2012年四川高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么 ( P A B + ) = ( ) P A + ( P B ) 如果事件相互独立，那么 ( P A B × = ) ( ( P A P B )  ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么球的表面积公式 S Rp= 4 2 其中 R 表示球的半径球的体积公式 V Rp= 4 3 3 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径 ( ) P k n = k k C p n (1 - p ) 注意事项： n k - = , ) n… 0,1,2, ( k 第一部分（选择题共 60 分） 1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、 7 )x 的展开式中 2x 的系数是（ (1 A、 42 B、35 (1 i  2 i  （） ) 2 2、复数） C、 28 D、 21 A、1 B、 1 C、i D、 i 3、函数 ( ) f x x  2 9 , x   3 x   2), ln( x    3 x  3 在 3 x  处的极限是（） A、不存在 B、等于 6 4、如图，正方形 ABCD 的边长为1，延长 BA 至 E ，使接 EC 、 ED ，则sin CED  （） C、等于3 1 AE  ，连 D、等于 0 A、 3 10 10 B、 10 10 C、 5 10 D、 5 15 5、函数 y  x a  1 ( a a  0, a  的图象可能是（ 1) ）

A 6、下列命题正确的是（ B ） C D A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行  7、设 a 都是非零向量，下列四个条件中，使  b  成立的充分条件是（ | b  、b  a  a  | | | ）  a  | | b | 且|   D、 //a b (2, ) 0 M y 。若点 M 到该抛物线  A、 a  b    B、 //a b  C、 2 b  a 8、已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点焦点的距离为3 ，则| |OM  （） A、 2 2 B、 2 3 C、 4 D、 2 5 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（） A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 10、如图，半径为 R 的半球O 的底面圆O 在平面内，过点O 作平面的垂线交半球面于点 A ，过圆O 的直径CD 作平面成 45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面  的距离最大的点为 B ，该交线上的一点 P 满足 BOP  ，则 A 、 P 两点间的球面距离为（ 60 ）  A、 R arccos 11、方程 ay  2 2 b x B、 2 4  中的 , c R 4 C、 R a b c    { 3, 2,0,1,2,3} , arccos D、 3 3 ,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的，且 , R 3 曲线中，不同的抛物线共有（） A、60 条 B、62 条 C、71 条 D、80 条

12、设函数 ( ) f x  2 x  cos x ，{ }na 是公差为  8 [ ( f a 3 2 )] a a 1 3  （） ( f a 的等差数列， 1 )  ( f a 2 )   ( f a 5 ) 5  ，则  A、 0 注意事项： B、 1 16 2  C、 21  8 D、 13 16 2  第二部分（非选择题共 90 分）（1）必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。（2）本部分共 10 个小题，共 9 0 分。二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13 、设全集 { , , } a b c d { , , } b c d { , } a b ，集合，则 U A B ，   ,  ( 痧 U ) A ( U ) B  ___________。 14、如图，在正方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 中， M 、 N 分别是CD 、 1CC 的中点，则异面直线 1A M 与 DN 所成角的大小是____________。 15、椭圆 2 x 4 2 y 3  的左焦点为 F ，直线 x m 与椭圆相交于点 A 、B ，当 1 的周长最大时， FAB FAB 16、记[ ]x 为不超过实数 x 的最大整数，例如，[2] 2 ，[1.5] 1 ，[ 0.3] 的面积是____________。     。设 a 为正整数，数 1 列{ }nx 满足 1x x a ， 1 n         a x n ] x n  [ 2       ( n N   ) ，现有下列命题： ①当 5 ②对数列{ }nx 都存在正整数 k ，当 n a  时，数列{ }nx 的前 3 项依次为 5,3,2； x k 时总有 n x ； k ③当 1n  时， nx a 1  ； ④对某个正整数 k ，若 1k 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）   ，则 nx x k 。  a x [ ] 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） A 和 B ，系统 A 和 B 在任意时刻发生

故障的概率分别为 1 10 和 p 。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49 50 ，求 p 的值；（Ⅱ）设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望 E。 18、(本小题满分 12 分) 函数 ( ) 6cos f x  2 x  2  3 cos    3( x  在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的最高 0) 点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC （Ⅰ）求的值及函数 ( ) f x 的值域；为正三角形。（Ⅱ）若 0 ( f x  ) 8 3 5 ，且 0 ( x   10 2 3 3 , ) ，求 0( f x  的值。 1) 19、(本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 P ABC 中，   ，平面 PAB  平面 ABC 。 APB  ， 90    60  ，AB BC CA PAB （Ⅰ）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角 B AP C  的大小。  20、(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 a a （Ⅰ）求 1a ， 2a 的值；  S 2 n  对一切正整数 n 都成立。 S n （Ⅱ）设 1 a  ，数列 0 {lg 110 a a n } 的前 n 项和为 nT ，当 n 为何值时， nT 最大？并求出 nT 的最大值。 21、(本小题满分 12 分) 如图，动点 M 到两定点 ( 1,0) A  B ，设动点 M 的轨迹为C 。、 (2,0) 2   MAB MBA  （Ⅰ）求轨迹C 的方程；构成 MAB  ，且（Ⅱ）设直线 y   2  与 y 轴交于点 P ，与轨迹 C 相交于点 x m Q R、，且| PQ PR | | | ，求 | | PR PQ | | 的取值范围。 22、(本小题满分 14 分)

已知 a 为正实数， n 为自然数，抛物线 y x  2 物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。（Ⅰ）用 a 和 n 表示 ( ) f n ；  与 x 轴正半轴相交于点 A ，设 ( ) f n 为该抛 na 2 （Ⅱ）求对所有 n 都有 ( ) 1 f n  ( ) 1 f n   n 3 n 3  （Ⅲ）当 0 1a  时，比较 n  k 1  ( ) f k 成立的 a 的最小值；与 (2 ) k 27 4  f f (1) (0)   ( ) f n (1) f 的大小，并说明理由。 1 1  f

参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 1. D 7. C 2. B 8. B 3. A 9. C 4. B 10. A 5. D 11. B 6. C 12. D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。 , } a c d 13. { , 14. 90 15. 3 16. ①③④ 三、解答题 17. 本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1  ( P C ) 1   1 10 p   49 50 解得 p  …………………………………………………………………………4 分 1 5 （II）由题意， P (  0)  C 3 )  2 ) (1   )  (1    ( 0 3 1 10 1 10 1 10 2 ) 1 1000 27 1000 243 1000 P (  1)  C 1 3 ( P (  2)  C 2 3 1 10 1 10 P (  3)  C 3 3 (1  1 10 3 )  729 1000 所以，随机变量的概率分布列为  P 0 1 1000 1 27 1000 2 243 1000 3 729 1000 故随机变量的数学期望： 0 E  1 1000 1   27 1000 2   243 1000 3   729 1000  …………………………..12 分 27 10

18．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。解：（I）由已知可得， ( ) 3cos f x  x   3 sin x   2 3 sin( x    ) 3 又正三角形 ABC 的高为 2 3 ，从而所以函数 ( ) f x 的周期 T    ，即 4 2 8 4 BC  2    8,    4 函数 ( ) f x 的值域为[ 2 3,2 3]  ………………………………………………..6 分（II）因为 0 ( f x  ) 8 3 5 ，由（I）有 ( f x 0 )  2 3 sin( x   ) 0 4 3   8 3 5 ，即 sin( 0 x  ) 4 3   4 5 , ) 10 2 3 3 x  ) 3 4  0 ( x   由 0 cos( 所以故 x    ) ，知 0 4 2 2 (    3 ,  1 (  4 5 2 )  3 5 ( f x 0 1)   2 3 sin(  2 3[sin(  x  0 4 )cos     ) 4 3 cos(  x  0 4 2 2   3 4 3 5 2 2  )   7 6 5  2 3( 4 5     ] 4 3  )  2 3 sin[( x  0 4   )sin ] 3 4 x  0 4  ……………………………………………………………………………………12 分 19. 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（I）设 AB 的中点为 D ，AD 的中点为O ，连接 PO CO CD 、、，为等边三角形，由已知， PAD 所以 PO AD 又平面 PAB  平面 ABC ，平面 PAB  平面 ABC AD 所以 PO  平面 ABC 所以 OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角 4 2 3, OD CD PD 2,    AB  ，则 1, PO  3 不妨设，

在 Rt OCD 中， CO  2 OD CD  2  13 所以，在 Rt POC  中， tan  OCP  PO CO  3 13  39 13 故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan 39 13 ………………………….6 分（II）过 D 作 DE AP 于 E ，连接CE 由已知可得，CD  平面 PAB 根据三垂线定理知，CD PA 所以 CED 为二面角 B AP C   的平面角由（I）知， DE  3 在 Rt CDE  中， tan  CED  CD DE  2 3 3  2 故二面角 B AP C  的大小为 arctan 2 …………………………………………12 分  解法二：（I）设 AB 的中点为 D，作 PO AB 于点O ，连结 CD 因为平面 PAB  平面 ABC ，平面 PAB  平面 ABC = AD ，所以 PO  平面 ABC 所以 PO CD 由 AB BC CA 设 E 为 AC 中点，则 //EO CD ，从而如图，以 O 为坐标原点， OB OE OP 、、所在直线分别为 x  ，知CD AB OE PO OE AB    , z、、轴建立空间直角坐标系 y O xyz ，不妨设 PA  ，由已知可得， 2 AB  4, OA OD   1, OP  3, CD  2 3 ( 1,0,0), A  所以 (0,0,0), O  CP    所以 ( 1, 2 3, 3) C (1,2 3,0), P (0,0, 3)  OP  ，而 (0,0, 3) 为平面 ABC 的一个法向量设 a 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角，则 sin a |    CP OP   CP OP   | |  0 0 3   16 3  |  3 4 故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arcsin （II）由（I）有，  AP  (1,0, 3),  AC  设平面 APC 的一个法向量为 n  ( (2,2 3,0) , , x y z 1 1 ) 1 ，则 3 4 …………………………….6 分

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