FreeFEM-doc-v3_Chinese.pdf

发布时间：2022-05-30 发布人：admin 分类：说明书资料大小：10.68M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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简介

安装

对于所有人:

对于专业人士: 从源代码安装

如何使用FreeFem++

环境变量与初始文件

历史

入门指南

在FEM中，FreeFem++ 是如何运行的？

FreeFem++ 的特点

开发周期: 编辑运行/作图修正

实例学习

薄膜问题

热交换

声学

热传导

轴对称: 截面为圆形的三维棒

一个非线性问题 : 辐射

无旋的风扇气流和热效应

翼面周围的热对流

纯对流: 盘旋山

弹性系统

流体的斯托克斯系统

Navier-Stokes方程的一个投影算法

稳定Navier-Stokes方程的牛顿法

大型流体问题

涉及复数的例子

优化控制

带激波的流体

方程的分类

语法

数据类型

主要类型

全局变量

系统命令

算术

字符串表达式

一元函数

二元函数

公式

FE-函数

数组

双整数指标数组与矩阵

矩阵构造与设置

矩阵运算

其他数组

映射数组

循环

输入/输出

脚本参数

预处理程序

异常处理

网格生成

网格生成的命令

方形（Square）

边界

多重边界

数据结构与网格的读写命令

网格的连接

关键词“triangulate”（三角剖分）

建立空网格作为边界有限元空间

重新网格化

Movemesh

正则三角剖分: hTriangle

自适应网格

Trunc

Splitmesh

网格例子

如何改变网格中单元和边界单元的指标

三维网格

三维网格读取和写入声明

TeGen: 四面体网格生成软件

使用 TetGen 重新构造/改进三维网格

在三维空间中移动网格

层网格

网格化实例

建立一个带气球的立方体的三维网格

输出解格式 .sol 和 .solb

medit

Mshmet

FreeYams

mmg3d

一个3维isotope网格自适应过程

由等值线构建2维网格

有限元

“fespace” 在二维中的用法

“fespace” 在三维中的用法

拉格朗日有限元

P0-元

P1-元

P2-元

P1 非一致元

其他的FE-空间

向量型FE-函数

Raviart-Thomas 元

快速有限元插值

关键词：Problem 与 Solve

弱形式与边界条件

参数对 solve 及 problem 的影响

问题描述

数值积分

变分形式，稀疏矩阵，PDE数据向量

插值矩阵

有限元连接

可视化

画图

关联gnuplot函数

关联medit函数

算法和优化

共轭梯度法/广义最小残差算法

无约束优化算法

利用BFGS或者CMAES的例子

IPOPT

算法的简短描述

FreeFem++ 中的 IPOPT

使用 IPOPT 的一些简例

3D约束极小曲面与 IPOPT

面积和体积表示

导数

问题和其脚本 :

nlOpt 最优化

带MPI的最优化

数学模型

静态问题

肥皂薄膜

静电场

空气动力学

误差估计

周期边界条件

混合边界条件的Poisson问题

混合有限元的泊松方程

度量改进和残量估计子

使用残量指示子改进

弹性问题

断裂力学

非线性静态问题

牛顿-拉夫逊算法

特征值问题

演化问题

时间差分逼近中的数学原理

对流

欧式看跌期权的二维Black-Scholes 方程

Navier-Stokes 方程

Stokes 和 Navier-Stokes

Uzawa算法与共轭梯度

NSUzawaCahouetChabart.edp

变分不等式

区域分解

Schwarz 重叠格式

Schwarz非重叠格式

Schwarz-gc.edp

流体/结构耦合问题

传输问题

自由边界问题

非线性弹性力学(nolinear-elas.edp)

可压缩的 Neo-Hookean 材料:计算解

记号

一种 Neo-Hookean 可压缩材料

在 FreeFem++中的一种实现方式

MPI 并行版本

MPI 关键字

MPI 常数

MPI 构造器

MPI 函数

MPI 通讯器算符

并行的Schwarz例子

真正并行Schwarz例子

并行稀疏求解器

在 FreeFem++ 中使用并行稀疏求解器

稀疏直接求解器

MUMPS求解器

SuperLU 分布式求解器

Pastix solver

并行稀疏迭代求解器

pARMS 求解器

HIPS 接口

HYPRE

总结

区域分解

通讯器和群

MPI过程

点对点通讯器

全局的操作

网格文件

网格数据结构文件

存储解的bb文件类型

存储解的BB文件类型

度量文件

AM_FMT, AMDBA 网格的列表

加入一个新有限元

一些记号

要加些什么类?

Table of Notations

Generalities

Sets, Mappings, Matrices, Vectors

Numbers

Differential Calculus

Meshes

Finite Element Spaces

Grammar

The bison grammar

The Types of the languages, and cast

All the operators

Dynamical link

A first example myfunction.cpp

Example: Discrete Fast Fourier Transform

Load Module for Dervieux' P0-P1 Finite Volume Method

More on Adding a new finite element

Add a new sparse solver

Keywords

1n, 3.32 http://www.freefem.org/ff++ D-w#p˘-··#4[d¢¿£{Ini⁄ F. Hecht, O. PironneauA. Le Hyaric, K. Ohtsuka

FreeFem++ 1n 3.32 http://www.freefem.org/ff++ Fr´ed´eric Hecht1’ 2 mailto:frederic.hecht@upmc.fr http://www.ann.jussieu.fr/˜hecht : Sylvian Auliac, mailto:auliac@ann.jussieu.fr, http://www.ann.jussieu. fr/auliac, Sylvian Auliac ·¶˘‹), ƒ^ nlopt, ipopt, cmaes ⁄ ⁄k#.¡‘z" Olivier Pironneau, mailto:olivier.pironneau@upmc.fr, http://www. ann.jussieu.fr/pironneau Olivier Pironneau ·ni8-··#4[d ¢¿ £LJLL⁄ ¶Œ'˙§{=˘˜‹!{Ig,˘ ‹. ƒz36N’Œ{¡" Jacques Morice, mailto:morice@ann.jussieu.fr. Jacaues Morice · LJL- L ¶˘‹" ƒ8c3¯ı1˘k’ﬂı?{(FMM). '"3¥, ƒKI⁄kn)⁄–9medit^˝" Antoine Le Hyaric, mailto:lehyaric@ann.jussieu.fr, http://www.ann. jussieu.fr/˜lehyaric/ Antoine Le Hyaric 5g”I[˘˜¥%”(CNRS) , 8c·LJLL¶˜5§"ƒ·˘A^¡^§;[" 3 z3>^[!¿1Onz¡" Kohji Ohtsuka,mailto:ohtsuka@hkg.ac.jp, http://www.comfos.org/ Kohji Ohtsuka ·F2IS˘˘˙, ›.˘§˜˘‹F |‹§˜·˜˘O" ¥',ˆ¥'dE˘Œ˘X˘)¨§LJLL3˘‹) £Helin GONG⁄Ø,U˜—"NPRV ¥%"" ··· aninn˘ ({Ił4¢)

888 „„„ 1 {{{000 1.1 SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Øu⁄k<: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Øu;<‹: lŁSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Xƒ^FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 ‚C—'' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 {⁄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 \\\HHH 2.0.1 3FEM¥§FreeFem++ ·X$1” . . . . . . . . . . . . . . . 2.0.2 FreeFem++ A: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 mu–ˇ: ?6–$1/ª–? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ¢¢¢~~~˘˘˘SSS 3.1 ﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 (˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 9D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 ¶Ø¡: ¡/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 5ﬂK : ¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 ˆ^”69A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 ˚¡–9Ø6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 XØ6: ^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 5X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 6NddX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Navier-Stokes§K{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 ›‰Navier-Stokes§{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 .6NﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 9EŒ~f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 ‘z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14 -¯6N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 §'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 {{{ 4.1 Œa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 2 2 3 6 8 9 11 12 16 17 19 19 23 26 27 28 29 30 32 32 37 38 39 42 45 48 49 52 54 57 57 58 59

ii 8 „ 4.4 X•- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 i˛GL“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 …Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 …Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 œ“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 FE-…Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Œ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 VŒIŒ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.3 $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.4 ƒŒ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 NŒ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 \/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.1 ºŒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 ?n§S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 ~?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 60 63 63 65 65 65 66 72 73 75 79 79 80 81 82 82 84 5 )))⁄⁄⁄ 5.1 )⁄•- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 /£Square⁄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 >. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 ı›>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Œ(•- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 ’c/triangulate0£n¿'⁄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Æ>.km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 ›#z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Movemesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 87 88 91 91 94 96 97 99 99 5.4 Kn¿': hTriangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.5 g•A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.6 Trunc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.7 Splitmesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.8 ~f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.9 XUC¥>.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.10 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.10.1 n\(† . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.10.2 TeGen: o¡N)⁄^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.10.3 ƒ^ TetGen ›#E/U? n . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.10.4 3nm¥£˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.11 z¢~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.11.1 Æ¥ÆNn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.12 )“ .sol .solb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.13 medit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.14 Mshmet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8 „ iii 5.15 FreeYams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.16 mmg3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.17 3isotopeg•AL§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.18 d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6 kkk 143 6.1 /fespace0 3¥^{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2 /fespace0 3n¥^{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3 .KFk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.1 P0- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.2 P1- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.3 P2- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 ƒFE-m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.6 .FE-…Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.6.1 Raviart-Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.7 ﬂk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.8 ’cProblem Solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.8.1 f/“>.^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.9 ºŒØ solve 9 problem K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.10 ﬂK£ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.11 Œ¨' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.12 C'/“§D§PDEŒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.14 kº . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7 zzz 173 7.1 xª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.2 ’Øgnuplot…Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.3 ’Ømedit…Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8 {{{‘‘‘zzz 8.3 181 8.1 F{/2´{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.2 ˆ‘z{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2.1 |^BFGS‰CMAES~f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 IPOPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.3.1 {{Æ£ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.3.2 FreeFem++ ¥ IPOPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.4 ƒ^ IPOPT {~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3D4›¡ IPOPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5 8.5.1 ¡¨N¨L« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5.2 Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5.3 ﬂK : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 nlOpt ‘z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 8.6 8.7 MPI‘z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

iv 8 „ 9 ŒŒŒ˘˘˘... 203 9.1 •ﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.1.1 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9.1.2 •>| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.1.3 ˜˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.1.4 O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9.1.5 –ˇ>.^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1.6 •>.^PoissonﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.1.7 •kt§ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.1.8 U?Of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.1.9 ƒ^«fU? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.2 5ﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.2.1 ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.3 5•ﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.3.1 -.¯{ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.4 AﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.5 zﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.5.1 m'%C¥Œ˘n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.5.2 Ø6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.5.3 “wOˇBlack-Scholes § . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.6 Navier-Stokes § . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.6.2 Uzawa{F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.6.3 NSUzawaCahouetChabart.edp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.7 C'“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.8 «') . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Schwarz ›U“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Schwarz›U“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Schwarz-gc.edp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.9 6N/(˝ﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.10 DﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.11 gd>.ﬂK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 9.12 55˘(nolinear-elas.edp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 9.13 Neo-Hookean Æ:O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 9.13.1 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 9.13.2 « Neo-Hookean Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.13.3 3 FreeFem++¥«¢y“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Stokes Navier-Stokes 9.8.1 9.8.2 9.8.3 10 MPI ¿¿¿111 271 10.1 MPI ’i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.2 MPI ~Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.3 MPI E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.4 MPI …Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 10.5 MPI ˇ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 10.6 ¿1Schwarz~f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.6.1 ¿1Schwarz~f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

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