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概率论与数理统计 课后习题答案 复旦版.doc
21
习题 1.1 解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件
CBA ,
,
“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件
分别表示“第一次出现正面”，
CBA ,
, 中
(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
的样本点。
(正，正)，（正，反） ；
(正，正)，（正，反），（反，正）
,
,
DCBA
解：
A
C
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件
B
,
（正，正），（反，反）
分别表示“点数之和为偶数”，“点
数之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间
及事件
中的样本点。
BCCABAAB
DCBA
,
,
,
,
解
)1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB
BA
),2,1(),1,1(
),5,1(),3,1(),1,1(
),2,2(),1,2(),6,1(,
；
)1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,
；
),6,2(,
),2,6(),1,6(,
)6,6(,
；
：
；
)2,2(),1,1(BC
)4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(
分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用
CA
；
DCBA
CBA ,
,
3. 以
示以下事件：
CBA ,
, 表
（1）只订阅日报；
（3）只订一种报；
（5）至少订阅一种报；
（7）至多订阅一种报；
（9）三种报纸不全订阅。
（2）只订日报和晚报；
（4）正好订两种报；
（6）不订阅任何报；
（8）三种报纸都订阅；
解：（1） CBA ； （2） CAB ；
BCACBACAB
（4）
（6） CBA
； （7）
（8） ABC ； （9）
;
（3）
CBA
CBACBACBA
；
CBACBACBACBA
CBA
CBCABA
（5）
或
；
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件
AAA
1
3
,
,
2
分别表示甲、乙、丙射中。
试说明下列事件所表示的结果： 2A ,
AA
1
2
AA
3
2
AA
3
1
.
2 A
A
3
,
1AA
2
,
1 A
A
2
,
22
1 AAA
,
3
2
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少
有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至
少有两人击中。
5. 设事件
的和：
CBA ,
,
CBA
，
满足
AB ，
ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件
C
B
AC
.
解：如图：
A
CBA
C
CBA
CBA
ABC
CAB
BCA
CBA
CBA
B
ABC
BCA
CBACBA
;
23
CAB
CBCA
5,4,3A
，
BA 。
(
A
CB
，试问
3B
BA 是否成立？举例说明。
，
5,4C
，
)
(
CBA
)
是否成立？举例说
CBACBACBA
AB
B
C
AC
;
CCAB
BCACBACAB
CAB
AB
BCACB
CBA ,
,
6. 若事件
满足
解：不一定成立。例如：
那么，
CBCA
7. 对于事件
CBA ,
,
，但
，试问
明。
解：不一定成立。 例如：
5,4,3A
)
，
(
CBA
，但是
1
2
3
(
BP
，
)
6,5,4B
7,6,3
。
，
7,6C
，
，试就以下三种情况分别求
( ABP
， （2）
A ，
B
（3）
(
ABP
)
：
.
)
1
8
那么
A
8. 设
(
CB
(
)
AP
)
1
3
AB
（1）
解：
（1）
(
ABP
)
(
BP
AB
)
(
BP
)
(
ABP
)
1
2
；
（2）
(
ABP
)
)
(
ABP
(
BP
)
)
(
AP
1
6
；
（3）
(
ABP
)
(
BP
AB
)
(
BP
)
(
ABP
)
9. 已知
)(
AP
)(
BP
(
CP
)
事件
CBA ,
,
全不发生的概率。
，
(
ACP
)
1
4
1
1
2
8
(
BCP
)
3
8
。
1
16
，
(
ABP
)
0
求
解：
=
1
)
(
CBAP
(
)
AP
1
4
1
1
4
1
4
0
(
BP
1
16
CBAP
)
(
CP
1
16
0
1
(
CBAP
)
)
)
(
ACP
)
(
BCP
)
P
(
ABC
)
(
ABP
3
8
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一
个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： A “三个都是红灯”=“全
红”； B “全绿”； C “全黄”； D “无红”； E “无绿”； F “三
次颜色相同”； G “颜色全不相同”； H “颜色不全相同”。
24
解：
(
)
AP
(
BP
)
(
CP
)
(
FP
)
1
27
(
HP
1)
(
FP
111
333
1
9
；
8
9
.
1
27
1
27
11)
9
1
27
(
GP
)
222
333
8
27
；
；
(
DP
)
(
EP
)
!3
333
2
9
；
11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件
（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取
后不放回拿 3 次），试求：
（1）取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；
（2）取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。
解：
一次拿 3 件：
（1）
P
1
2
2
CC
98
3
C
100
.0
0588
； （2）
P
CC
1
2
CC
2
2
2
98
3
C
100
每次拿一件，取后放回，拿 3 次：
（1）
P
2
2
98
3
100
3
.0
0576
； （2）
1
P
每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：
3
98
100
3
1
98
.0
0594
；
.0
0588
；
（1）
P
3
.0
0588
；
（2）
1
P
.0
0594
98
97
2
100
99
98
96
98
97
99
100
98
9,
12. 从
,2,1,0 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率：
50
与
，
A
2
三个数字中不含
50
或
。
25
A
三个数字中不含
1
解：
(
AP
1
)
3
C
8
3
C
10
7
15
；
(
AP
2
)
C
3
8
2
C
3
9
3
C
10
14
15
或
(
AP
2
1)
1
C
8
3
C
10
14
15
13. 从
,2,1,0 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位
9,
偶数的概率。
解：
P
5
3
P
9
2
P
8
4
4
P
10
41
90
14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率：
（1）6 人中至少有 1 人生日在 10 月份；
（2）6 人中恰有 4 人生日在 10 月份；
（3）6 人中恰有 4 人生日在同一月份；
解：
（1）
P
1
6
11
6
12
1
4
11
CC
12
6
6
12
41.0
； （2）
P
C
2
11
6
4
6
12
.0
00061
；
（3）
P
2
.0
0073
15. 从一副扑克牌（52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少
有 2 张花色相同的概率。
解：
3
CC
13
1
4
P
1
4
2
13
CCC
3
C
52
1
39
.0
602
或
P
1
1
CCCC
13
1
13
3
4
1
13
C
3
52
.0
602
26
习题 1.2 解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%，从中任取一件，
结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令 iA “取到的是i 等品”，
3,2,1i
(
AAP
3
1
)
)
(
AAP
3
1
(
)
AP
3
(
AP
1
(
AP
3
)
)
6.0
9.0
2
3
。
2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中
有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令 A “两件中至少有一件不合格”， B “两件都不合格”
27
(
)
ABP
|
(
)
ABP
)
(
AP
(
)
BP
(
AP
)
1
C
2
4
C
1
1
5
2
C
10
2
6
2
C
10
3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单
独使用时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，
系统 II 仍有效的概率为 0.85，求
（1）两种报警系统 I 和 II 都有效的概率；
（2）系统 II 失灵而系统 I 有效的概率；
（3）在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。
解：令 A “系统（Ⅰ）有效” ， B “系统（Ⅱ）有效”
则
(
)
AP
,92.0
(
BP
)
,93.0
(
ABP
|
)
85.0
（1）
(
ABP
)
(
BABP
)
(
BP
)
(
BAP
)
(
BP
)
(
ABPAP
(
)
|
)
93.0
85.0)92.01(
.0
862
（2）
)
(
ABP
(
AP
AB
)
)
(
AP
(
ABP
)
92.0
.0
862
.0
058
.0
058
93.01
(
)
BAP
)
(
BP
1)
，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是
8286
.0
(
AP
(
)
ABP
|
(
ABP
|
)
（3）
(
BAP
|
)
4. 设
0
证：
： A 与 B 独立， A 与 B 也独立。
(
)
ABPBP
(
)
ABP
),
(
|
|
(
BP
)
(
)
ABP
|
(
ABP
|
)
：
AP
0
(
1)
0
(
AP
1)
28
又
(
)
ABP
|
(
)
ABP
)
(
AP
,
(
ABP
|
)
(
)
BAP
(
)
AP
而由题设
(
)
ABP
|
(
ABP
|
)
(
)
ABP
)
(
AP
(
)
BAP
)
(
AP
即
1[
(
ABPAP
(
)
)
ABP
)]
(
)
(
(
BPAP
)
)[
(
(
(
BPAP
ABP
)
，故 A 与 B 独立。
)]
5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的
1 ，求
(AP 和
)
(BP
)
.
概率都是 4
解：
BAP
(
)
(
BAP
)
1
4
，又 A 与 B 独立
(
BAP
)
(
(
BPAP
)
)
1[
(
(
BPAP
)]
)
1
4
(
BAP
)
(
(
BPAP
)
)
(
AP
1)[
(
BP
)]
1
4
(
)
AP
(
)
APBP
),
(
2
)
AP
(
1
4
即
(
)
AP
(
BP
)
。
1
2
(BP
6. 证明 若
)
(AP
>0，
)
>0，则有
（1） 当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容；
（2） 当 A 与 B 不相容时， A 与 B 不独立。
)
,0
(
BP
证明：
)
(
AP
0
（1）因为 A 与 B 独立，所以
(
)
(
)
(
)
ABP
BPAP
(
0
)
(
)
ABP
BPAP
，而
)
(
)
(
(
ABP
BPAP
CBA ,
,
7. 已知事件
相互独立，求证
（2）因为
0
)
证明：因为 A 、 B 、C 相互独立，
， A 与 B 相容。
(
， A 与 B 不独立。
，
0
)
BA 与C 也独立。
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