（6）公钥 KU=(e,n)，私钥 KR=(d,n)。 （7）加密时，先将明文变换成 0 至 n-1 的一个整数 M。若明文较长，可先分割成适当的组， 然后再进行交换。设密文为 C，则加密过程为：C≡Me (mod n) （8）解密过程为：M≡Cd (mod n) 实例描述： 在这篇科普小文章里，不可能对 RSA 算法的正确性作严格的数学证明，但我们可以通 过一个简单的例子来理解 RSA 的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的 素数 p,q,以及 e，假设用户 A 需要将明文“key”通过 RSA 加密后传递给用户 B，过程如下： （1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。 令 p=3，q=11，得出 n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取 e=3，（3 与 20 互质） 则 e×d≡1 mod f(n)，即 3×d≡1 mod 20。d 怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。试算结果 见下表： 通过试算我们找到，当 d=7 时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此，可令 d=7。从而 我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥） 为：KR =(d,n)=(7,33)。 （2）英文数字化。 将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排 列数值，即： 

则得到分组后的 key 的明文信息为：11，05，25。 （3）明文加密 用户加密密钥(3,33)将数字化明文分组信息加密成密文。由 C≡Me (mod n)得： 因此，得到相应的密文信息为：11，26，16。 （4）密文解密。 用户 B 收到密文，若将其解密，只需要计算 M≡Cd (mod n)，即： 用户 B 得到明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得 到了恢复后的原文“key”。 你看，它的原理就可以这么简单地解释！当然，实际运用要比这复杂得多，由于 RSA 算法的公钥私钥的长度（模长度）要到 1024 位甚至 2048 位才能保证安全，因此，p、q、e 的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速 完成。 最后简单谈谈 RSA 的安全性。 首先，我们来探讨为什么 RSA 密码难于破解？在 RSA 密码应用中，公钥 KU 是被公开 的，即 e 和 n 的数值可以被第三方窃听者得到。破解 RSA 密码的问题就是从已知的 e 和 n 的数值（n 等于 pq），想法求出 d 的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公 式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或 de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。密码破解的实质问题 是：从 pq 的数值，去求出(p-1)和(q-1)。换句话说，只要求出 p 和 q 的值，我们就能求出 d 的值而得到私钥。 当 p 和 q 是一个大素数的时候，从它们的积 pq 去分解因子 p 和 q，这是一个公认的数 学难题。比如当 pq 大到 1024 位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因 子的任务。因此，RSA 从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接 受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。 然而，虽然 RSA 的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译 RSA 的 难度与大数分解难度等价。即 RSA 的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。 

此外，RSA 的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做 到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很 高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长 度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用 RSA 只能加密少量数据，大量的数据 加密还要靠对称密码算法。