现代通信网络中的随机过程_第四章_ Markov调制排队模型.pdf-资料库

第 4 章 Markov 调制排队模型第 4 章 Markov 调制排队模型在前面我们讨论的排队系统所采用的到达过程都是比较简单的：要么是泊松过程，要么是一般的独立随机过程，即各个到达事件相互独立，且与服务过程相互独立。这一简单的假设在建模一些到达过程具有相关性的实际数据业务不是总是合适的，特别是对于在 ATM 网络中出现的新业务。 ATM 是应用于宽带综合业务数字网络 B-ISDN 的传输机制，可以处理各种类型的业务，从传统的计算机数据，到分组语言和视频。对于分组语言和视频等多媒体业务，其到达过程均呈现出一定的相关性和突发性。排队系统的性能对到达过程的相关性和突发性是高度敏感的，因此需要更符合实际的模型来描述这一类到达过程。在本章我们讨论几类新的业务模型，如马尔可夫调制泊松过程（Markov-modulated Poisson Process，MMPP）、马尔可夫调制伯努里过程（Markov-modulated Bernoulli Process，MMBP）、马尔可夫调制流体流量模型（Markov-modulated Fluid Flow，MMFF）、中断（或开关）泊松过程（Interrupted Poisson Process，IPP）等。 4.1 马尔可夫调制泊松过程（MMPP） MMPP 这个词是首先由 Neuts 于 1979 年提出来的，用来描述一类其泊松到达过程被马尔可夫过程调制的通用点过程。 MMPP 已被广泛用于建模各种 B-ISDN 信源，如分组语言和视频，以及用于描述叠合业务流的特性。它能同时描述时变到达率和到达间隔之间的相 162

现代通信网络中的排队理论关性。这类模型除了可以描述 B-ISDN 应用的所需特性外，还易于解析处理并可获得较为准确的结果。 4.1.1 定义和模型在 MMPP 模型中，其到达过程是由一个其随机行为受到独立于到达过程的 m 状态不可约连续时间马尔可夫过程控制的信源产生的。当隐含的调制马尔可夫过程在状态 i（i=1，2，……，m）停留一指数分布时间时，就说 MMPP 处于状态 Jt=i，顾客按到达率为λi 的泊松过程到达，如图 4-1 所示。图 4-1 马尔可夫调制泊松过程马尔可夫调制泊松过程 MMPP 是一个双重随机泊松过程，即它是一个 163

第 4 章 Markov 调制排队模型其到达率按一连续时间函数变化的泊松过程，其特性可以由以下参数来描述：（ⅰ）隐含的调制马尔可夫过程的转移率矩阵（也称无穷小生成矩阵 Q~ ）是： ~ Q = − q q 1 21 M q m 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ q 12 q − 2 M m 2 q L L M L q m 1 q 2 m M q m − （4.1） ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ m 。在后面的分析中，假设转移率矩阵Q~ 是齐次的，即Q~ 不 q ij 其中 ∑ = q i j j 1 = i ≠ 随时间变化，则调制马尔可夫矩阵的稳态矢量 [ ~ πππ ，，，＝ 1 L2 ]mπ 可由下式给出： 0~~ =Qπ 和 ππ 2 ＋＋＋ L 1 =mπ 1 （ⅱ）各个状态的泊松到达率是λ1，λ2，……，λm，定义如下对角 ~ 矩阵 Λ ~ 和矢量λ ： ) （4.2） ~ Λ = 2 , , , L 0 0 ( diag λλλ ＝ m 1 0 λ ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ 0 λ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ MOM 0 λ m L L M 0 ~ mλλλλ , 1 L = ( , , 2 )T （4.3）（ⅲ ）MMPP 的初始状态（初始概率矢量），即 ∑ = 1ϕ 。根据说选初始矢量的不同，有： i i ϕ i = [ JP 0 ]i = 及 164

现代通信网络中的排队理论（a）一个从“任意”到达时刻开始、间隔稳定的 MMPP，可以证明其初始矢量是： ~ ϕ ＝ 1 Λ~~ π （4.4） λπλπ 2 λπ mm＋＋＋ 11 2 L （b）一个环境稳定的 MMPP，其初始概率矢量是Q~ 的稳态矢量π~ 。时间起点不是一个到达时刻，而是按确保环境马尔可夫过程是稳态的原则来选取。依据上述模型，我们来分析 MMPP 的到达间隔时间分布。设 X k 表示第（k-1）个顾客和第 k 个顾客之间的到达间隔时间，Jk 表示在第 k 个顾客到达时隐含马尔可夫过程所处的状态，于是序列{（Jk, X k）,k≥0 }构成一马 x = ∫ 0 ~ ( ) xF 尔可夫更新序列，其状态转移概率分布矩阵是： ] ) ~ d ζζ Λ ] x ) ~ Q 0 ) }( ) Qx [ ( ~~ Q exp Λ− [ ) ( ~ −= −Λ { ( ( ~~ ~ I Q Λ− 矩阵的元素 Fij(x)是条件概率： { JP ( ) xF ij exp Xj , ( ~~ Q Λ− Jx − = ≤ k = k e ζ = ( )xF~ （4.5） ) ΛΛ− ~~ ~ 1 − }i = k −1 （4.6）对 x 进行微分，可以求得状态转移概率密度矩阵： ~ ( ) xf = { e d dx e = ~ ( ) xF = ~ ) Λ ( ~~ Q Λ− x 对上式进行拉普拉斯变换有： ~~ ( −Λ− xQ ) ( ~ −Λ ~ Q ) }( ~ −Λ ~ Q 1 − ) ~ Λ （4.7） 165

第 4 章 Markov 调制排队模型 ~ [ ] ( ) xfL ~ Λ ∞ ( ~~ Q Λ− ) x 0 − sx ∫ e e = dx ) ~~ Λ+ ) ΛΛ+ ~~ ~ [ ( ~ QIs −= ( ~ QIs − = − 1 − 1 − ( ~~~ QIs Λ+− ) x − e ] ~ Λ ∞ 0 （4.8）设 Nt 表示（0，t）内到达的顾客数，Ft 表示马尔可夫过程在时间 t 所处的状态，则可定义矩阵 ( )tnP ,~ ) = tnP , ij ( ，其（i，j）个元素是： [ NP Jn , Nj ,0 = = = J 0 ~* 则矩阵满足彻普曼—柯尔莫哥洛夫方程，其矩阵母函数 ( )tzP , 0 t t 为： ]i = （4.9） ~ tzP , ( * ) n ,~ = ∑∞ ( ) ztnP n 0 = { ( ~ ~ ( ) Q exp 1 Λ−− = z （4.10） ) }t 初始状态为： ~* ( zP 0, ) ~ I = （4.11）因此，可以得到到达顾客数的概率母函数为： ( tzg , ( ) 1 Λ−− 其中π~ 是马尔可夫链的稳态概率矢量，而 ~ e ) z { ~ exp = π ( ~ Q ) }et ~~ [ ,1,1 L= ]T 1, （4.12）例 4.1 一个两状态 MMPP，其隐含的调制马尔可夫链只有两个状态，Q~ 矩阵 ~ Q = r 1 − r 2 ⎡ ⎢ ⎣ r 1 r − 2 ⎤ ⎥ ⎦ 和 ~ =Λ λ ⎡ 1 ⎢ 0 ⎣ 0 λ 2 ⎤ ⎥ ⎦ 是： 166

现代通信网络中的排队理论 ⎡ ＝π ⎢ ⎣ r 1 r 2 + , r 2 r 1 + r 2 ⎤ ⎥ ⎦ r 1 其稳态分布是：由式（4.8）知： ~ [ ] ( ) xfL = s ⎧ ⎛ ⎜⎜ ⎨ 0 ⎝ ⎩ 1 det 1 det A A ⎛ ⎜⎜ ⎝ ( ⎛ ⎜⎜ ⎝ = = 0 s s ⎞ −⎟⎟ ⎠ + ⎛ ⎜⎜ ⎝ r 1 − r 2 λ + 2 r 2 r 2 r + 2 r λ 21 s + r 1 r − 2 ⎞ +⎟⎟ ⎠ r 1 r ++ 1 λ 1 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ − 1 ⎫ ⎬ ⎭ ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ λ 1 0 0 λ 2 λ ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 λ ⎠ ⎝ 1 r λ 12 r λλ ++ 1 2 1 ) 0 λ 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ( s s λλ 1 ) 2 0 λ 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 其中： det A = ( s ++ r 1 λ 1 )( s + r 2 + λ 2 ) − rr 21 不失一般性，我们假设 MMPP 从一到达时刻开始，在到达时刻嵌入的马尔可夫链的稳态分布是： ~ ϕ ＝＝ ~~ Λ π ~~ λλλπ 2 r 12 1 + r 1 [ ]2 r λλ 2 1 r 1 因此，到达间隔时间的拉普拉斯变换为： ( s ) 2 ⎧ ~ ϕ ⎨ ⎩ + λλ 1 1 det r + ⎛ 2 ⎜⎜ r A λ ⎝ 21 ( ) rs r 2 2 λλ 12 2 1 ( ( r r r 2 λλ + + 1 12 1 + { ) s ⎫ ⎛ ⎜⎜ ⎬ ⎝ ⎭ 1 ⎞ ⎟⎟ 1 ⎠ r λ ⎞ 12 ⎟⎟ ( s r λλ ++ ⎠ 1 2 1 )( ( ) r r r r λλλλλλ + + + 2 12 12 1 1 1 }12 ( ) ) s r r r λλ λλλλ + + + + 2 2 1 1 2 + 2 + + ) 2 1 2 2 [ XL ] = = 中断泊松过程（Interrupted Poisson Process，IPP）是两状态 MMPP 的一个特例。IPP 的特性可由下列两个矩阵描述： 167

第 4 章 Markov 调制排队模型 ~ QIPP = r 1 − r 2 ⎡ ⎢ ⎣ r 1 r − 2 ⎤ ⎥ ⎦ 和 ~ Λ = IPP 0 λ ⎡ ⎢ 00 ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 在上述表达式中代入：拉普拉斯变换为： λλλ 2 1 = , = 0 ，可以得到 IPP 的到达间隔时间的其中： [ XL ] IPP = + 2 s ( 1 −= ( r 1 ) β ( s + r + 2 α 1 + α 1 s ) r λ 2 ) s λ + + + β s r λ 2 α 2 + α 2 α 1 α 2 = = β = ( r 1 ( r 1 1 2 1 2 αλ 1 αα 1 ⎡ ⎢⎣ ⎡ ⎢⎣ − − 2 + + r 2 ) λ − + ( r 1 + r 2 2 ) λ + − 4 ) λ + + r 2 ( r 1 + r 2 2 ) λ + − ⎤ r λ ⎥⎦ 2 ⎤ r λ ⎥⎦ 2 4 从上述表达式可以看出， [ IPPXL ] 与参数为( 1 αα，、分支概率为β )2 的超指数分布的拉普拉斯变换的形式是相同的。因此，中断泊松过程在随机特性等价于超指数过程。 4.1.2 MMPP 过程的叠加 n≥2 个参数为 iQ~ ~ , ,2,1 L=Λ MMPP 的叠合过程是一个参数为Q~ 和 Λ~ 和 ( ii )n 的独立马尔可夫调制泊松过程 ~ ~ QQ 1 的 MMPP 过程： ~ nQ ~ ~ nΛ⊕⊕Λ⊕Λ=Λ ⊕⊕⊕= ~ Q L ~ ~ 2 2 1 L （4.13）（4.14） 168

现代通信网络中的排队理论其中 ⊕ 表示 Kronecer 和，其定义如下： ( ~ I A ~ ~ IA ⊗=⊕ B ~ ~ BA ( ) + )B ~ ⊗ （4.15）而： AI~ 和 BI~ 12 ~ ~ ~ ~ DC =⊗ ~ Dc m 1 ~ Dc 2 ~ DcDc 11 ~ DcDc 21 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ~ Dc ⎥ ⎦ nm 是与 A 和 B 具有相同维数的单位矩阵。注意Q~ ~ DcDc n 1 L L M L ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ~ 22 M M M n 2 m （4.16） ~ 和 Λ 是 k×k 阶矩阵，且 ∏ = k in n i 1 = 例 4.2 考虑两个参数为 r1 和 r2 的相同的两状态 MMPP 的叠合过程，如图 4-2 所示。在这两个状态的泊松到达率分别是λ1 和λ2。图 4-2 MMPP 的叠加过程 169

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