2004年江苏高考数学真题及答案.doc-资料库

2004 年江苏高考数学真题及答案一、选择题(5 分×12=60 分) 1.设集合 P={1，2，3，4}，Q={ xx  ,2 Rx  }，则 P∩Q 等于 ( ) (A){1，2} 2.函数 y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2} ) ( (A) π 2 (B) π (C) π2 (D) π4 3.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 (A)140 种 4. 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm ，则该球的体积是 ( ( (C)35 种 (B)120 种 (D)34 种 ) ) π (A) 100 cm 3 3 (B) π 208 cm 3 3 (C) π 500 cm 3 3 (D) π3 3 cm 416 3 5. 若双曲线 ( ) 2 x 8  2 2 y b  1 的一条准线与抛物线 y 2  的准线重合，则双曲线的离心率为 8 x (A) 2 (B) 22 (C) 4 (D) 24 6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示 . 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( (A)0.6 小时 (B)0.9 小时 (D)1.5 小时 (C)1.0 小时 ) 人数(人) 20 15 10 5 7. 2( x  x 4) 的展开式中 x3 的系数是 ( ) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时) (C)24 (D)48 (A)6 8.若函数 (B)12 )( )1 abx   (B)a= 2 ,b=2 ,0  a ( a log y  (A)a=2,b=2 9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具）先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( (D)a= 2 ,b= 2 (C)a=2,b=1 ) ) (A) 5 216 (B) 25 216 ( 31 216 (C) (D) 91 216 10.函数 )( xf  3 x  3 x  1 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )

(B)1，-17 (A)1，-1 11.设 k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A 点，它的反函数 y=f -1(x)的图象与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图象交于 P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是 3，则 k 等于 (C)3，-17 (D)9，-19 ) (A)3 12.设函数 )( xf  4 (C) 3 6 (D) 5 ( Rx  ) ，区间 M=[a，b](a0 的解集是_______________________. 14.以点(1，2)为圆心，与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是________________. -6 -6 -4 0 6 6 0 15. 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， Sn= _______________________. )1 n 3(1 a 2 ( 对于所有 n ≥ 1) ，且 a4=54 ，则 a1 的数值是 16.平面向量 a，b 中，已知 a=(4，-3)， b =1，且 ab=5，则向量 b=__________. 三、解答题(12 分×5+14 分=74 分) α = 2 π ，tan 2 α +cot 2 17.已知 0<α< 5 ，求 sin( 2 α  π 3 )的值. 18.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 CC1 上，且 CC1=4CP. (Ⅰ)求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H，求证：D1H⊥AP； (Ⅲ)求点 P 到平面 ABD1 的距离. D1 C1 O · · H A1 A D B1 B P C 19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪，可能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

20.设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若首项 1a 3 2 ，公差 1d ，求满足 S  ( S k 2) 2 k 的正整数 k； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数 k 都有 S 2 k  ( S k 2) 成立. 21.已知椭圆的中心在原点，离心率为 1 2 ，一个焦点是 F（-m,0）(m 是大于 0 的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ 2 QF ，求直线 l 的斜率. 22.已知函数 ( Rxxf )( )  满足下列条件：对任意的实数 x1，x2 都有 (λ x 1  2 x 2 )  ( x 1  x 2 )[ ( xf 1 )  ( xf 2 )] 和 ( xf 1 )  ( xf 2 )  x 1  x 2 ，其中 λ 是大于 0 的常数. 设实数 a0，a，b 满足 (Ⅰ)证明 1 λ  ，并且不存在 ) 0 和 b  ，使得 0 ( 0  af a 0 )(λ af a b  0 ( 0 bf ) ； (Ⅱ)证明 ( ab  2 ) 0  )(λ1( 2 aa  0 2 ) ； (Ⅲ)证明 [ ( bf )] 2 一、选择题题号 1 答案 A 二、填空题  )[λ1( 2 ( af )] 2 . 2004 年高考数学江苏卷答案 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 C 8 A 9 D 10 C 11 B 12 A 13、 (  )2, ,3(  ) ； 14、 ( x  )1 2  ( y  2 )2  25 ；

15、2；三、解答题 16、 4(  3, 5 5 ) （17）由已知得： tan  2  cot  2  2 sin   5 2 得 sin  ， 4 5  0   2 ，  cos   1  sin 2   3 5 ，从而 sin(    ) 3  sin  cos  3  cos  sin  3  334  10 （18）（ 1 ）连结 BP ， AB 平面 BCC ， AP 1B 1 与平面 BCC 所成角就是 APB 1B 1 ， CC 1  , 4 CP CC 1  CP ,4 1 ，在 PBC Rt 中， PCB 为直角， BC  CP ,4  1 ，故 BP 17 ，在 APB Rt 中， ABP 为直角， tan  APB  AP BP  4 17 17 ，  APB  arctan 4 17 17 ，即直线 AP 与平面 BCC 所成角为 1B 1 arctan 4 17 17 。（ 2）连结 , DBCA 1 1 1 1 ，四边形 DCBA 1 1 1 1 是正方形，  CAOD  1 1 1 ，又 1AA 平面 DCBA 1 1 1 1 ，  AA 1  OD 1 ，  AA 1  CA 1 1  A 1  OD1 ，  平面 1APC A 1 ，由于 AP 平面 1APC A 1  OD1 ，  AP ，又平面 APD1 的斜线 OD1 在这个平面内的射影是 HD1 ，  1 HD  AP . (3) 连结 1BC ，在平面 BCC 中，过点 P 作 1B 1 PQ  1BC 于点 Q ， AB ⊥ 平面 BCC 1B 1 ,PQ  平面 ABC ， PQ 就是点 P 到平面 ABD1 的距离，在 PQCRt 中， 1 3 。 2 10 y  1.0 y   0 x  0 y  8.1 ，目标函数 BCC 1B 1 ,  PQ ⊥ AB ，  PQ ⊥ 平面 1D 1  QPC 1  ,90  QPC 1  45  ， PC 1  ,3 PQ  3 2 2 ，即点 P 到平面 ABD1 的距离为 2 （19）设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意： x x   3.0      z 5.0 x y ，上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线 l :0 x  5.0 y  0 ，并作平行于直线 0l 的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点 M，且与直线 x  5.0 y  0 的距离最大，这里 M 点是直线 x 10 y 和直线 3.0 x  1.0 y  8.1 的交点，解方程组   3.0  x x 10 y  1.0 y   8.1 得 x  ,4 y  6 ，此时 z 65.041  7 （万元）， 7  0 ，当 x  ,4 y  6 时，z 最

得最大值。答：投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。（20）（1）当 a 1  3 2 , d  1 S n 时，  3 2 n ( nn  2 k  1(3 4 即 k )1  )1  1 2 0 2 n  n ，由 S  k 2 ( S k 2) 1 得， 2 4 k 2  k  1( 2 2 k  2 k ) ，，又 0k ，所以 4k 。（2）设数列  na 的公差为 d ，则在 S  k 2 ( S k 2) 中分别取 2,1k 得    S S 1 4 2   ( ( S S 1 2 ) ) 即 2    a  1  4 a  1 2 a 1 34   2 d 2(  a 1 12  ) d 2 ，由（1）得 2 1 a 0 或 1 a 1 。当 1 a 0 时，代入（2）得： 0d 或 6d ；当 a 1 ,0  d  0 时， a n  ,0 S n  0 ，从而 S  k 2 ( S k 2) 成立；当 a 1 ,0  d  6 时，则 an  (6  n )1 ，由 3 S 18 ， ( S 3 2 )  ,324 S 9  216 知， S  9 (S 3 2 ) ，故所得数列不符合题意；当 1 a 1 时， 0d 或 2d ，当 1 a 1 ， 0d 时， a n  ,1 S n  n ，从而 S  k 2 ( S k 2) 成立；当 1 a 1 ， 2d 时，则 a n  2 n  ,1 S n  2 n ，从而 S  k 2 ( S k 2) 成立，综上共有 3 个满足条件的无穷等差数列； 0na 或 1na 或 an  n 2  1 。（21）（1）设所求椭圆方程是 2 2 x a  2 2 y b  (1 a  b )0 由已知得 cmc ,   a 1 2 ，所以 a  ,2 bm  3 m ，故所求椭圆方程是 2 x 4 m 2  2 y 3 m 2  1 ) ( mxk   20 m  21   ，则点，当 M 2 ym , 3 Q ,0( km ) 0 km  21   MQ 2 km 3  QF ，又点时，由于 ( mF  )0, ， M ,0( km ) ， 2( kmm Q  3 3 , ) 在椭圆上，所以（2）设 ( xQ , 0 y 0 ) ，直线 : yl 由定比分点坐标公式得 x Q  2( m 3 4 m ) 2 x Q  2 (  km 3 3 m 20 m  21  2 ) 2  1 ， 62k ；当 MQ 2 QF 时  ,2 ym Q  0 km  21   km ，所以 2 )2( m 2 4 m  2 ) 2 ( km 3 m  1 得，解得 0k ，故直线 l 的斜率是

62,0  。（22）证明：（1）任取 , xx 1 2  , xR 1  x 2 ，则由 (λ x 1  2 x 2 )  ( x 1  x 2 )[ ( xf 1 )  ( xf 2 )] ① 和 ( xf 1 )  ( xf 2 )  x 1  x 2 ② 可知， (λ x 1  2 x 2 )  ( x 1  x 2 )[ ( xf 1 )  ( xf 2 )] |  x 1  x 2 || ( xf 1 )  ( xf 2 | |)  x 1  x 2 2 | ，从而 1 ；假设有 b  ，使得 0 a 0 不存在（2）由 b  ，使得 0 )(λ af b 0  a a ( 0 bf ) 0 ，则由①式知， ( a 0  2 b 0 )  ( a 0  b 0 )[ ( af 0 )  ( bf 0 )]  0 ，矛盾，因此 0 。 ) ( 0 bf ③可知 ( ab  2 ) 0  [ aa  0  ( af )] 2  ( aa  0 2 )  2  [ ( af )] 2  (2  aa  ) )( af 0 ④ 由 ( 0  af ) 0 和①得， ( aa  0 ) )( af  ( aa  )[ )( af  0 ( af 0 )]  (  aa  2 ) 0 ⑤ 由 ( 0  af ) 0 和②得， [ ( af )] 2  [ )( af  ( af 0 2 )]  ( aa  2 ) 0 ⑥ 将⑤⑥代入④得 ( ab  0 ) 2  ( aa  0 2 )  2  ( aa  2 )  2 2  ( aa  2 ) 0 0 （3）由③式可知， 2   1(  )( aa  2 ) 0 ； [ ( bf )] 2  [ )( bf  )( af  ( af )] 2  [ )( bf  ( af )] 2  [ ( af )] 2  [2 )( bf  ( af )]  [ ( af )]  ( b  2 a )  [ ( af )] 2  2 [ )( bf  ( af )] （用②式） b  a   (2  2   2 [2   2  [ ( af )] 2  [ ( af )] 2   2  [ ( af )] 2  [ ( af )] 2   2  [ ( af )] 2  [ ( af )] 2  )( bfab )[  ( af )] ( ab   2 ) （用①式） ( af 2 )]  1(  2  )[ ( af )] 2 。

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