题目：一个正八面体，用 r，b 两色对 6 个顶点进行着色；用 y，g 两种颜色对 8 个面进行着色，试求其中 4 个顶点为 r，2 个顶点为 b，4 个面为 y，剩下 4 个面 为 g 的方案数。 解：这道题可以说是组合数学中关于 Polya 定理应用较为复杂的一题。解题不但 涉及题意转换，还涉及计算面、点的置换群。经我多方验算，终于找到合理的解 题步骤，现公布如下： 正八面体可以看成由正方体各面中心连线组成。这样题目的意思可以转化成 用 r，b 两色对正方体 6 个面进行着色，用 y，g 两种颜色对正方体 8 个点进行着 色，求 4 个面为 r，2 个面为 b，4 个点为 y，剩下 4 个点为 g 的方案数。 所有置换群如下表： 面 6)1( 6 1 )1()4( 2 3 2 )1()2( 2 点 8)1( 6 2)4( 3 4)2( 不动  90  180  对棱 6 3)2( 6 4)2( 对角线 8 2)3( 8 2 )3()1( 2 不动置换方案数是 4 4 6CC 8  90 置换方案数是  16 C 1 2 180 置换方案数是  (3 C  2 2  CC  1 2 2 2 )  C 2 4 对棱置换方案数是 6  CC  2 3 2 4 对角线置换方案数是 0 所以，总的方案数是： 1 24 4 [ CC 8 4 6  6 C 1 2  (3 C 2 2  CC 1 2 2 2 )  C 2 4  6 CC 2 3 2 4 ]  51