2006考研数学一真题及答案.doc-资料库

2006 考研数学一真题及答案一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1) lim 0 x  (2)微分方程 ) ln(1 x  1 cos  y x x    x ) y (1  x . の通解是 . (3) 设  是锥面 z  2 x  2 y ( 0 1z  ) の下侧 , 则 xdydz  2 ydzdx  3( z  1) dxdy  .   (4)点 (2,1, 0) 到平面3 x  4 y  5 z  の距离 z = 0 . (5) 设矩阵 A 1 2    1 2     B = . , E 为 2 阶单位矩阵 , 矩阵 B 满足 BA B   2 E , 则 (6) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 且均服从区间 [0,3] 上の均匀分布 , 则 P   max{ , } 1 X Y  = . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内) (7)设函数 y  ( ) f x  具有二阶导数,且 ( ) f x  0, f  ( ) x  , x 为自变量 x 在 0x 处の 0 增量, y 与 dy 分别为 ( ) f x 在点 0x 处对应の增量与微分,若 0x  ,则 (A)0 dx  y   (C) y   dy  0 (B)0    y dy (D) dy y   0 (8)设 ( , f x y 为连续函数,则 )  4 0   d  1 0 ( cos , sin ) f r   r rdr 等于 2 2 2 2 (A)  0 (C)  0 2 1  x dx  x ( , f x y dy ) 2 1  y dy  y ( , f x y dx ) (B) 2 2  0 dx  0 2 1  x ( , f x y dy ) (C) 2 2  0 dy  0 2 1  y ( , f x y dx )

(9)若级数  收敛,则级数 a n  n 1  (A) (C)   收敛 a n n 1    n 1  a a n n 1  收敛 (B) (D)   ( 1)n n 1  a n 收敛 n  a a  2 1  n n 1  收敛 (10)设 ( , f x y 与 ( , x y ) ) 均为可微函数,且 1( , y x y ) 0  .已知 0 x ( , y 是 ( , 0 f x y 在约 ) ) 束条件 ( , x y )  下の一个极值点,下列选项正确の是 0 (A)若  ( xf x 0 , y 0 ) 0  ,则  yf ( x 0 , y 0 )  0 (B) 若  ( xf x 0 , y 0 ) 0  , 则  yf ( x 0 , y 0 )  0 (C)若  ( xf x 0 , y 0 )  ,则 0  yf ( x 0 , y 0 )  0 (D) 若  ( xf x 0 , y 0 )  0 , 则  yf ( x 0 , y 0 )  0 (11)设 1 α α , , 2 α 均为 n 维列向量, A 是 m n 矩阵,下列选项正确の是 , ,s (A)若 1 α α , (B)若 1 α α , (C)若 1 α α , , , , 2 2 2 α 线性相关,则 1 Aα Aα ,s , , α 线性相关,则 1 Aα Aα ,s , , α 线性无关,则 1 Aα Aα ,s , , , Aα , ,s 2 线性相关 , Aα , ,s 2 线性无关 , Aα , ,s 2 线性相关 , , , α α α 线性无关,则 1 (D)若 1 (12)设 A 为 3 阶矩阵,将 A の第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B の第 1 列の-1 倍加到第 2 Aα Aα Aα 线性无关. ,s ,s , , , 2 2 列得C ,记 P       1 1 0 0 1 0 0 0 1      ,则 (A) 1C P AP (C) TC P AP (B) C PAP 1 (D) C PAP T (13)设 ,A B 为随机事件,且 ( P B ) 0,  ( P A B | ) 1  ,则必有 (A) ( P A B  )  ( ) P A (B) ( P A B  )  ( P B )

(C) ( P A B  )  ( ) P A (14)设随机变量 X 服从正态分布 (D) ( P A B  )  ( P B ) N   ,Y 服从正态分布 ( ) , 2 1 1 ) N   , ( , 2 2 2 且 {| P X   1 | 1}   {| P Y   2 | 1},  则 (A) 1 2  (C) 1 2  (B) 1 2  (D) 1 2  三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分)  设区域 D=   , x y x 2  2 y  1, x   0 ,计算二重积分 I  1  2 x  xy  2 y  1D dxdy . (16)(本题满分 12 分) 设数列 nx 满足 0  x 1  x   1 ,  sin  x n n   1,2,... . 求:(1)证明 lim n x x  存在,并求之. 1 2 nx . 展开成 x の幂级数. 2 x 1     lim x  (2)计算 x n x n    (17)(本题满分 12 分) x 将函数  f x x   (18)(本题满分 12 分) 设函数    f u 2   在 0,  内具有二阶导数且 , z  f  2 x  2 y  满足等式 z 2 2  x   z 2 2  y   0 . (1)验证   u  f  0  .    f u u   1 (2)若   1 f  0, f  1,  求函数 ( ) f u の表达式. (19)(本题满分 12 分)   设在上半平面 D  , x y y  有 f  tx ty ,   2 t  , f x y  .   内,数  0  f x y 是有连续偏导数,且对任意の 0 t  都 ,

证明 : 对 L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线 L , 都有 ( , xf x y dy yf x y dx ( , 0   ) ) .  L (20)(本题满分 9 分) 已知非齐次线性方程组      x x  1 2 4 3 x  1 ax x  1 2 x x     4 3 5 x x x   4 3 2 3 bx x   4 3 1 1   1  有 3 个线性无关の解, (1)证明方程组系数矩阵 A の秩  r  2 A . (2)求 ,a b の值及方程组の通解. (21)(本题满分 9 分) 设 3 阶实对称矩阵 A の各行元素之和均为 3,向量 α 1    T 1,2, 1 ,   α 2    0, 1,1  T 是线性方程组 0x A の两个解. (1)求 A の特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q 和对角矩阵 A ,使得 T Q AQ A .  (22)(本题满分 9 分) 随机变量 x の概率密度为   x f x         1 , 1 2 1 ,0 4 0, 其它    x 0   x 2 y 令  2 , x F x y ,   为二维随机变量 ( )X Y の分布函数. , (1)求Y の概率密度  Yf  y . (2) F    1 ,4 2    . (23)(本题满分 9 分) 设总体 X の概率密度为 ( F X ,0)   1  0 1 2 0 x   1 x   其它 , 其中  是未知参数 (0 1)  , X X 1 , 2 ..., X 为来自总体 X の简单随机样本,记 N 为样本值 1 n , x x 2 ..., x 中小于 n 1 の个数,求の最大似然估计.

参考答案（1）一、填空题 ln(1 ) x x  1 cos x  1,) xx   lim 0 x  1ln(  （2）微分方程 y   （3）设  是锥面 Z= = 2 . 1 x 2 ) x cos (1 y  x 2 x 2 x （ x 当 0 时）の通解是 y  cxe x ( x  ，这是变量可分离方程. 0)  y 2 (0  Z  1) の下侧，则 xdydz  2 ydzdx  3( z  1) dxdy  2    补一个曲面 2 x  :    1 1  z y  2  1 上侧 P x  , Q  2 , y R  3( z  1) P  x   Q  y   R  z      1 2 3 6 ∴      1 （  为锥面  和平面 1 所围区域）   6dxdydz  6V （V 为上述圆锥体体积） 6   2    3 ydzdx  dydz  2 而   1  3( z  1) dxdy  0 （∵在 1 上： 1,  z dz  ） 0 （4）点(2 ,1,0, )到平面3 x  4 y  5 z  0 d 的距离  2 d  3 2 4 1    2 2 5 3   2  10 50  2 2  2 (5)设 A= 2 1 4 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由 BA=B +2E化得 B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. （6） 1 9 二、选择题（7）设函数增量， y 与 dy 分别为 ( ) 具有二阶导数，且 ( ) 0 f x 在点 0x 处对应の增量与微分.若  ， ( ) 0 ( ) f x  ， x 为自变量 x 在 0x 处の 0x ，则[A] f x x  y f

( 0) A  dy  ( By 0)  y yCdy  ) ( dy  (0 dyD )  y 0  ( ) f x  ( ) 0, f x 因为  ( ) 0, x f  则是凹的 ,0 故 x y  又则严格单调增加 ( ) f x 0 dy   (8) 设 ( , f x y ) 为连续函数,则  4 0  d   1 0 ( cos , sin ) f r   r rdr 等于 [C] (A)  0 2 2 dx  x 2 1  x ( , f x y dy ) 2 2 (B)  0 dx  0 2 1  x ( , f x y dy ) 2 2 (C)  0 dy  y 2 1  y ( , f x y dx ) (D)  0 2 2 dy  0 2 1  y ( , f x y dx ) (9) 若级数   n 1  a 收敛,则级数 n [D] ( ) A ( C )   1 n    n 1  a n 收敛 a a n n 收敛 1  ( B ) ( D )   1 n    n 1  ( 1)  n a n 收敛 a n a  2 n 1  收敛 (   n 1  a n 1  ) 也收敛  ( , x y  y ) 均为可微函数,且  0, 已知( , )是 x y 0 ( , f x y ) 0 下的一个极值点,下列选项正确的是[D]  f x y 0 y  f x 0 y (B)若 ( , )=0,则 ( , ) 0  ) 0  f x y 0 x  f x y x y (D)若 ( , ) 0,则 ( , 0 ( , x y     ) 0 0 0 0 0 0 0 设 (A)若 ( , )=0,则 ( , )=0 ) ( , (10) ( , ) f x y x y  与 ) 0 ( , x y   在约束条件   f x y f x y 0 x y   f x y f x y 0 y x 构造格朗日乘子法函数F=    ) 0 ( , ) f x y   F = x x    ) 0 ) ( , x y f   F =  y y   ) 0 ( , x y   F =   (C)若 ( , ) 0,则 ( , )=0 0 ( , ) f x y (1) (2) ( , x y ( , x y   x   y  0 0 今   y ( , x y 0 0 )      0, 代入(1)得  ( , f x y x 0 f  y ( ) 0  ) )  ( , ) x y  0 0 x  ( , x y  0 y 0 , x y 0 ) ) 0  f y   y , x y 0 , ( x y 0 0 , ( x y 0 0 )  0 今  ( , f x y x (11)设 1, 0 0 0 ] (  D 则 [ 故选 , 0 ) 2,…,  yf s 都是 n 维向量，A是 mn 矩阵，则（）成立. s 线性相关,则 A 1,A 2,…,A s 线性相关. s 线性相关,则 A 1,A 2,…,A s 线性无关. s 线性无关,则 A 1,A 2,…,A s 线性相关. s 线性无关,则 A 1,A 2,…,A s 线性无关. (A) 若 1, (B) 若 1, (C) 若 1, (D) 若 1, 解: (A) 本题考の是线性相关性の判断问题,可以用定义解. 若 1, 2,…, 2,…, 2,…, 2,…, s 线性相关,则存在不全为 0 の数 c1,c2,…,cs 使得 2+…+cs 2,…, 1+c2 s=0, c1 用 A左乘等式两边,得

c1A 1+c2A 2+…+csA s=0, 于是 A 1,A 2,…,A s 线性相关. 1, 如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. 2,…, 2. r(AB) r(B). 矩阵(A 1,A 2,…,A s)=A( s 线性无关 r( s ),因此 s )=s. 2,…, 1, 1, 1, 2,…, 2,…, ). s r(A 1,A 2,…,A s) r( 由此马上可判断答案应该为(A). (12)设 A是 3 阶矩阵,将 Aの第 2 列加到第 1 列上得 B,将 Bの第 1 列の-1 倍加到第 2 列上得 C.记 P= 1 0 0 (A) C=P-1AP. ,则 0 0 1 1 1 0 (B) C=PAP-1. (D) C=PAPT. (C) C=PTAP. 解: (B) 用初等矩阵在乘法中の作用得出 B=PA , 1 -1 1 0 C=B 0 0 0 0 =BP-1= PAP-1. 1 （13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B) P(A  B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选 C （14）依题： x  1   1 ~ N ),10( ， Y  2   2 ~ N ).1,0( { XP   1 }1  { YP   2  }1   XP    YP    1   1  ,1    1  2   2   .1    2 因 { XP   1  }1  { YP   2  },1 即  Xp    1   1  1  1      YP    2   2   .1    2 所以 1 ,1  2  1  2  1 . 应选 A 三、解答题

(15) 设区域 D   ( , x y x ) 2  2 y  1, x   0 , I 计算二重积分  1  2 x  xy  y  D 1 dxdy 2 xy 2 x  2 y 1  dxdy  0 解 :  I   D 1  x  D 1 2  dxdy  2 y   2   2 d   1 1 0 r r  2 dr   2 ln(1  r 2 )  1 0  2 ln 2 (16) 求 , 0 x   设数列满足 1 n x 存在,并求之 n   x n 证明 (1) x 1   lim n   sin ( x n n  1,2, )  (2) 1 2 x n ) 1  计算 x lim( n x n  n sin , 0 x    1   , x x  n n   lim x 有下界，根据准则1, n n  1, 单调减少 x 2  n 解 x 1 n  x 又 n : (1) x  2 sin x  n 0,   因此当时  2 x n  A 存在递推公式两边取极限得 , A  sin , A   A 0 (2) 原式= lim( n  1 2 ,nx ) x n sin x n 为"1 "型  离散型不能直接用洛必达法则先考虑 lim( 0 t  1 2 t t ) sin t 1 20 t lim ln( t  sin t t )  e lim 0 t  1 2 t   t 1 sin t ( cos t sin ) t  2 t t  e lim 0 t  t t cos sin t  3 2 t  e lim 0 t   e t 2  t 1    2   2 0( t ) t 3 t 6            3 2 t 0( t 3 )     1 1  6 2 2 1  6  e  e (17) 将函数 ( ) f x  展开成的幂极数 x 2 x x     x )(1 x ) x  ) x x  (2 (2 B  x 2 A  2 x x 令 1, 2 3   3 B 1  x 2( ) 1, 1 3    B 1  x 1( ) B  x   1 2, 1 3 1  3 解: ( ) f x  (1 A  x )  令 x   )( xf  3 A  2, A  2 3 1( 1  x 2 ( 1)  1 3 1 (1[  x )] ) n 1     n x , x  1  1 3   n  0 ( x 2 n )  1 3   n  0 n ( 1)  n x    n  0 1 1   n 3 2   

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