2008年湖南高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年湖南高考文科数学真题及答案一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 7,6,5,4,3,2U 7,5,4,3M 6,5,4,2N 1．已知，则( ，，    ) A． 6,4 NM  .B M N U C． ( UMNCu )  【答案】B 【解析】由 7,6,5,4,3,2U  ， D. ( NNMCu ) 7,5,4,3M  ， 6,5,4,2N  ，易知 B 正确. 2．“ 1 x 2 ”是“ 3x ”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由 1 x 2 3x 得 1    ，所以易知选 A. 3．已条变量 yx, 满足 A．4 ,1  ,2  y  ,0 x y x      B.3 则 y x  的最小值是( ) C.2 D.1 【答案】C 【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为 (1,1),(1,2),(2,2), 代入验证知在点 (1,1) 时, x y 最小值是1 1 2.   故选 C. y x -y = 0 y = 2 (1,2) O (2,2) (1,1) 1 x 4.函数 )( xf  2 x ( x  )0 的反函数是( ) x = 1 . fA  1 )( x  ( xx  )0 . fB  1 )( x  ( xx  )0 . fC  1 )( x  ( xx  )0 . fD  1 )( x  x 2 ( x  )0 【答案】B 【解析】用特殊点法,取原函数过点 ( 1,1),  则其反函数过点 (1, 1), 验证知只有答案 B 满足. 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。 5.已知直线 m,n 和平面 , 满足 amnm   , ,  ,则( )

.A n  . nB , // 或 n nC. . nD , // 或 n 【答案】D 【解析】易知 D 正确. 6．下面不等式成立的是( ) A． 3 log 2 log 3 log 5   2 2 B． log 3 2  log 5  log 3 2 2 C． log 2 3  log 2  log 5 2 3 D． log 2 3  log 5  log 2 3 2 【答案】A 【解析】由 3 log 2 1 log 3 log 5    2 2 , 故选 A. 7．在 ABC   中，AB=3，AC=2，BC= 10 ，则 AB AC A． 3 2 【答案】D B． 2 3 C． 2 3 【解析】由余弦定理得 cos CAB  所以 , 1 4 D．   AB AC ( )  3 2     3 2 1 4 3 2 , 选Ｄ. 8．某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目，则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A．15 【答案】C B．45 C．60 D．75 【解析】用直接法： 1 1 2 C C C C 3 3 5  1 5  2 1 C C 3 5  15 30 15 60,    或用间接法： 2 4 C C 2 6 2 3 2 C C 5  90 30 60,  故选Ｃ.  ABCD A B C D 1 1 1  1 的 8 个顶点在同一个球面上，且 AB=2，AD= 3 ， 9．长方体 1 AA 1 ，则顶点 A、B 间的球面距离是( ) A． 2 4 B． 2 2 C． 2 D．2 2 【答案】B 【解析】  BD AC 1  1  2 R  2 2, R  2, 设 D 1 D A 1 C 1 C B 1 O B , 则 1 1  BD AC O  2 AOB  ,      OA OB R  , 2  2    l R  故选Ｂ. 2, A 10．若双曲线 2 x 2 a  2 2 y b  (1 a  ,0 b  )0 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相

等，则双曲线离心率的取值范围是( ) A． (1, 2] B．[ 2, ) C．(1, 2 1] D．[ 2 1,   ) 【答案】C 【解析】  ex 0   a x 0  2 a c   e ( 1) x 0  2 a c  a    a 2 a c ( e  1) , a 1       1 1 e ,   2 2 e e 1 0,   1   2 1    e 2, a c 1 e e  而双曲线的离心率 1, e  (1, 2 1],  故选Ｃ. 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在横线上。 11．已知向量 )3,1(a ， )0,2(b ，则| ba  |=_____________________. 【答案】２【解析】由    a b    ( 1, 3),   a b |    | 1 3   2. 12.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示：性别男女人数生活能否自理能不能 178 23 278 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。【答案】60 【解析】由上表得 (23 21)   15000 500   2 30 60.  13．记 2( x  【答案】5 【解析】由 n )1 x   1 C T r (2 ) x 所以解得 5. r n n  的展开式中第 m 项的系数为 mb ，若 b  ，则 n =__________. 3 2b 4 n r   ( 1 x r )  2 n r   C x  r n n  2 r , 得 2  n 2  C 2 n 2 2   n  3  C 3 n , 14．将圆 2 x 2  y  1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆 C 的方程是________,若过点（ 3， 0 ）的直线 l 和圆 C 相切，则直线 l 的斜率为 y _____________. 【答案】 ( x  1) 2  2 y 1  ,  3 3 【解析】易得圆 C 的方程是 ( x  1) 2  2 y 1  , P X A B O

直线l 的倾斜角为30 ,150   , 所以直线l 的斜率为 k   3 . 3 15．设 x 表示不超过 x 的最大整数，（如  2  5,2   4   1 ）。对于给定的  Nn , 定义 C x n  ( nn )2 )(1 ( n    ( )1 ( x xx    n    x   x  )1  )1 , x   ,1  , 则 3 2 8C  ________; 当  3,2x 16 , 3 【答案】【解析】 3 C  2 8 ,28] 时，函数 xC8 的值域是_________________________。 28( 3 8 3 2 x  时， 2 C 8 8 7  2 1  当 2 16 , 3 28, 当    x  时，  2, x  3 xC 所以 8  8 7  3 2   28 , 3 故函数 xC8 的值域是 28( 3 ,28] . 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分 12 分）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 1 2 ，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。解：用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知 A,B,C 相互独立，且 ( ) P A  ( P B )  ( P C )  1 2 . （I）至少有一人面试合格的概率是1 31 ) 2 ( ( P A P B P C ) 1 (   1   ) ( )   )   ( P A B C 7 8  . （II）没有人签约的概率为 ( P A B C   ) ( P A B C   )  ( P A B C   )   ) ( ) ( ( P A P B P C 1 2 1 2 1 2   ( ) ( ) ( 3 3  )  3 )    ) ( ) ( ( P A P B P C 3 8 . )  ( ( P A P B P C ) ( )   )

已知函数 17．（本小题满分 12 分） x 2 x 2 （I）求函数 )(xf 的最小正周期； )( xf cos sin   2 2  sin x . （II）当 x 0 ,0(  ) 4 且 ( 0 xf ) 24 5 时，求 ( 0 xf  ) 6 的值。解：由题设有 ( ) f x  cos x  sin x  2 sin( （I）函数 ( ) f x 的最小正周期是 T  2π. x  ． ) π 4 （II）由 ( 0 xf ) 2 sin( 4 2 5 , 即 sin( x  0 π 4 )  4 5 , 1 (  4 ) 5 2  3 . 5  2 sin[( x 0  π 4 )   ] 6  )sin ] 6 因为 x 0 ,0( x ,所以 0 从而 cos( x 0  2 1 sin (  )  得 24 5  ) 4 π 4  ) 6 π  4 3 1 5 2   )cos  2 sin(   6 )  , ) )   x 0 π 4 x  0   π 4 π(  ). 4 2 π 4  ) 6 π 4 4 6 3 2 π 4 x 0   cos( x 0   .  10 于是 ( 0 xf   2[sin( x 0 2( 4 5  3 2 18．（本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥 P ABCD  的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD 060 ，E 是 CD 的中点，PA  底面 ABCD， 3PA （I）证明：平面 PBE  平面 PAB；（II）求二面角 A—BE—P 的大小。。 P D E C A B 解：解法一（I）如图所示, 连结 ,BD 由 ABCD 是菱形且 BCD 060 知，

是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点，所以 BCD△ BE CD⊥ 又 , AB CD/ / , 又因为 PA  平面 ABCD， BE  平面 ABCD， AB⊥ BE 所以 , 所以 PA ⊥ 而 ,BE PA , AB A 因此 BE ⊥平面 PAB. 又 BE  平面 PBE，所以平面 PBE  平面 PAB. （II）由（I）知， BE ⊥平面 PAB, PB  平面 PAB, 所以 . PB BE ,BE AB ⊥ 所以 PBA 又是二面角 A BE P  的平面角．  在 Rt PAB△ 中, tan  3,  PBA  60 .  ．   PBA PA AB  的大小为 60 . 故二面角 A BE P  解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是 (0 0 0), A ，， (1 0 0), C ，， 1 B ，， 3 ( ( 0), D ，， (0 0 3), P ，， 0), 3 2 2 3 2 2 0). E ，， (1 3 2 （I）因为  BE  (0, 3 2  0), n  ，平面 PAB 的一个法向量是 0 (0 1 0), ，，所以  和 0n 共线.从而 BE ⊥平面 PAB.  BE 又因为 BE  平面 PBE，所以平面 PBE  平面 PAB.  0), ，设 1n （II）易知  BE  PB (1 0, ， 3), (0,    3 2  ，，是平面 PBE 的一个法向量, ( x 1 y 1 z 1 )     n PB  则由 1    n BE   1   0 ，得 0    0 x 1       x 1 0 3 z 1  0 ， y 1 0   z 1  0 y  1 3 2 y 所以 1 x =0， 1  13 . z  故可取 1n  n   ，，而平面 ABE 的一个法向量是 2 ( 3 0 1). (0 0 1). ，，于是, cos    , n n 1 2   n 1  | n 1  n 2  | n 2   | 1 2 .  | ．故二面角 A BE P  的大小为 60 .  19（本小题满分 13 分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 )0,2(F ，且两条准线间的距离为 (  )4 。

（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点 A（1，0）的直线 l ，使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上，求的取值范围。解：（I）设椭圆的方程为 2 2 x a  2 2 y b  1( a   b 0). 由条件知 2, c  且 22 a c  所以 2 , a  , 2 b  2 a  2 c    4. 故椭圆的方程是 2 2 x y      1(   4). 4 （II）依题意, 直线l 的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线l 的方程是 y  ( k x  1). 设点 (2 0) F ，关于直线l 的对称点为 F x ，y 则 ), ( 0 0      2 0 xk (  2 k    1 y 0 2  y 0  x 0 2  1) ，解得       x 0  y 0  1 1 ， 2 2 2 k  2 k k  2 2 k   因为点 F x ，y 在椭圆上，所以 ( ) 0 0 ( 1 2 )  2 k ( 1 k    2 ) 2 4  1. 即   ( 4) k 4  2 (   6) k 2  (   4) 2  0. 设 2 k t 则 ,   ( 4) t 2  2 (   6) t  (   4) 2  0. 因为 4, 所以 2 4) (   ( 4)    0. 于是, 当且仅当       [2 (   6) 2 (   4) (   2 6)]  0. -4   ( 3 4) ， ( )  上述方程存在正实根,即直线l 存在. 解( ) 得 16 ,    3     4   6. 所以 4   16 3 . 即的取值范围是 4   16 3 .

20．（本小题满分 13 分）数列 na 满足 a 1  ,0 2 a  ,2 a    2 (1 cos n 2 n  ) 2 a n  4sin 2 n  , 2 n  1,2,3, ,  （I）求 3,aa 4 ，并求数列 na 的通项公式；（II）设 S k  a 1  a 3   a  2 1 k ， T k  a 2  a 4   a 2 k ， W k  2 S k 2 T  k ( k N   ) ，求使 kW  的所有 k 的值，并说明理由。 1 解：（I）因为 a 1  ,0 2 a  ,2 所以 a 3   (1 cos 2 a 4   (1 cos 2 )  a 2  4sin 2   2 a 2  a 1  4sin 2  2  a 1   4 4,  ) 2 4, 一般地, 当 2 n = ) 时， a 2 k 1    [1 cos 2 k (2  k k N   1)  ] a 2 k 1(  2  4sin 2 1  1 2 k  2   a 2 k 1   4, a 即 2 k 1   a 2 k 1   所以数列 4. 1ka  是首项为 0、公差为 4 的等差数列， 2  ka 因此 2   1 4( k  1). 当 2 ( k k N  n = ) a 时， 2 k 2 2ka 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此 2 ka  k  ] a 2    2 [1 cos 4sin 2  2 2 2 2 k k 2 .k   2 a 2 k , 所以数列 故数列 na 的通项公式为 a n      n 2( n 2 , 2  1), n  2 k  1( k N   ), n  2 ( k k N   ) （II）由（I）知， S k  a 1  a 3    a 2 k 1  0 4      4( k   1) 2 ( k k  1), T k  a 2  a 4    a 2 k   2 2 2   k 2  2 k 1   2, W k  2 S k 2 T  k  1) .  1  ( k k k 2 . 于是 1 W  0, W  2 下面证明: 当 6 k  时， W k W 1 k   ( k 又 6 1,W  所以当 6 6 W  15 5 , 16 4 k  时， 5 4 3 1, 1. 3 , 2 W  W  W  3 , 2 kW  事实上, 当 6 ( k k k 2 k  时， (3  k 2 1)  1  kW  1.   k k k ) 1)  k 2 W  即 1 k 0, W  k .

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