<数学模型>笔记.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.38M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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第 1 章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第 1 章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、 “摸不着”而已。但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这 3 个熟悉的例子，用简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。第 2 章初等模型关键词：初等数学简化技巧思想 4 E9 j( r$ w; q9 I 这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想确实十分重要的。如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。! R) h2 V; j; I 2.1 节公平席位分配，通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出 Q 值法。有意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时，根据所提出的 4 个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。这给我们什么启示呢？有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗？答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键，阐述现象。 2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值……），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。1 |0 X5 Z& f- Y/ f" N( R4 E 2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知，即只能得出表达式的 “形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。关键：恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。 # H8 C% A1 z+ z- c. }8 c% t

第 2 章小结：本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10 节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。+ W V6 ]8 Z* y" U ( _' o* {: m* `- c- Y; G: i$ h 第 3 章简单的优化模型关键词：简单优化微分法建模思想 4 t4 ~$ @; _; ?* ]/ o7 D 本章与第 4 章连续两章都是优化、规划的问题，可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第 3 章中，主要是几个简单的优化模型，可以归结到函数极值问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句——建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。 4 | L& J) s& ^2 p 3.1 存贮模型/ [( F/ ^# C1 g8 B, V1 k 分不允许、允许缺货两种讨论，中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式 EOQ。对存贮量函数 q(t)作图，观察规律，对结果解释。2 t6 _7 G. I; f8 S- H# a* G- E2 Z- x 3.2 生猪出售时机; ?6 W+ \. l, W$ h7 \ 关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。4 B7 b/ R' v) P: v+ ~% |$ U 3.3 森林救火 2 M3 _7 k; `( Y- o# F 亮点是对火势蔓延程度 dB/dt 的形式作出的数条假设，以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。 3.4 最优价格主要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。 3.5 血管分支 5 L* O+ C" |9 D8 p- U 是很有趣的一节，用数学模型研究生理问题，我们还是只关注建模、数学的层面，而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。+ n( g* @! z" H6 B; {( ` 3.6 消费者的选择一个消费者买两种产品时，钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数 U(q1,q1)。+ ^8 U6 ^! D! [3 B" B. l; S 3.7 冰山运输也是很有趣的问题，考虑各种因素，基于一些假设，这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。& W4 |/ z2 ~8 c O0 y 4 ?- J6 m5 q+ @) _ s* ? 第 4 章数学规划模型关键词：数学规划方法 lingo/lindo 软件结果深入分析变量个数 7 ^4 J# n' D) J: M( t1 Q. m4 E 约束条件、可行域、目标函数，构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质，和它与传统优化数学问题的区别：常理优化模型属于函数极值问题的范畴，但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大，且最优解往往在边界上取得的问

题，因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。 2 S' h. o' a6 z& i, b6 y 这一章内容不少，但都是一类问题，主要点有几个： 1. lingo、lindo 求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息，可以作为结果分析来用，前两节叙述较多； 2. 一些细节之处：把一句话用数学公式表达，它往往作为约束条件，如 p102 的式（19）；3 u5 c% \" x& w9 p. k 3. 多目标规划的处理，p109 的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标，从而化为单目标规划；. X! q8 P2 h; U, ]/ R 4. 同前面章节一样地，对一个问题解出结果后，问题虽然解决了，但分析并没有结束 ——我们要学习这种 further discussion 的精神，发现这个结果“恰与…相同…”之类的，不妨多问自己一句：“这是偶然的吗？”然后继续分析，得出一般的结论，这样往往能看到更多的风景，得出的结论更有含金量/启发性，而不是仅仅是解决了该个问题而已。如 p109 选课策略。2 m" a0 S8 O; w- M/ S, B 5. 减少变量个数，简化模型、式子（简化起见，同时 lingo 对变量个数有限制）， p115 销售的例子。 6. 求最优解时，为了减少搜索范围，加快速度，可以先去一个特殊情况求出一个可行解，然后让最优解至少优于它。# y1 Q8 U! q; ~9 e, U# j $ W+ A N+ Q. z8 T9 T' Y+ U3 h# g+ N: N8 i& S) V% O9 o4 a* A 第 5 章微分方程模型关键词：动态模型合理假设分析预测控制 0 z; O+ F: M5 f$ x+ S 这一章是非常经典的一章，对微分方程模型作了很好的诠释、介绍，每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态，当我们要 1）分析变化规律；2）预测；3）研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。自然地，这样的模型功能非常强大，也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程，有时就表示着一件事，这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。& d) O7 J H \# @) T& E. B 5.1 传染病模型本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI （只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者）， SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，这一节有很详细的介绍。$ x# x4 z! Y9 `: {: ?2 w! I/ Q 模型改进、建模目的性、方法三者配合，是本节亮点。 5.2 经济增长模型+ C4 F' a" B z0 Q f, `- [ 通过建立产值与 1）资金；2）劳动力之间的关系，来研究 1）资金与劳动力的最佳分配，使效益最大；2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。' L+ G* \ G) A/ u# N 本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模型——Douglas 生产函数。本节给出的模型推导稍繁，但结果简明，有合理解释。; w, x+ V+ w* u

5.3 正规战与游击战这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型，有传统正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。重点在于建模过程：如何描述战争双方的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。6 b5 `$ o2 W1 P3 I3 @ 5.4 药物在体内的分布与排除% p8 i7 Z. C* N, ` 本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程，为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于 1）模型的假设：尽管是简化，但由临床试验证明是正确的，可以接受；2）对参数的估计。先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。 5.5 香烟过滤嘴的作用看起来不易下手的一个问题，用恰当的假设，引入两个基本函数 q,w,及物理学常用的守恒定律，建立出微分方程模型，从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。7 \- _6 {! C; ^ 5.6 人口的预测和控制本节模型与之前的区别在于：考虑年龄的分布，即除了时间外，年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。 5.7 烟雾的扩散与消失: F4 N! y6 t+ s% s) s& R0 S2 j 这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标，不仅帮助建模，而且该指标本身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。 5.8 万有引力定律的发现 f! e$ j; r2 p; H k 十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的，这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们：正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法，来提升我们解决实际问题的能力。 6 Y3 @+ p4 [% |" X1 I9 e7 c# \$ T: a E* t. r" b; t) ? 第 6 章稳定性模型关键词：稳定性理论建而不解平衡状态趋势相轨线 9 n5 G v& P- P& V c 本章是建立在上一章的基础上，在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念，那就是——对于某些问题，我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态，而是研究稳定状态的特征，特别是时间充分长以后的状态/趋势，从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程（组），即“建而不解”；而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。 ) @0 S3 a: m) B3 U: X7 M; r *6.6 微分方程稳定性理论简介 0 M& X5 u! [" Y 这一节应为优先阅读的一节，介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂（对于未接触过的同学），重要在于了解一些概念、结论，在模型实例中来进一步理解。 6.1 捕鱼业的持续收获$ m2 x' }& Y2 i( g# z# D 研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题，如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了，但是模型整个过程分析中还是得出

了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。" L4 c; {2 J1 O 6.2 军备竞赛这个问题在第二章初等模型中就出现过，这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说，军备竞赛因素很多，无法圆满描述，只是想告诉我们：一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度，得到的结果又怎样解释实际现象。- R+ x2 R/ o- [' N! S2 x; n 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型这三节作为一个系列，用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中，相轨线分析法再次成为主角，它的意义在于：从图中曲线上直观地看出发展趋势，且特殊点对应的意义作出解释。 4 W7 P$ C! y; i+ R" `" ^ 第 7 章差分方程模型关键词：差分方程稳定性离散时段差分阻滞增长混沌 : h' X* Y0 e# e) C6 Y 将时间离散化后，就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第 8 章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续，又可以用离散，要看目的而定。离散的一个优势在于，便于计算机求解。 7.5 差分方程简介：介绍差分方程稳定性的知识，判别稳定的条件。本章要用到的知识。 7.1 市场经济中的蛛网模型 3 u& ^. k/ Q4 T 先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件，再用差分方程建模，解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典，可作为建模论文写作的参考。& B. z3 g( B! [8 x 本节最后对结果的解释也非常值得学习：启示我们，一些数学结果如参数前后的变大/变小，可能意味着什么，我们不要轻易放过，而是要时刻不忘解释相对应的原因。 7.2 减肥计划——节食与运动. P6 y ~" ?0 w% u' W 这是一个很生活的问题，主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内（均以 WTO 颁布的体重指数 BMI 衡量）。我认为这个模型的两点仍然在建模本身：及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化，用数学的语言可以表达，写出差分方程。其中 p208 的“基本方程”式（1）是整个模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其实是一个 “建而不解”的方程。但正如节末评注中所述，实际参数的设置会更复杂，代谢消耗系数 beta 也因人而异、因环境而异，所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。 7.3 差分形式的阻滞增长模型' h; K3 g% j5 Q/ W" u" u 此节是与之前用微分方程 Logistic 规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时，用离散化的时间研究比较方便，本节是很好的参考。（按：本人曾经做过用差分方程加修正，描述人数传播问题，个人认为很多情况用差分方程更好，也更“诚实” 些，因为我们也只是想要每个时段的数量）要注意的是：若用离散描述，需要说明各“时段”指代意义。推出 p211 的式（6）后，这个一阶分线性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此处“不解”是指不需

求通项公式，但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是 k 趋向无穷时，y/x 收敛情况，即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。0 e" S9 a6 m, {( W( T P212 中，通过深入讨论和 213 页的数据表发现，不同的参数 b 下收敛情况不一，然后发现了“倍周期收敛”的规律，即存在多个收敛的子序列。然后发现当 n 区域无穷时，不在存在任何倍周期收敛，出现混沌现象（Chaos）。& j: d# {) B" k 混沌的特点为对初值极度敏感，这一点在物理课中老师也提到过，许多非线性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效应。 7.4 按年龄分组的种群增长 4 G8 S- O( ]2 x6 Q 这个模型的主要区别在于：将种群分成 n 个年龄组，分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。6 g3 n \ z! X% b U% @6 | 第 8 章离散模型关键词：层次分析排名次冲量过程 “分赃” 群体决策（本章是确定性离散模型的应用、方法） 8.1 层次分析模型 9 K# R) e& g3 g" q; S. x8 I, S* C 社会经济系统分析工具。排名、评分评价，排等级都可以用层次分析模型解决，数学知识虽然不深，但是思想十分巧妙且合理，可扩展性也很好。关键在于 1）“成对比较矩阵”的确定及修正，2）特征根法求权向量的原理（重要），3）1-9 比较尺度（Satty 等人提出），4）一致性检验。 8.2 循环比赛的名次 4 I" G9 T" L: X! W 这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法：邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量 s、A 最大特征根&对应特征向量 s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的 1 级得分向量，若比不出则停滞了；但若将 i 级乘回邻接矩阵，可以“发展”到 i+1 级得分向量——这个思想是本模型的关键，而且简单易用易理解。0 I. T. V8 ?) L5 H; Z4 @* K" J8 L 对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据，或实际意义，是此思想的关键，我觉得可以接受，看上去很有道理，但未想出具体的解释，这里欢迎指教、讨论。（p246） \8 ] A! G2 D& x 8.3 社会经济系统的冲量过程 6 v9 r9 C3 V' f 区别于机理分析、统计分析，冲量过程与层次分析属于“系统分析”，是近 20 年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。这节模型研究能源系统中，各个因素的趋势、预测问题。主要工具有：带符号加权的有向图，冲量过程（类比物理“冲量“概念）。其目的无非是研究系统的“稳定性”，以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。 8.4 效益的合理分配! \9 a% F, F" b! r2 t( C 几方（大于 3 方）合作，已知不同子组合可获得不同收益，那么一起合作后，谁的功劳最大？也就是说，干完活后，如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。本节介绍了 3 类方法：Shapley 值，协商解等，Raiffa 解。最后用一个 3 方分配例子对比了这 3 种方法。3 种方法特点在 p262。是客观求各因素权重的有力途径。 N2 Y, {- _ V8 z

8.5 存在公正的选举规则吗/ o" N2 y: g: p1 x2 g v 这一节类似第 2 章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。7 ~1 H( u" z {6 z7 M. o0 u5 Y 首先是简单的选举规则。3 f$ y) y$ o/ N8 W; r 接着介绍 Arrow K 的工作：提出一组公理，却证明不存在满足这组公理的选举规则，但很具有启发性。3 C+ I3 r' _% _ 然后是联合尺度选举规则，它是一个简单易行的规则（但是对投票情况限制了，才可能满足 Arrow 公理）。最后是一种与 Arrow 公理无关的规则——最小距离，这是一种类比思想，很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。第 9 章概率模型关键词：随机模型基础概率生灭过程数值解分析 D9 h# }+ a& @* M( i 相对“确定性”模型来说，当随机因素的影响不可忽略时，就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型，这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。关键点有： 1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题，做好定义是开始工作的根本。7 Q1 s$ O9 ~6 g 2. 随机概率模型一般从离散角度（一个个时段）下手，但求解中为了需要可能会转化为连续（如 p274 的求和转化为积分）。% j! H1 j& d7 K 3. 要灵活根据实际问题，决定哪些参数应设为定值，哪些参数会变（如 9.4 轧钢问题，重量服从正态分布中，均方差应认为是已知的定值，而均值是可以调整的）。" ?# F' Q: ?7 ?* S5 q5 Y2 a 4. 一般的“生灭过程”参考 9.5 的随机人口模型——相比之前的人口模型，这个更加一般，考虑的因素更多，更接近实际。 5. 有些模型无法解析求解，然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要（9.6 预订票策略）。第 10 章统计回归模型关键词：数据拟合 MATLAB 统计残差分析自相关逐步回归对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据，用统计方法建立模型——统计回归模型。) e9 {, G7 d5 e7 b2 a 关键点有：: d- i/ {# S2 d, S% G 1. 做散点图，大致判断函数趋势（比如有明显的线性增长），确定方程形式，待定系数。) p; N/ H- @6 B# Q; ?4 m 2. 用 MATLAB 统计工具箱 regress 拟合，得出结果；重点：如何由 MATLAB 输出结果下结论（如置信区间不要包含零点，R^2、F）。" n6 W4 n3 _6 C0 t5 t 3. （考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题，如 10.1 中引入价格差（p297 最后一段说明）。

4. 利用好回归变量的预测（置信）区间。9 S( S5 g1 p. C5 ]" V w. @% X 5. 改进回归模型：逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若 MATLAB 拟合输出信息表明有改进，则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型（p300）。" M! M' C4 a5 b2 {1 n 6. 残差分析（p305，但这页我未看懂具体做法，待交流），及分析得出的结论，我们应该怎样改进模型。% g6 v2 r3 L8 S3 W8 q 7. p307 评注内容：0-1 变量法、残差分析法、异常值应剔除。9 a+ v( r: d8 M1 `2 g3 j1 s4 H% W 8. 线性化（p309），及非线性 MATLAB 求解（p310）；p315 最后两段。+ K x) e) ~- h5 Q! ^2 `" l 9. 自相关的考虑（10.4 节）：若存在自相关性（具有滞后性，即前期对后期有影响的时间序列），普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关（D-W 检验、广义差分法），同时注意若高阶自相关，则必须改进直至不存在自相关为止。( z% n( {' b! C/ t: C 10. 逐步回归：因素较多时，排除次要因素，用来选择影响因素显著的变量。 9 Z8 Q! J* Z9 `0 C- | 第 11 章马氏链模型关键词：离散随机过程无后效性转移概率状态选取 $ j& p ^7 r) k/ E7 J2 l: { 基本概念 k8 Q" i3 T! \1 S6 \# U' Y. [ 这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型，及若干个应用。总体从浅到深，阐述了马氏链的主要思想。 1. 无后效性/Markov 性：系统在每个时期所处的状态时随机的，这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移，且下个时期状态只取决于 1）这个时期状态 2）转移概率，与以前各时期状态无关。 2. 马氏链（Markov Chain）模型通常描述：已知现在，将来与历史无关，具有无后效性的，时间状态均离散的随即转移过程。3 l6 R/ S- z) r) \% {3 s8 _ 3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。 * s7 D+ J; S z, K; }$ B. ? 一、健康与疾病主要介绍马氏链基本概念、要素：系统的状态，状态概率，转移概率，马氏链基本方程，状态概率向量，转移概率矩阵。本章讨论时齐的（转移概率与时段 n 无关）马氏链。$ S" z1 y) V: h 同时介绍 2 种主要类型—— 1）正则链：从任意状态出发，经过有限次转移都能达到另外的任意状态（如何判断是正则链、相应定理）；( I9 G7 e5 L# C- E 2）吸收链：首先引入吸收状态，顾名思义吧，就是某个状态的转移概率=1，即进了这个状态就出不来了，被“吸收”掉。吸收链是（至少）存在一个吸收状态，使马氏链从每个费吸收状态出发，能有限次到某个吸收状态。8 k# V: Q8 J! h7 P9 Q 二、钢琴销售的存贮策略% ` Q% @( M7 G* b+ ~ 动态随机存贮。一个简化的存贮模型，关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。判断转移矩阵 P 为正则链后，用公式求出稳态概率分布 w，就是达到稳态后的情况，然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。这个模型虽然简

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