利用matlab求解常微分方程.pdf

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.19M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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利用MAPLE的深层符号计算资源

经典特殊函数的调用

MAPLE库函数在线帮助的检索树

发挥MAPLE的计算潜力

调用MAPLE函数

运行MAPLE程序

用 matlab 求解常微分方程在 MATLAB 中，由函数 dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v') 'eq1,eq2,...'为微分方程或微分方程组，'cond1,cond2,...',是初始条件或边界条件，'v'是独立变量，默认的独立变量是't'。函数 dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。例 1：求解常微分方程 dy dx = 1 + 的MATLAB程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x') y x ，注意，系统缺省的自变量为 t，因此这里要把自变量写明。其中：Y=lambertw(X)表示函数关系 Y*exp(Y)=X。例 2：求解常微分方程 Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0','x') = y− '' yy 2 ' 0 的MATLAB程序为： Y2=dsolve('D2y*y-Dy^2=0','x')

我们看到有两个解，其中一个是常数 0。 dx dt dy dt ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ + 5 x + = y t e − − x 3 y = 2 t e 例 3：求常微分方程组通解的MATLAB程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') dx dt dx dt ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ + 2 x − + dy dt + dy dt y 2 = 10cos , t x = 2 t = 0 = 4 e 2 − t , y t = 0 = 0 例 4：求常微分方程组通解的MATLAB程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(- 2*t)','x(0)=2,y(0)=0','t') 以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。但是，我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为 solver，其一般格式为：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 该函数表示在区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0 求解显式常微分方程 y ' = f t y ( , ) 。 solver 为命令 ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb 之一，这些命令各有特点。我们列表说明如下：特点说明求解器 ode45 一步算法，4,5 阶 Runge- Kutta )xΔ 方法累积截断误差 3 一步算法，2,3 阶 Runge- ( ode23 Kutta )xΔ 方法累积截断误差 3 多步法，Adams算法， ( 高低精度均可达到 3 − 10 ~ 10 − 6 采用梯形算法多步法，Gear’s 反向数值积分，精度中等一步法，2 阶 Rosebrock 算法，低精度。 ode113 ode23t ode15s ode23s 大部分场合的首选算法使用于精度较低的情形计算时间比 ode45 短适度刚性情形若 ode45 失效时，可尝试使用当精度较低时，计算时间比 ode15s 短 odefun为显式常微分方程 y ' = f t y ( , ) 中的 f t y ( , ) tspan为求解区间，要获得问题在其他指定点 t 0 , t 1 , t , 2 上的解，则令 tspan = [ t , t 1 , t 2 0 , , t ]f （要求 it 单调递增或递减），y0 初始条件。例 5：求解常微分方程 y ' 2 = − y + 2 2 x + x 2 ， 0 0x≤ ≤ ， (0) 1 .5 = 的MATLAB程序如下： y y=dsolve('Dy=-2*y+2*x^2+2*x','y(0)=1','x') x=0:0.01:0.5;

yy=subs(y,x); fun=inline('- 2*y+2*x*x+2*x');[x,y]=ode15s(fun,[0:0.01:0.5],1);ys=x.*x+exp(- 2*x); plot(x,y,'r',x,ys,'b') 例 6：求解常微分方程 d y 2 dt 2 (1 μ− − 2 y ) dy dt + = y 0, y (0) 1, = y '(0) 0 = 的解，并画出解的图形。分析：这是一个二阶非线性方程(函数以及所有偏导数军委一次幂的是现性方程，高于一次的为非线性方程)，用现成的方法均不能求解，但我们可以通过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。令： 1x x y= ， 2 = dy dt ， 7μ= ，则得到： dx 1 dt dx 2 dt ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ = x 2 , x 1 (0) 1 = = 7(1 − x 2 1 ) x 2 − x 1 , x 2 (0) 0 = 解：

function [dfy]=mytt(t,fy) %f1=y;f2=dy/dt %求二阶非线性微分方程时，把一阶、二阶直到(n-1)阶导数用另外一个函数代替 %用 ode45 命令时，必须表示成 Y'=f(t,Y)的形式 %Y=[y1;y2;y3],Y'=[y1';y2';y3']=[y2;y3;f(y1,y2,y3)], %其中 y1=y,y2=y',y3=y'' %更高阶时类似 dfy=[fy(2);7*(1-fy(1)^2)*fy(2)-fy(1)]; clear;clc [t,yy]=ode45('mytt',[0 40],[1;0]); plot(t,yy) legend('y','dy') 【例 4.14.2.1-1】采用 ODE 解算指令研究围绕地球旋转的卫星轨道。（1）问题的形成轨道上的卫星，在牛顿第二定律 F ma m = = d r 2 dt 2 ，和万有引力定律 F = − G EmM r 3 − r 作用下有 a d r 2 dt 2 = − G − EM 3 r ，引力常数G=6.672*10-11(N.m2/kg2) ,ME=5.97*1024(kg)是地球的质量。假 r 定卫星以初速度vy(0)=4000m/s在x(0)=-4.2*107(m)处进入轨道。

（2）构成一阶微分方程组令Y=[y1 y2 y3 y4]T=[x y vx vy]T=[x y x' y']T Y t '( ) = y y y y ' 1 ' 2 ' 3 ' 4 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v x a a x y x y ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ = −⎢ ⎢ ⎢ −⎢ ⎣ GM GM y 3 y 4 i i E E 2 ( x 2 ( x y 1 y + y 2 y + ) 2 3/ 2 ) 2 3/ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ （3）根据上式 [dYdt.m] function Yd=DYdt(t,Y) % t % Y global G ME % xy=Y(1:2);Vxy=Y(3:4); % r=sqrt(sum(xy.^2)); Yd=[Vxy;-G*ME*xy/r^3]; % （4） global G ME % <1> G=6.672e-11;ME=5.97e24;vy0=4000;x0=-4.2e7;t0=0;tf=60*60*24*9; tspan=[t0,tf]; % Y0=[x0;0;0;vy0]; % [t,YY]=ode45('DYdt',tspan,Y0);% <8>

X=YY(:,1); % Y=YY(:,2); % plot(X,Y,'b','Linewidth',2); hold on %axis('image') % [XE,YE,ZE] = sphere(10); % RE=0.64e7; % XE=RE*XE;YE=RE*YE;ZE=0*ZE; % mesh(XE,YE,ZE),hold off % 练习： 1．利用MATLAB求常微分方程的初值问题 r=dsolve('Dy+3*y=8','y(0)=2','x') dy dx + 3 y = 8 ， 0 xy = = 的解。 2 function dy=myddy(t,Y) % dy=[-3*Y(1)+8]; [t,yy]=ode45('myddy',[0:0.01:10],[2]);

yys=subs(r,t); plot(t,yy,t,yys); legend('y','yys') ) y y ， 0 1 x ' xy = = ， 0 ' xy = = 3的解。 + (1 '' 2 = x 2．利用MATLAB求常微分方程的初值问题 2 r=dsolve('D2y*(1+x^2)-2*x*Dy=0','y(0)=1,Dy(0)=3','x') %%% function yy=mydy2(x,Y) % yy=[Y(2);Y(2)*2*x/(1+x^2)]; clear;clc [t,YY]=ode45('mydy2',[0 30],[1;3]); ys=1+t.*t.*t+3*t; plot(t,YY,t,ys) legend('y','dy','ys') 3．利用MATLAB求常微分方程 y y (4) 2 ''' + − y '' 0 = 的解。解：y=dsolve('D4y-2*D3y+D2y','x')

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