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2014新疆考研数学三真题及答案.doc
2014 新疆考研数学三真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
a 且 0,
a 则当 n 充分大时有（
,
）
（1）设 lim
na
（A）
a
n
（B）
a
n
a
2
a
2
（C）
na
a
（D）
na
a
1
n
1
n
（2）下列曲线有渐近线的是（
）
（A）
y
x
sin
x
（C）
y
x
sin
sin
x
1
x
1
sin
x
（B）
y
2
x
（D）
y
2
x
（3）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设函数 ( )
f x 具有二阶导数， ( )
g x
f
(0)(1
x
)
f
(1)
x
，则在区间[0,1] 上（ ）
（A）当 '( ) 0
x 时， ( )
f x
f
（B）当 '( ) 0
x 时， ( )
f x
f
（C）当 '( ) 0
x 时， ( )
f x
f
（D）当 '( ) 0
x 时， ( )
f x
f
( )
g x
( )
g x
( )
g x
( )
g x
（5）行列式
0
a
0
c
a
0
c
0
b
0
d
0
0
b
0
d
（A）
(
ad bc
)
2
（B）
(
ad bc
)
2
（C） 2
a d
2
2 2
b c
（D） 2 2
b c
2
a d
2
（6）设 1
a a a 均为 3 维向量，则对任意常数 ,k l ，向量组 1
3
线性无关是
k
l
,
,
2
,
3
3
2
向量组 1
, 线性无关的
,
2
3
（A）必要非充分条件
（B）充分非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求 P（B-A）=（ ）
（A）0.1
（B）0.2
（C）0.3
（D）0.4
（8）设
X X
,
1
,
2
X 为来自正态总体
3
X
X
N 的简单随机样本，则统计量 1
2
X
(0,
)
2
3
2
服从的
分布为
（A）F（1,1）
（B）F（2,1）
（C）t(1）
（D）t(2)
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
（9）设某商品的需求函数为
Q
_________。
40 2
P
（P 为商品价格），则该商品的边际收益为
(10)设 D 是由曲线
xy 与直线
1 0
y
x 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为
0
_________。
(11)设
a
0
2
xxe dx
1
4
，则 _____.
a
(12)二次积分
1
0
dy
1
y
(
2
x
e
x
（13）设二次型
是_________
(
,
f x x x
3
,
1
2
2
y
e
)
dx
________.
)
2
x
1
x
2
2
2
ax x
1 3
4
x x
2 3
的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围
（ 14 ） 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为
( ;
f x
)
2
x
2
3
0
x
2
其它
， 其 中 是 未 知 参 数 ,
X X
,
1
,...,
2
X 为来自总体 X 的简单样本，若
,n
c
是 2 的无偏估计，则 c = _________
x
i
2
n
i
1
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
t dt
x
1
2
t
1
t
e
1
2
求极限
1
x
（16）（本题满分 10 分）
lim
x
ln(1
x
)
设平面区域
D
{( ,
x y
) |1
2
x
2
y
4,
x
0,
y
，计算
0}
x
D
（17）（本题满分 10 分）
sin(
2
x
x
y
2
y
)
dxdy
.
设函数 ( )
f u 具有 2 阶连续导数，
z
x
(
f e
cos )
y
满足
z
2
2
x
z
2
2
y
4(
z
x
e
cos )
y e
2
x
，若
f
(0) 0,
f
'(0) 0
，求 ( )
f u 的表达式。
（18）（本题满分 10 分）
求幂级数
n
0
(
n
1)(
n
3) n
x
的收敛域及和函数。
（19）（本题满分 10 分）
设函数 ( ),
f x g x 在区间[ , ]a b 上连续，且 ( )
f x 单调增加， 0
( )
( ) 1
g x
，证明：
x
a
b
a
（I） 0
（II）
a
a
( )
g t dt
,
x a x
[ , ];
a b
( )
g t dt
( )
f x dx
b
a
( ) ( )
.
f x g x dx
（20）（本题满分 11 分）设
A
①求方程组
3
1
0
Ax 的一个基础解系；
2
1
2
1
0
1
0
， E 为 3 阶单位矩阵。
4
1
3
②求满足 AB E 的所有矩阵 B
（21）（本题满分 11 分）证明 n 阶矩阵
1 1
1 1
1 1
1
1
1
与
0 0
0 0
0 0
1
2
n
相似。
（22）（本题满分 11 分）
设随机变量 X 的概率分布为 P{X=1}=P{X=2}=
1
2
，在给定 X i 的条件下，随机变量 Y 服从
均匀分布 (0, )(
U i
i
1,2)
（1）求 Y 的分布函数 ( )
YF y
（2）求 EY
（23）（本题满分 11 分）
设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同，X 的概率分布为
的相关系数
XY
1
2
（1） 求（X，Y）的概率分布
（2）求 P{X+Y 1}
{
P X
0}
1
3
, {
P X
1}
且 X 与 Y
,
2
3
参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1）D
（2）B
（3）
（4）D
（5）B
（6）A
（7）（B）
（8）（C）
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
（9）
40
4
p
dR
dp
3 ln
2
1a
2
1
e(
2
2
1
)
（10）
（11）
（12）
（13）[-2,2]
（14）
2
5n
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）【答案】
x
1
1
x
2
e(t[
2
x
ln(
lim
x
dt]t
1
)
11
x
)
1
x
e(
1
)
1
dt
x
1
tdt
x
2
t
x
x
1
)
1
)
x
u
lim
x
lim
x
令
u
则
lim
x
e
lim
0
u
,
2
e(x
1
x
2
e(x
u
1
2
u
u
1
2
u
e
lim
0
u
1
2
（16）【答案】
1
d
2
1
2
1
sin
2
0
2
0
cos
cos
d
d
sin
d
d
cos
cos
sin
cos
2
d
cos
sin
1
cos
2
sin
0
1
cos
sin
1
cos
2
sin
0
13
2
3
4
cos
2
0
12
d
d
cos
2
0
(
)
2
(d
1
cos
1
2
1
cos
)
d
cos
x
e)y
cos
y
cos
x
(e)y
sin
)y
cos
2
x
e)y
2
cos
y
e(f
x
cos
x
e)y
cos
y
x
x
e(f
e(f
（17）【答案】
E
x
2
E
2
x
E
y
2
E
2
y
e(f
e(f
x
x
2
E
2
x
e(f
x
2
E
2
y
cos
cos
2
x
e)y
2
sin
y
e(f
x
cos
x
(e)y
cos
)y
e(f
x
cos
e)y
2
x
4
eE(
x
cos
e)y
2
x
)y
4
x
e(f
cos
e)y
x
cos
y
C,C(,u
4
1
2
为任意常数
)
令
e x
cos
y
，
u
则
)u(f
4
u)u(f
，
故
eC)u(f
1
2
u
eC
2
2
u
由
(f
0
)
0
(f,
0
)
0
,
得
)u(f
2
u
e
16
2
u
e
16
u
4
（18）【答案】
由
lim
n
n(
n(
2
1
n)(
n)(
4
3
)
)
1
，得 1R
当 1x 时，
n
0
n(
1
n)(
3
)
发散，当
1x
故收敛域为
(
11 。
),
时，
n
0
(
1
n
n()
1
n)(
3
)
发散，
n)(
n
3
x)
(
n(
3
x
)
0
n(
1
x)
n
)dx
n
1
x
n
0
0
0x 时，
1
n(
n
0
(
(
(
0
n
1
x
1
x
n(
3
x)
n
1
)
(
n(
3
x)
n
2
)
x
0
n
0
(
x(
1
3
x
n(
3
x)
n
2
))dx
(
))
3
x(
1
(
2
2
x
2
)x
)
(
x
(
1
x
0
n
3
x
3
1
)x
n
3
))
。
)x(s
0x 时，
3)x(s
，故和函数
)x(s
3
x
3
1
)x
(
，
x
11
),
(
（19）【答案】
证明：1）因为
0
)x(g
1
，所以有定积分比较定理可知，
dt)t(g
ax
。
0
x
a
2）令
x
a
0
dt
x
a
dt)t(g
x
a
1
dt
，即
x
)x(F
)a(F
)x(F
){x(g
dt)t(g)t(f
a
0
)x(g)x(f
a[f
)x(f
x
x
a
dt)t(g
a
dt)t(f
)x(g]dt)t(g
a[f
x
a
x
a
}]dt)t(g
dt)t(g
ax
，
x
a
由 1）可知
x
所以
)x(f
由
a
a
dt)t(g
x
。
是单调递增，可知
)x(f
a[f
x
a
]dt)t(g
0
由因为
0
)x(g
1
，所以
)x(F
0
，
)x(F 单调递增，所以
)a(F)b(F
0
，得证。
（20）【答案】①
1,2,3,1 T
②
B
2
1
1
k
1
2
k
1
3
k
1
k
1
（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
2
k
2
k
3
k
2
2
k
2
3
6
k
3 2
k
4
3
k
3
k
3
3
1
1
1
,
k k k
1
,
2
R
3
y
1,
0,
0,
y
3 ,0
y
4
1
11
2
2
1,
2.
y
y
,1
y
2,
1
1
9
5
9
（22）【答案】（1）
F y
Y
（2）
3
4
（23）【答案】（1）
Y
0
1
（2）
4
9
X
0
2
9
1
9
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