太原理工大学矩阵论讲义习题答案.pdf-资料库

习题 1111 1．验证以下集合对于所指的运算是否构成实数域 R上的线性空间：（1）实数域 R上的全体 n阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法；实数域 R上的全体 n阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成 R上的线性空间 nnR × ，记 AARAAV } |{ ∈ nn × = = T , ； ARAAW T |{ ∈ nn × = , −= A } 因为，对任意的 VBA ∈, ， BBAA T = , = T ，则 ( BA T + ) = BA + ，即 VBA ∈+ ，所以V 对加法运算封闭；对任意的 VA∈ ， Rk∈ ， AAT = ，则 kA T =) ( kA ，即 VkA∈ ，所以V 对数乘运算封闭；所以，V 是 nnR × 的一个线性子空间，故V 构成实数域 R上的一个线性空间。同理可证，W也是一个线性空间。（2）平面上不平行于某一向量的全体向量所组成的集合，对向量的加法和数量乘法；设 2R∈α ， 0≠α ，记 xRxxV |{ ∈ = , 2 不平行于 } α ，任取 Vx ∈0 ，则 Vx ∈+ 0α ， Vx ∈− 0α ，但 ( α + x 0 ) + ( α − x 0 ) = 2 α ∉ V ，所以，V 对加法运算不封闭，故V 不构成实数域 R 上的线性空间。（3）实数域 R上次数等于n的多项式全体，对多项式的加法和数量乘法；记 ][xRn 表示实数域 R上次数不超过n的多项式全体，则次数等于n的多项式全体可表示为： = − ][ n 1 xRxRV ][ 构成实数域 R上的线性空间。，任取 n − Vxf ∈)( ，均有 0 ⋅ xf )( ∉= 0 V ，所以，V 对数乘运算不封闭，故V 不（4）全体实数对 |),{( Rbaba } ∈ ，对于如下定义的加法 ⊕ 和数量乘法 � ： , 2 )1 1 kk ( − 2 ) ，； ba ( 1 1 , ) ⊕ ba ( 2 2 , ) = aabbaa ( 1 2 + + + , 1 2 � ( bak 1 a 2 1 因为该加法 ⊕ 和数量乘法 � 运算满足线性运算的全部性质： ba ) ( 1 1 aabbaa ( 1 21 kbka ( 1 ba ) ( 1 1 ba ( 2 2 ba ( 2 2 i） ⊕ ⊕ ； = + + + = + = ) ) ) ) ) , , , , , , , 1 2 2 1 1 ii） ba (( 1 1 , ) ⊕ ba ( 2 2 , )) ⊕ ba ( 3 3 , ) = aabbaa ( 1 21 + + + , 2 1 2 ) ⊕ ba ( 3 3 , ) = = aaabaabbaaa ( 1 3 + + + + + + + ) ( , 2 1 3 2 1 2 1 3 2 aaaaaabbbaaa ( 1 3 31 21 + + + + + + + , 2 3 2 1 3 2 ) ) = ba ( 1 1 , ) ⊕ ba (( 2 2 , ) ⊕ ba ( 3 3 , )) ； 1

iii） ba ( 1 1 , ) ⊕ )0,0( = ba ( ) 1 1 , ； iv） ba ) ( 1 1 , ( −⊕ aba 2 1 1 − , 1 )0,0( ； v） � (1 ba 1 1 , ) = ba 1,1( 1 1 vi） balk 1 ( ( � � , 1 )) = � ) ； , ba ( 1 1 )1 a 2 1 ) ) = + )11(1 + − 2 lblak , + 1 1 klkl 2 = + ( ( , ) = a 2 1 ll ( − 2 a 2 1 )1 − vii） bak ( )) 1 ( � , 1 1 )1 = kla ( 1 , klb 1 ) = bakl ( 1 ( ) � , ) ； 1 , ( + ⊕ � kbka ( 1 bal ( )) 1 kk ( − 2 ka lba ( 2 + 1 1 1 lklkblkalk + −+ (( + kk ( − 2 + kbla 1 + )(( 1 )1 ll ( − 2 )1) (, + + + ( ) ) , 1 ) a 2 1 )1 1 1 = = all ( )1 2 1 − 2 ) ⊕ lbla ( 1 , 1 + a 2 1 + kla 2 1 ) a 2 1 ) = balk ( 1 �+ ) ( , 1 ) ； = kla ( 1 , klb 1 + ( )1 kkallk ( − 2 − 2 + 2 1 )1 la ( 1 )) 2 2 + viii） ) � � 1 2 1 1 1 , , , ( = + = + ), (( )) ba ( 2 2 aabbaak 21 )1 bak ) ⊕ + 1 2 kkaabbkaak ( − (( + 2 kkaak ( − 2 + ka ( 1 kbka ( 2 kbka ( 1 )1 21 21 + + + + = = ) ( , , 2 1 2 2 1 2 2 , + + kb 2 kbka 1 kk ( − 2 bak ( ⊕ 2 a 2 1 ⊕ )) + � ) ( , 2 bak ( 1 ( � , 1 )) 。 = + aa ( )) 2 2 1 kka )1 ( − 2 1 2 kk ( − ) 2 a 2 2 )1 + )1 a 2 2 ) 所以，全体实数对 |),{( Rbaba } ∈ 构成实数域 R上的线性空间。 , （5）设 +R 表示全体正实数，加法 ⊕ 和数量乘法� 定义为 abba =⊕ ， kaak =� ，其中， Rk∈ ． +∈ Rba, 因为该加法 ⊕ 和数量乘法 � 运算满足线性运算的全部性质： i） aaaaaaaa 1 1 =⊕ ⊕= 12 21 = ) 2 2 ； ii） aa ( 2 1 ⊕ ) =⊕ aaa 21 3 ）（）（ aaaaaaaa 3 1 （）（ 1 ⊕= =⊕ 21 = 3 2 3 aa ） 2 3 ⊕ ； iii） a 1 =⊕ 1 a 1 1 =⋅ a 1 ； iv） a 1 =⊕ 1 a 1 a 1 ⋅ 1 a 1 = 1 ； 2

v） 1 � aa 1 1 = ( ) 1 = a 1 ； vi） akalk l 1 = ( ) ( � � � 1 ) = a ) ( kl 1 = a lk 1 = alk ( 1 � ) ； vii） ak ( 1 � ) ⊕ � al ( 1 ) = a ( k 1 ) ⊕ aaaa ( l lk + 1 1 k 1 = = l 1 ) ⋅ = alk ( 1 + ) � ； viii） aakaak 21 ⊕ = ( ) ( � � 2 1 （） = aa 21 k ) = aa kk 1 2 = ak ( 1 � ) ⊕ ak ( 2 � ) 。所以，全体正实数 +R 构成实数域 R上的线性空间。 2．验证 α 1 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 2 0 31 − ⎞ , ⎟⎟ ⎠ α 2 = 3 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − − 2 1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ , α 3 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 2 0 41 − ⎞ , ⎟⎟ ⎠ α 4 = 1 3 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − − 2 5 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 是 22×R 的基．设 x α 1 1 + x α 2 2 + x α 3 3 + x α 4 4 = 0 ，则 x 2 1 xx x 2 3 + + + 3 4 2 x x 2 0 2 − − = 2 4 xxx x 3 + − + − 3 4 1 2 x x xx 5 4 3 − − + 4 3 2 1 2 0 1 − 4 2 − 0 2 4 − −= )2( ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 3 2 − 1 1 − = 0 = = 0 0 2 1 − 3 ， 2 1 − 4 2 − 2 4 − ≠= 4 0 ，因为， 2 0 1 − 3 3 2 − 1 1 − 2 0 1 − 4 1 2 − 3 5 − = 2 0 1 − 3 所以，线性方程组只有零解，即向量组 αααα 4 ，，， 1 3 2 线性无关，故 αααα 4 ，，， 1 3 2 构成 22×R 的基． 3．求线性空间 ][4 xP 的向量 xf )( −= 56 xx 2 − 在基 (,1 x − (),1 x − 2 (,)1 x − )1 3 下的坐标．因为 xf )( 56 −= xx 2 − −= (56 x (5)1 −−− x − )1 2 − (2 x −=−− 1)1 (7 x )1 −− ( x − )1 2 ，所以， )(xf 在基 (,1 x − (),1 x − 2 (,)1 x − )1 3 下的坐标为），，，（。 − 7 − 01 0 4．求 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 42 3 1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 在基 11 ⎞ ⎟⎟ 11 ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ , ⎛ ⎜⎜ ⎝ 01 11 ⎞ , ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 11 10 ⎞ , ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 10 ⎞ ⎟⎟ 11 ⎠ 下的坐标．设 x 1 11 11 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ +⎟⎟ ⎠ x 2 01 11 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ +⎟⎟ ⎠ x 3 x 4 ⎞ +⎟⎟ ⎠ 11 10 ⎛ ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎝ xxx 1 3 xxx 1 4 xxx 1 4 + + = = = xxxx 1 4 + + + + + + 2 + 3 2 3 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 10 ⎞ =⎟⎟ 11 ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 42 31 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ，则，即 x 1 x 2 x 3 x 4 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 = 1 −= 2 = 1 = ， 2 4 1 = 3 3

所以， ⎛ ⎜⎜ ⎝ 42 31 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 在基 11 11 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ , ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 01 11 , ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 11 10 ⎞ , ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 10 11 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 下的坐标为），，，（。 121 1 − 5．设 nnCA ×∈ ， λ是数。记 AxCxE ∈= { n | λ = x } λ 。证明 λE 是 nC 的子空间。如果λ是 A的特征值，则称 λE 是 A的特征子空间．因为， = λA 0 0 = 0 ，所以， λE∈0 ，即 Φ≠λE 。对任意的 λEyx ∈, ， xAx λ= ， Ay λ= y 则 yxA ( ) + = ( λ yx ) + ，所以 λEyx ∈+ ，即 λE 对加法运算封闭；对任意的 λEx∈ ， Ck∈ ，则 kxA ) ( = xkAxk ( ) kx ( ) ( λλ = = ) ，所以 λEkx∈ ，即 λE 对数乘运算封闭；故 λE 是 nC 的子空间。 6．设有 3R 的两个子空间， V 1 = {( xxx 1 3 , , 2 2|) xxx 1 3 − + 2 = }0 ， V 2 = {( xxxxx 1 2 |) + , , 1 3 2 = 3,0 x 1 + 2 xx 2 3 − = }0 ．求子空间 VVVV 1 2 ∩ + , 1 2 的基，以及它们维数．因为 2 xxx 1 3 − + 2 = 0 解为 cx 1 = 1 0 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ + c 2 0 1 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ，所以， V = 1 ααspan 2 ( , 1 ) ，其中 1α = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ， 2α = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ；又因为 ⎧ ⎨ x 3 ⎩ 1 xx 0 = + 1 2 xx 2 + − 3 2 = 0 的解为 3cx = 1 1 − 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ，所以， V = 2 αspan ( 3 ) ，其中 3α 1 1 −= 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 。由于 ααα 3 = − 2 1 ，所以 2 VV ∈ ，从而 1 VVV 1 1 = + 2 的基为 1α ， 2α ，维数为 2； VVV 2 1 =∩ 2 的基为 3α ，维数为 1。 7．已知 A 1 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 2 0 31 − ⎞ , ⎟⎟ ⎠ A 2 = 3 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − − 2 1 ⎞ , ⎟⎟ ⎠ B 1 = − − ⎛ ⎜⎜ ⎝ 65 95 ⎞ , ⎟⎟ ⎠ B 2 = 4 3 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − − 4 5 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ，而 V 1 = VAAspan 2 ,{ 1 }, 2 = BBspan 2 ,{ 1 } 求子空间 VVVV 1 2 ∩ + , 1 2 的基，以及它们维数． 4

因为 ( BBAA 1 2 , , , 1 2 ) = 2 0 1 − 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 3 2 − 1 1 − 5 − 6 5 − 9 4 4 − 3 5 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → 1 0 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 1 − 2 − 5 2 5 6 15 − 6 − 3 − 4 − 10 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → 01 10 00 00 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 2 3 − 0 0 1 − 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ，所以 AAB 1 2 − = 2 3 1 ， B 2 −= 2AA 2 1 + ，或 BBA 1 2 + = 3 2 1 ， 2BBA 2 2 + = 1 ，从而 VVVVVV 1 2 =∩= = + 1 2 1 2 ，其基为 1A， 2A ，维数为 2。 8．已知 22×R 中的两组基分别是： e 1 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 01 00 ⎞ ⎟⎟ ⎠ , e 2 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 00 01 ⎞ ⎟⎟ ⎠ , e 3 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 10 00 ⎞ ⎟⎟ ⎠ , e 4 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 00 10 ⎞ ⎟⎟ ⎠ α 1 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 2 0 31 − ⎞ , ⎟⎟ ⎠ α 2 = 3 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − − 2 1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ , α 3 = ⎛ ⎜⎜ ⎝ 2 0 41 − ⎞ , ⎟⎟ ⎠ α 4 = 1 3 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − − 2 5 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ．（1）求由基 eeee 1 4 , , , 3 2 到基 αααα 4 3 2 1 , , , 的过渡矩阵；（2）分别求矩阵 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 42 31 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 在基 eeee 1 4 , , , 3 2 和基 αααα 4 3 2 1 , , , 下的坐标；（3）设V是由在基 eeee 1 4 , , , 3 2 和基 αααα 4 3 2 1 , , , 下有相同坐标的二阶方阵构成的集合。证明：V 是 22×R 子空间，并求出V 的基与维数．因为 =α 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 2 0 31 − ⎞ =⎟⎟ ⎠ =α 3 2 0 41 − ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ =⎟⎟ ⎠ ee 2 1 2 1 − + e 3 4 ； =α 2 ee 2 1 2 1 − + e 4 4 ； =α 4 3 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 1 3 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − − 2 1 ⎞ =⎟⎟ ⎠ − − 2 5 ⎞ =⎟⎟ ⎠ ee 1 3 2 1 + − ee 1 2 4 3 − ； ee 3 2 1 + − e 2 3 − e 5 4 ，所以 ( αααα 4 , , , 3 2 1 ) = eeee ( 1 4 , , , 3 2 的过渡矩阵为 A = 2 1 − 0 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 3 1 2 − 1 − 2 1 − 0 4 3 1 2 − 1 − 2 1 − 0 4 1 3 2 − 5 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ，即由基 eeee 1 4 , , , 3 2 到基 αααα 4 3 2 1 , , , 2 1 − 0 3 ⎛ ⎜ ⎜ ) ⎜ ⎜⎜ ⎝ 1 3 2 − 5 − 。 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 5

又因为 α = 42 31 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ =⎟⎟ ⎠ eeee ( 1 4 , , , 3 2 ⎛ ⎜ ⎜ ) ⎜ ⎜⎜ ⎝ 2 1 4 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ = ( αααα 4 , , , 3 2 1 1 ) A − 2 1 4 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ，所以，矩阵 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 42 31 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 在基 eeee 1 4 , , , 3 2 下的坐标为 )3,4,1,2( ，在基 αααα 4 3 2 1 , , , 下的坐标为 1 =− xA )7,4,9,15( −− ，其中 ( xA ) = 2 1 − 0 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 3 1 2 − 1 − 2 1 − 0 4 2 1 3 1 42 − 35 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → → 001 010 100 000 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 4 − 1 2 1 13 − 2 − 10 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → 1 0 0 0 11 − 1 0 5 0 2 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 0001 0010 0100 1000 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 最后，设V是由在基 eeee 1 4 , , , 3 2 和基 αααα 4 3 2 1 , , , 3 − 1 7 4 1 − 2 − 4 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → 101 010 000 100 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 2 − 1 2 2 3 − 2 − 14 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 15 9 − 4 − 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 。下有相同坐标的二阶方阵构成的集合，即 V = |{ αα = xexexexex α 11 1 1 44 22 33 = + + + + x α 2 2 + x α 3 3 + x α 4 4 } ，由于 B = ( α 1 − e 1 , α 2 − e 2 , α 3 − e 3 , α 4 − e 4 ) = 1 1 − 0 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 3 0 2 − 1 − 2 1 − 1 − 4 1 3 2 − 6 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → 1 0 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 0 3 2 − 1 − 1 1 1 − 1 3 − 4 2 − 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → 01 10 00 00 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 1 1 − 1 3 − 3 − 3 − 5 8 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ → 01 10 00 00 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 1 1 − 1 0 3 − 3 − 5 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 可逆，所以 }0{=V 。从而 V是 22×R 的零子空间， V的维数等于 0，并且它没有基。 9．设 V 1 = {( xx 2 1 , ,..., V 2 = {( xx 2 1 , ,..., xxx n 2 |) + 1 xxx n 2 |) = 1 （1）分别求 1,VV 的基； 2 （2）证明： 1 VVRn 2 ⊕= ． +⋅⋅⋅+ x n = }0 ， =⋅⋅⋅= x } n 。 6

+ c 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎟ ⋯⋮ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 − ⎠ + + nc 1 − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 ⋮ 1 1 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ，所以， 1 0 ⋮ 0 1 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ， α 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 ⋮ 0 1 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,⋯ , nα =− 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⋮ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 − ⎠ 。 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⋮ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 − ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ncx = ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎠ ⎝ α 1 = 。 1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎟ ⋮ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 。因为 xx 2 1 + + ⋯ + nx = 0 解为 cx 1 V 1 = αα ⋯ span ( , , 1 2 , α n 1 − ) ，其中基为又因为 xx 1 = ⋯2 = = nx 的解为，所以， V 2 = span ( ) α n ，其中基为 nα = ( k αα , ) =n 0 ， k = ,2,1 ⋯ ，所以 n − 1 ⊥= 1 2 VV ，从而由于 10．设 nRVVVV 1 =⊕= + 2 1 2 xpxpV )( 1 |)({ = 是奇函数， xPxp ]}[ )( n∈ ， V 2 = xpxp |)({ )( 是偶函数， xPxp ]}[ )( n∈ ．（1）证明： 1,VV 是 2 ][xPn 的子空间，并求它们的基；（2）证明： VVxPn 2 ⊕= ][ 1 ．因为存在 xPVxxp )( ][ n⊂∈= 1 ，所以 Φ≠1V 。对任意的 Vxqxp ( 1 )( ), ∈ ，由于次数不超过n的多项式仍是次数不超过 n的多项式，而且奇函数的和仍是奇函数，所以 Vxqxp )( 1 )( ∈ + ，即 1V对加法运算封闭。对任意的 Vxp ∈ ， Pk∈ ，由于常数倍不增加次数，而且奇函数的常数倍仍是奇函 )( 1 数，所以 )( Vxkp ∈ ，即 1V对数乘运算封闭；故 1V是 1 ][xPn 的子空间。 1V 的基为 xx ⋯ , , 3 , +kx 2 1 ， n ≤− 21 k ≤+ 1 n 。同理， 2V 是 ][xPn 的子空间，并且基为 xx 2 4 , ⋯ ， kx 2 , , n ≤− 21 nk ≤ 。 VV 1 2 =⊕ span 3 xx ,( , ⋯ , 2 x k + 1 ) + span ( 4 2 xx , ⋯ , , 2 x k ) = xP ][ n 。 11．设 1,VV 是V 的两个非平凡子空间，证明：存在 V∈α 2 ，使得 1 VV ∪∉α 2 ． 7

因为 1,VV 是V 的两个非平凡子空间，所以存在 2 1 V∈α 1 ， 1 V∉α 2 ， 2 V∈α 2 ， 2 V∉α 1 ，令 1 ααα 2 + = ，则 1V∉α ， 2V∉α ，从而 1 VV ∪∉α 2 。习题 2222 1．判断下列变换T是否为线性变换：（1）在线性空间V 中定义 +=)(T αξξ 其中 V∈α 为给定向量； T ( ) αηαξαηξηξ 0≠α 时，因为当 + + + ≠ + + = + ( ) ( ) ( ) = T )( ξ + T )( η ，所以T不是线性变换。当 0=α 时， ξξ =)(T ，从而满足 T ( ηξηξ =+= + ) T )( ξ + T )( η ， kT ) ξ ( = k ξ = kT )( ξ ，所以T是线性变换。（2）在 3R 中，设 xxxx= 3 ( , , 2 1 ) ， xT )( = ( 2 xxxx 1 3 + , , 2 1 ) ；因为当 1≠k 时， kxT ) ( = kx (( 1 ,) 2 kx 1 + kxkx 3 , 2 ) ≠ xxxxk ( 3 + 2 1 , , 2 1 ) = xkT )( ，所以，T不是线性变换。（3）在 ][xPn 中， xfT )) ( ( 因为 xgxfT )) )( + ( ( = xf + ( )1 ； = xf ( ++ )1 xg ( + )1 = xkfT )) ( ( = xfkTxkf )) )( = ( ( ， xgTxfT )) (( )) + ( ( ，所以，T是线性变换。（4）在 22×R 中， XT ( =) AXB ，其中 ×∈ RBA , 22 为给定矩阵．因为 BYXAYXT + = + ) ( ) ( = AXB + AYB = YTXT ) + ( ) ( ， kXT ) ( = AXBkBkXA ( ) = ( ) 所以，T是线性变换。 2．给定线性空间 3R 的两个基： = XkT ) ( ， 8

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