 ，舍去负值得 tan B 6 ， 2  2  tan A  tan2 B  2 .6 设 AB 边上的高为 CD. 则 AB=AD+DB= CD tan A  CD tan B  2 CD 2 6  . 由 AB=3，得 CD=2+ 6 . 所以 AB 边上的高等于 2+ 6 . 19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用

数学知识解决问题的能力，满分 12 分. （Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 C C 1 5 4 8 故有一组恰有两支弱队的概率为解法二：有一组恰有两支弱队的概率   3 5 4 8 C 1 7 C 11 6  7 7 2 CC 3 4 C 8 . 2 5 .  6 7 .  2 5 2 CC 3 4 C 8  （Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 2 5 2 CC 3 4 C 8  1 5 3 CC 3 4 C 8  1 2 解法二：A、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1，由于对 A 组和 B 组来说，至少有两支弱队的 1 概率是相同的，所以 A 组中至少有两支弱队的概率为 . 2 20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一：（Ⅰ）如图，连结 CA1、AC1、CM，则 CA1= .2 ∵CB=CA1= 2 ，∴△CBA1 为等腰三角形，又知 D 为其底边 A1B 的中点， ∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1，C1B1= 2 ，∴A1B1= 3 又 BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB 为直角三角形，D 为 A1B 的中点， BDM. FG= 1 2 ∴CD= 1 2 A1B=1，CD=CC1，又 DM= 1 2 AC1= 2 2 ，DM=C1M. ∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即 CD⊥DM. 因为 A1B、DM 为在平面 BDM 内两条相交直线，所以 CD⊥平面（Ⅱ）设 F、G 分别为 BC、BD 的中点，连结 B1G、FG、B1F，则 FG//CD， CD. ∴FG= 1 2 ，FG⊥BD. 由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D 知 BD=B1D= 所以△BB1D 是边长为 1 的正三角形. 1 2 A1B=1，于是 B1G⊥BD，B1G= 3 2 . ∴∠B1GF 是所求二面角的平面角，又 B1F2=B1B2+BF2=1+（ 2 2 2) = 3 2 ，

∴ cos  GFB 1  2 GB 1 FB 1 2 FG   2 FGCB  1 3( 2 2 ) 2  2  3 2  1( 2 3  2 2 )  1 2  3 3 . 即所求二面角的大小为  arccos 3 3 . 解法二：如图，以 C 为原点建立坐标系. （Ⅰ）B（ 2 ，0，0），B1（ 2 ，1，0），A1（0，1，1）， 2 ，1，0）， 2 BA 1  ),1,1,2(  D（ 2 2 CD  DM  ) ，M（ 1, 1, 2 2 1, 1, 2( 2 2 2 1,0( 1, ),  2 2 ), 则 CD  BA 1  ,0 CD  DM  ,0 ∴ CD⊥A1B，CD⊥ 因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线，所以 CD⊥平面 BDM. （Ⅱ）设 BD 中点为 G，连结 B1G，则 G（ 23 4 1, 4 1, 4 ）， (BD 2 2 、 1 2 、 1 2 ）， ( GB 1 2 4 3,  4 1, 4 ), DM. ,0 BD  BD  与 GB  1 GB 1 的夹角   BD GB 1 CD  等于所求的二面角的平又 . ,  BD . 面角  cos   CD | CD   GB 1 | GB 1 | |  3 3 . 所以所求的二面角等于  arccos 3 3 . 21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解：函数 )(xf 的导数 f  )( x  2 x  ax  a .1 令 f  x )(  0 ，解得 1 x x  或 11 a  当 11 a  当 a  a 函数时即 a 函数时即 ,2 ,2 .1   )( xf )( xf 在 ) ,1( ,  上是增函数 ( )1, ,  上为增函数在不合题意 )1 , 内为减函数 ,1( 在  a ( 在 a ,1  ) 为增函数. 依题意应有当 x  )4,1( , 时 f  )( x  ,0 当 x  ,6(  , ) 时 f  )( x  .0

4 5 解得所以所以 a的取值范围是[5，7].  a .61  a .7 22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分 14 分。解：（Ⅰ）C 的焦点为 F（1，0），直线 l的斜率为 1，所以 l的方程为 y .1 x 将 y 1 x 代入方程 y 42 ，并整理得 x 2 x 6  x .01  设 ( ( xByxA ), , 1 1 , y 2 ), 2 则有 x 1  x 2  ,6 xx 21  .1 OA  OB  ( , yx 1 1 ()  x 2 , y 2 )  xx 21  yy 1 2  2 xx 21  ( x 1  x 2 1)  .3 | OA || OB |  2 x 1  2 y 1  x 2 2  y 2 2  xxxx 21 21 [  (4 x 1  x 2 )  ]16  .41 cos( , OA OB )  OA OA  || OB OB | |  3 14 41 . 所以 OA与夹角的大小为 OB  arccos 3 14 41 . （Ⅱ）由题设 FB  AF 得 ( x 2  ,1 y 2 )  1(   x 1 ,  y 1 ), 即    x 2 y 2 1 1(   y   .1  x 1 ), ① ② 由②得 2 2 y  2 2 y 1 ， ∵ 2 y 1  ,4 yx 1 2 2  ,4 x 2 ∴ 2 x  2 .1 x ③ 联立①、③解得 2x ，依题意有 .0 ∴ B 2,( ),  或 B 2,( ),   又 F（1，0），得直线 l方程为 (   )1 y  2 (  x  )1 或 (   )1 y  2 (  x  ),1 当 ]9,4[ 时，l在方程 y 轴上的截距为 2  1   或  2  1   , 2  1    2   1   2   , 1 可知 2   1 在[4，9]上是递减的，由 ∴ 3 4  2  1    4 3 4,  3  直线 l在 y 轴上截距的变化范围为 2  1   4[  3 , 3 4 3,  4 ] 3[ 4 4, 3 ].

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