第1页 / 共14页
第2页 / 共14页
第3页 / 共14页
第4页 / 共14页
第5页 / 共14页
第6页 / 共14页
第7页 / 共14页
第8页 / 共14页
2013辽宁考研数学二真题及答案.doc
2013 辽宁考研数学二真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
x
x
1
sin ( )
x
（1）设 cos
（A）比 x 高阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价的无穷小
2
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价的无穷小
，其中 ( )
x
，则当
x 时， ( )x 是（
0
）
（2）设函数
y
( )
f x
由方程 cos(
xy
)
ln
y
确定，则
x
1
lim
n
n f
(
2
n
) 1
（
）
（A） 2
（3）设函数
（B）1
sin ,
x
2,
( )=
f x
（C） 1
0
x
x
2
（D） 2
，
( )
F x
x
0
f
( )
t dt
，则（
）
（A） x 是函数 ( )F x 的跳跃间断点
（B） x 是函数 ( )F x 的可去间断点
（C） ( )F x 在 x 处连续但不可导
（D） ( )F x 在 x 处可导
(
x
1
1
1)
1
1
ln
x
x
2
（B）
（4）设函数
( )=
f x
（A）
2
y
x
z
（5）设
(
f xy
)
，其中函数 f 可微，则
（A） 2
yf xy
(
)
（B） 2
（ 6 ） 设 kD 是 圆 域
(
yf xy
)
( ,
x y
D
（C）
, 1
x
e
,
x
e
，若反常积分
1
( )
f x dx
收敛，则（
）
（C） 2
0
（D） 0
2
（
）
)
（D）
2 (
f xy
x
)
z
y
x z
y x
2 (
f xy
x
1
y
2
2
) |
x
在 第 k 象 限 的 部 分 ， 记
(
y
(
)
x dxdy k
1,2,3,4)
，则（
）
I
k
D
k
（A） 1
I
0
（B） 2
I
0
（C） 3
I
0
（D） 4
I
0
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若
AB C 则 可逆，则
, B
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
（8）矩阵
a
1
1
a b a
1
1
a
与
2 0 0
0 b 0
0 0 0
相似的充分必要条件为
（A） a
0,b
2
（B）
a
,0
b
为任意常数
（C）
a
b
,2
0
（D）
a
,2
b
为任意常数
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9)
lim(2
x
x
)
1
) x
ln(1
x
．
1x
1
(10) 设 函 数
( )
f x
dx
dy
0y
t
e dt
， 则
y
( )
f x
的 反 函 数
x
1( )
y
f
在
y 处 的 导 数
0
．
(11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为 cos3 (
r
6
，则 L 所围成的平面图形的面
)
6
积为
．
(12)曲线
x
y
arctan
t
ln 1
2
t
上对应于 1t 的点处的法线方程为
．
(13)已知
y
1
3
x
e
xe
2
x
，
y
2
x
e
xe
2
x
，
y
3
xe
2
x
是某二阶常系数非齐次线性微分方程
的 3 个解，该方程满足条件
xy
0
0
xy
0
的解为 y
1
．
（14）设
A (a )
ij
是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， ijA 为 ija 的代数余子式，若
a A 0(i, j 1,2,3),
ij
ij
则
A
____
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
当
x 时，1 cos
0
x
cos 2
x
cos3
x
与 nax 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。
（16）（本题满分 10 分）
设 D 是由曲线
y
1
3
x ，直线
x
(
a a
及 x 轴所围成的平面图形， ,x
0)
V V 分别是 D 绕 x
y
轴， y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
V
10
V
x
y
，求 a 的值。
（17）（本题满分 10 分）
设平面内区域 D 由直线 3 ,
y y
x
（18）（本题满分 10 分）
及
3
x
x
y 围成.计算 2
x dxdy
8
D
。
设奇函数 ( )
f x 在[ 1,1] 上具有二阶导数，且 (1) 1
.证明：
f
（I）存在
（ ），使得 ( ) 1
f
0,1
；（II）存在
0,1（ ），使得 ( )
f
f
( ) 1
。
（19）（本题满分 11 分）
求曲线 3
x
xy
3
y
1(
x
0,
y
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
0)
（20）（本题满分 11 分）
设函数
，
( )
f x
x
ln
1
x
f x 的最小值
（I）求 ( )
（II）设数列{ }nx 满足
ln
x
n
1
x
n
（21）（本题满分 11 分）
1
，证明 lim n
x
n
存在，并求此极限.
设曲线 L 的方程为
y
x
(1
，
x
e
)
21
x
4
1 ln
2
x
及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标。
e
（1）求 L 的弧长；
（2）设 D 是由曲线 L ，直线 1,
x
,
设
B
A
1
a
1 0
（22）（本题满分 11 分）
0 1
1
b
矩阵C 。
（23）（本题满分 11 分）
,
f x x x
3
设 二 次 型
,
1
2
，当 ,a b 为何值时，存在矩阵C 使得 AC CA B
，并求所有
2
a x
1 1
a x
2 2
a x
3 3
2
b x
1 1
b x
2 2
b x
3 3
2
， 记
a
1
a
2
a
3
,
b
1
b
2
b
3
。
（I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T
T
；
（II）若 , 正交 且均为 单位向 量， 证明二 次型 f 在正 交变化 下的标 准形 为二次 型
2
2y
1
y 。
2
2
参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
x
x
1
sin ( )
x
（1）设 cos
（A）比 x 高阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价的无穷小
【答案】（C）
，其中 ( )
x
，则当
x 时， ( )x 是（
0
）
2
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价的无穷小
【解析】因为
sin ( )
x
lim
0
x
x
x 时， ( )
0
因此当
x ，所以sin ( )
x
0
lim
0
x
cos
x
2
x
，所以
1
1
2
( )
x
，所以
lim
0
x
，
0
limsin ( ) 0
x
x
sin ( )
x
x
lim
0
x
( )
x
x
，
1
2
所以 ( )x 是与 x 同阶但不等价的无穷小。
（2）设函数
y
( )
f x
由方程 cos(
xy
)
ln
y
确定，则
x
1
lim
n
n f
(
2
n
) 1
（
）
（A） 2
【答案】（A）
（B）1
（C） 1
（D） 2
【解析】由于 (0) 1
，所以
f
lim
n
n f
(
2
n
) 1
lim 2
n
对 此 隐 函 数 两 边 求 导 得 (
y
xy
)sin(
xy
)
f
2(
n
)
2
n
f
(0)
2 (0)
f
，
， 所 以 (0) 1
1 0
， 故
f
y
y
lim
n
n f
(
2
n
) 1
2
。
（3）设函数
( )=
f x
sin ,
x
2,
0
x
x
2
，
( )
F x
x
0
f
( )
t dt
，则（
）
（A） x 是函数 ( )F x 的跳跃间断点
（B） x 是函数 ( )F x 的可去间断点
（C） ( )F x 在 x 处连续但不可导
（D） ( )F x 在 x 处可导
【答案】（C）
x
sin
0
sin
0
2
【解析】
( )
F x
x
0
f
( )
t dt
由于 lim ( )
F x
x
( )
F x
x
lim ( )
F x
x
)
(
F
lim
x
lim
x
1 cos
x
所以 ( )F x 在 x 处不可导。
tdt
tdt
1 cos ,
x
x
dt
2
2(
x
0
x
1),
x
，
2
，所以 ( )F x 在 x 处连续；
x
0
，
lim
x
( )
F x
x
(
)
F
lim
x
)
2(
x
x
2
，
(
x
1
1
1)
1
1
ln
x
x
2
（B）
, 1
x
e
,
x
e
，若反常积分
1
( )
f x dx
收敛，则（
）
（C） 2
0
（D） 0
2
（4）设函数
( )=
f x
2
（A）
【答案】（D）
【解析】
( )=
f x
1
1
1)
1
1
ln
x
(
x
x
, 1
x
e
,
x
e
1
( )
f x dx
因为
当
e
1
( )
f x dx
e
1 x
( )
f x dx
，
e
1
( )
f x dx
e
1
1
1
1)
(
x
dx
lim
1
(
x
e
e
时
，
1
1
1)
dx
lim[
1
1
1
1)
(
2
2
]
1
2
(
e
1
1)
2
，
要使
当 x
要使
(
2
1
1
lim[
1)
1
1
1
ln
lim(
)
e 时，
1
x
1
ln
e
]
存在，需满足 2 0 ；
2
dx
e
ln
d
1
ln
x
x
x
1
1
lim(
)
1
ln
。
，
存在，需满足 0 ；所以 0
2
（5）设
z
y
x
(
f xy
)
，其中函数 f 可微，则
（A） 2
yf xy
(
)
（B） 2
yf xy
(
)
【答案】（A）
z
y
x z
y x
2 (
f xy
x
（C）
（
）
)
（D）
2 (
f xy
x
)
【解析】已知
z
y
x
(
f xy
)
，所以
z
x
y
2
x
(
f xy
)
2
y
x
(
f xy
)
，
所以
x z
y x
z
y
[
1
x
(
f xy
)
yf xy
(
)]
(
1
x
(
f xy
)
yf xy
(
))
2
yf xy
(
)
。
（ 6 ） 设 kD 是 圆 域
D
( ,
x y
2
) |
x
2
y
1
在 第 k 象 限 的 部 分 ， 记
(
y
(
)
x dxdy k
1,2,3,4)
，则（
）
I
k
D
k
（A） 1
I
0
（B） 2
I
0
（C） 3
I
0
（D） 4
I
0
【答案】（B）
【解析】令
x
r
cos ,
r
y
sin
，则有
I
k
D
k
(
y
)
x dxdy
1
0
rdr
( sin
r
r
cos )
d
1
(cos
3
sin )
故当 2
k 时，
，此时有 2
I
2
,
2
3
故正确答案选 B。
0.
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且C 可逆，则（ ）
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
【答案】（B）
【解析】由
C
AB
可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有
A
CB
1
，从而 A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义
可知正确选项为（B）。
（8）矩阵
a
1
1
a b a
1
1
a
与
2 0 0
0 b 0
0 0 0
相似的充分必要条件为
（A） 0,
b
a
2
（B）
a
,0
b
为任意常数
（C）
a
b
,2
0
（D）
a
,2
b
为任意常数
【答案】(B)
【解析】由于
a
1
1
a b a
1
1
a
为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而
a
1
1
a b a
1
1
a
与
2 0 0
0 b 0
0 0 0
相似的充分必要条件为
a
1
1
a b a
1
1
a
的特征值为 0,
,2 b 。
又
E A
1
a
1
a
b
a
1
a
1
[(
)(
b
2
2) 2 ]
a
，从而
a
,0
b
为任意常数
。
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9)
lim(2
x
x
)
1
) x
ln(1
x
【答案】
1
2e
．
lim
e
0
x
ln(1
x
x
)
ln(1 1
x
)
)
ln(1
x
x
)
lim
0
x
1
ln(1
x
x
，
x
)
1 (1
1
2
( ))
x o x
x
1
2
lim
0
x
【解析】原式=
ln(1 1
lim
0
x
x
t
e dt
，则
y
( )
f x
的反函数
x
1( )
y
f
在
y 处的导数
0
．
因此答案为
1
2e .
(10) 设函数
( )
f x
1x
1
dx
dy
0y
【答案】
【解析】
1
1 e
1
dy
dx
1
x
e
,
dx
dy
1
1
x
e
,
dx
dy
|
y
0
1
x
e
|
1
x
1
1
1
e
，则 L 所围成的平面图形的面
)
6
1
6
(11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为 cos3 (
r
积为
【答案】
12
．
【解析】所围图形的面积是
S
1
2
6
6
2
cos 3
d
6
0
1 cos6
d
2
12
上对应于 1t 的点处的法线方程为
．
2
t
【答案】
y
x
ln 2
0
(12)曲线
x
y
【解析】
dy
dx
当 1t 时，
x
arctan
t
ln 1
4
1
1
t
2
1
t
1
4
3
x
t
1
2
t
2
t
，
dy
1|
dx
t
1,
,
y
ln 2
，故法线方程为
y
x
(13)已知
y
1
e
2
x
xe
，
y
2
x
e
xe
2
x
，
y
3
xe
4
2
x
ln 2
0
.
是某二阶常系数非齐次线性微分方
程的 3 个解，该方程满足条件
xy
0
0
xy
0
的解为 y
1
．
【答案】
y
e
3
x
x
e
xe
2
x
【解析】由题意知： 3 ,x
e
e 是对应齐次方程的解， 2xxe
x
是非齐次方程的解，
故非齐次的通解为
y C e
1
3
x
x
C e
2
2
x
xe
C
，将初始条件代入，得到 1
21,
C
1
,
故满足条件的解为
y
e
3
x
x
e
xe
2
x
。
（14）设
A (a )
ij
是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， ijA 为 ija 的代数余子式，若
ij
a A 0(i, j 1,2,3),
ij
【答案】 1
【解析】
则
A
____
由
a
ij
A
ij
0
TA
可知，
*
A
A a A
1
i
1
i
a A
i
i
3
3
a A
1
1
j
j
a A
2
2
j
j
a A
3
3
j
j
2
3
j
1
a A
2
i
i
3
2
a
ij
i
1
2
a
ij
0
从而有
A
T
A
*
A
A
2
,
故
A
=-1.
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
