2007 年河北高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3
至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
参考公式:
如果事件 A B, 互斥,那么
(
P B
(
P A B
(
)
P A
)
)
如果事件 A B, 相互独立,那么
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
球的表面积公式
S
2
4π
R
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么
V
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
( )
P k
n
0 1 2
n
,,, ,
C p
(1
n k
p
n
k
n
)
(
)
k
3
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
一、选择题
(1)设
S
2
x x
,
1 0
T
3
x x
5 0
,则 S T
(
)
A.
B.
x x
1
2
C.
x x
5
3
D.
x
x
1
2
5
3
(2)是第四象限角,
cos
,sin (
A.
5
13
B.
5
13
(3)已知向量 ( 5 6)
,
a
, (6 5)
,b
12
13
C.
D.
5
12
,则 a 与 b (
)
5
12
)
A.垂直
B.不垂直也不平行
C.平行且同向
D.平行且反向
(4)已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 ( 4 0)
, , (4 0), ,则双曲线方程为(
)
A.
2
x
4
2
y
12
1
B.
2
x
12
2
y
4
1
C.
2
x
10
2
y
6
1
D.
2
x
6
2
y
10
1
(5)甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则
不同的选修方案共有(
A.36 种
)
B. 48 种
(6)下面给出四个点中,位于
D.192 种
C.96 种
y
,
表示的平面区域内的点是(
y
1 0
x
1 0
x
)
A. (0 2),
B. ( 2 0)
,
C. (0
2),
D. (2 0),
(7)如图,正四棱柱
的余弦值为(
A.
1
5
)
2
5
B.
ABCD A B C D
1
1 1
1
AA
中, 1
2
AB
,则异面直线 1A B 与 1AD 所成角
C.
3
5
D.
4
5
1D
D
1C
1B
C
B
1A
A
(8)设 1a ,函数 ( )
f x
log a
x
在区间
2a a, 上的最大值与最小值之差为
1
2
,则 a
(
)
A. 2
B. 2
C. 2 2
D. 4
(9) ( )
f x , ( )g x 是定义在 R 上的函数, ( )
h x
( )
f x
( )
g x
,则“ ( )
f x , ( )g x 均为偶
函数”是“ ( )h x 为偶函数”的(
)
A.充要条件
C.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
D.既不充分也不必要的条件
(10)函数
y
2cos
2
x
的一个单调增区间是(
)
A.
π π
,
4 4
B.
π0
,
2
C.
π 3π
,
4 4
D.
π
2
,
π
(11)曲线
y
31
x
3
在点
x
41
, 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(
3
1
3
2
9
4
x 的焦点为 F ,准线为l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴
C.
D.
2
3
)
A.
1
9
B.
(12)抛物线 2
y
上方的部分相交于点 A , AK l⊥ ,垂足为 K ,则 AKF△
的面积是(
)
A. 4
B.3 3
C. 4 3
D.8
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,
在试题卷上作答无效.
3.本卷共 10 题,共 90 分.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上.
(13)从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取 20 袋,测得各袋的质量分别为(单位:g ):
492
497
496
503
494
506
495
508
498
507
497
492
501
496
502
500
504
501
496
499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g~
501.5g 之间的概率约为_____.
(14)函数
y
( )
f x
的图像与函数
y
log
x
3
(
x
的图像关于直线 y
0)
x 对称,则
( )
f x ____________.
(15)正四棱锥 S ABCD
的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S,A,B,C,D都在同一个
球面上,则该球的体积为_________.
(16)等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ,已知 1S , 22S , 33S 成等差数列,则{ }na 的公比为
______.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 10 分)
设锐角三角形 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c, 2 sin
A
.
a
b
(Ⅰ)求 B的大小;
(Ⅱ)若 3 3
a
, 5
c ,求 b.
(18)(本小题满分 12 分)
某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用
一次性付款的概率是 0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润 200 元;
若顾客采用分期付款,商场获得利润 250 元.
(Ⅰ)求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率.
(19)(本小题满分 12 分)
四棱锥 S ABCD
中,底面 ABCD为平行四边形,侧面 SBC 底面 ABCD,已知
ABC
,
45
S
D
C
A
B
2
,
2 2
BC
.
SA SB
AB ,
(Ⅰ)证明: SA BC
(Ⅱ)求直线 SD与平面 SBC所成角的大小.
(20)(本小题满分 12 分)
;
3
设函数
( )
f x
3
2
x
3
ax
2
3
bx
在 1x 及 2
x 时取得极值.
8
c
(Ⅰ)求 a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的 [0 3]
x , ,都有
( )
f x
2
c 成立,求 c的取值范围.
(21)(本小题满分 12 分)
设{ }na 是等差数列,{ }nb 是各项都为正数的等比数列,且 1
a
b
1 1
a
, 3
b
5
,
21
a
5
b
3
13
(Ⅰ)求{ }na ,{ }nb 的通项公式;
a
(Ⅱ)求数列 n
b
n
的前 n项和 nS .
(22)(本小题满分 12 分)
已知椭圆
2
x
3
2
y
2
1
的左、右焦点分别为 1F , 2F ,过 1F 的直线交椭圆于 B,D两点,过 2F
的直线交椭圆于 A,C两点,且 AC BD
,垂足为 P.
x
(Ⅰ)设 P点的坐标为 0
(
y, ,证明:
)
0
2
x
0
3
2
y
0
2
;
1
(Ⅱ)求四边形 ABCD的面积的最小值.
一、选择题
1.D
10.D
二、填空题
2.B
11.A
参考答案
3.A
4.A
5.C
6.C
7.D
8.D
9.B
12.C
13. 0.25
14.3 (
x x R
)
15.
4π
3
16.
1
3
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)由 2 sin
a
b
A
,根据正弦定理得sin
A
2sin sin
B
A
,所以
sin
B ,
1
2
π
6
2
a
由 ABC△
为锐角三角形得
B .
(Ⅱ)根据余弦定理,得 2
b
所以,
b .
7
18.解:
2
c
2
ac
cos
B
27 25 45
7 .
(Ⅰ)记 A 表示事件:“3 位顾客中至少1位采用一次性付款”,则 A 表示事件:“3 位顾客
中无人采用一次性付款”.
(
P A
(1 0.6)
)
2
0.064
,
(
P A
) 1
) 1 0.064 0.936
(
P A
(Ⅱ)记 B 表示事件:“3 位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过 650 元”.
0B 表示事件:“购买该商品的3 位顾客中无人采用分期付款”.
.
1B 表示事件:“购买该商品的3 位顾客中恰有1位采用分期付款”.
则
B B
0
.
B
1
0(
P B
) 0.6
3
0.216
,
(
P B
1
)
C
1
3
0.6
2
0.4 0.432
.
(
P B
)
(
P B
0
B
1
)
)
)
(
P B
0
(
P B
1
0.216 0.432
0.648
.
19.解法一:
(1)作 SO BC⊥ ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 底面
ABCD .
因为 SA SB ,所以 AO BO
,
又
∠
ABC
45
,故 AOB△
为等腰直角三角形, AO BO⊥ ,
由三垂线定理,得 SA
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA
依题设 AD BC∥ ,
BC⊥ .
BC⊥ ,
故 SA
AD⊥ ,由
AD BC
2 2
,
SA ,
3
S
E
D
C
O
B
A
SD
2
AD SA
2
11
.
又
AO AB
sin 45
2
,作 DE
BC⊥ ,垂足为 E ,
则 DE ⊥平面 SBC ,连结 SE . ESD∠
22
11
ED AO
SD SD
ESD
2
11
sin
∠
为直线 SD 与平面 SBC 所成的角.
所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的角为
arcsin
22
11
.
解法二:
(Ⅰ)作 SO BC⊥ ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平面
ABCD .
因为 SA SB ,所以 AO BO
.
又
∠
ABC
45
, AOB△
为等腰直角三角形, AO OB⊥ .
如图,以O 为坐标原点,OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系O xyz ,
z
S
O
B
x
D
C
y
A
因为
AO BO
2
2
AB
,
2
SO
2
SB
BO
2
,
1
又
BC
2 2
,所以 ( 2 0 0)
A ,, ,
(0 2 0)
B , , , (0
C , , .
2 0)
SA
(0 0 1)
S ,, ,
CB
( 2 0
1)
,, ,
SA CB
为平面 SBC 的法向
BC⊥ .
(0 2 2 0)
0
,所以 SA
, , ,
SD SA AD SA CB
与 SD
( 2 0 0)
,, .
的夹角记为,SD 与平面 ABC 所成的角记为,因为OA
, , ,
OA
2 2
( 2
1)
(Ⅱ)
OA
量,所以与互余.
cos
OA SD
OA SD
22
11
,
sin
22
11
,
所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的角为
arcsin
22
11
.
20.解:
(Ⅰ)
( ) 6
f x
x
2
6
ax
,
3
b
因为函数 ( )
f x 在 1x 及 2
x 取得极值,则有 (1) 0
, (2) 0
.
f
f
即
3
6 6
b
a
3
24 12
a
b
0
,
0
.
解得
a , 4
b .
3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
( )
f x
3
2
x
2
9
x
12
x
,
8
c
( ) 6
f x
x
2
18
x
12 6(
x
1)(
x
.
2)
当 (0 1)
x , 时, ( ) 0
f x
;
当 (1 2)
x , 时, ( ) 0
f x
;
当 (2 3)
x , 时, ( ) 0
f x
.
所以,当 1x 时, ( )
f x 取得极大值 (1) 5 8
c
,又 (0) 8
c , (3) 9 8
c
.
f
f
f
则当
0 3
x , 时, ( )
f x 的最大值为 (3) 9 8
c
.
f
因为对于任意的
x , ,有
0 3
( )
f x
2
c 恒成立,
2
所以
9 8c
,
1
c 或 9
因此 c 的取值范围为 (
c
c ,
解得
,
1)
(9
, .
)
21.解:
(Ⅰ)设 na 的公差为 d , nb 的公比为 q ,则依题意有 0
q 且
1 2
1 4
d
d
4
2
q
q
解得
d , 2
q .
2
所以
na
1 (
n
1)
d
2
n
1
,
nb
1
n
q
12
n
.
21
13
,
,
a
n
b
n
3
1
2
2 3
.
1
1
2
n
n
2
5
2
n
2
2
n
2
2
2
5
3
n
3
n
2
2
2
2 2
2
2
2
2
,①
,②
3
1
2
n
1
n
2
2
1
n
2
n
2
1
2
1
2
2
1
n
2
2
1
1
2
n
n
2
,
2
2
n
2
2
n
n
2
1
1
(Ⅱ)
S
n
1
2
S
n
②-①得
2 2
S
n
1
1
1
2
n
n
2
1
1
n
2
1
2
.
1
3
1
2 2
6
2
n
1
2n
22.证明
(Ⅰ)椭圆的半焦距
c
3 2 1
,
由 AC
BD⊥ 知点 P 在以线段 1 2F F 为直径的圆上,
故 2
x
0
y
2
0
,
1
所以,
2
x
0
3
2
y
0
2
≤
2
x
0
2
2
y
0
2
1 1
2
.
y
A
D
P
2F
1F O
B
x
C
(Ⅱ)(ⅰ)当 BD 的斜率 k 存在且 0
k 时, BD 的方程为
y
(
k x
1)
,代入椭圆方程
2
x
3
2
y
2
,并化简得 2
(3
k
1
2
2)
x
6
2
k x
3
k
2
.
6 0
(
B x
设 1
y, ,
)
1
(
D x
y, ,则
2
)
2
x
1
x
2
2
6
k
2
3
k
2
,
x x
1 2
2
2
3
k
3
k
6
2
,
BD
1
k
2
x
1
x
2
(1
k
2
)
x
(
2
x
2
2
)
4
x x
1 2
因为 AC 与 BC 相交于点 p ,且 AC 的斜率为
.
1
k
1)
2
4 3(
k
2
3
k
2
;
AC
4 3
所以,
1
2
k
1
2
k
四边形 ABCD 的面积
3
1
2
1)
4 3(
k
2
2
k
2
3
.
S
1
2
BD AC
(3
k
24(
2
2
1)
k
2
2)(2
k
2
≥
3)
2
2
1)
(2
k
2
(
k
2)
2
3)
2
(3
k
2
96
25
.
1
当 2
k 时,上式取等号.
(ⅱ)当 BD 的斜率 0
k 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积
S .
4