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南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题及答案.docx
2010 ~ 2011学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷 答案
考试日期：2011年1月12日，课程编号：A000003，命题教师： 阅卷教师：
学院 专业 学号 姓名
2011 ~ 2012学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷
考试日期：2012年1月9日，课程编号：A000003，命题教师： 阅卷教师：
一（20分）
二（20分）
三（20分）
五（20分）
2012 ~ 2013学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷
考试日期：2013年1月15日 课程编号：A080001 命题教师： 阅卷教师：
学院 专业 学号 姓名
(1) 矩阵,
. …………………(5分)
四、(20分)
(1) . ………(10分)
(2) 因为是相容范数，且
(3) . ……………(5分)
五、(20分)
2013 ~ 2014学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷
考试日期：2014年1月14日 课程编号：A080001 命题教师： 阅卷教师：
学院 专业 学号 姓名
四、(15分)
五、(20分)
六、(10分)
因此方程组相容.(5分)
南京航空航天大学 07-14 硕士研究生矩阵论试题
2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
A
1
2
1
1
2
1
2
3
1
，
一、（20 分）设矩阵
（1）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值；
（2）求 A 的行列式因子、不变因子和初等因子；
（3）求 A 的最小多项式，并计算
6
A
3
A
2
I
；
（4）写出 A 的 Jordan 标准形。
二、（20 分）设
22R 是实数域 R 上全体 22 实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵
的乘法)。
（1）求
22R 的维数，并写出其一组基；
（2）设W 是全体 22 实对称矩阵的集合，
证明：W 是
22R 的子空间，并写出W 的维数和一组基；
（3）在W 中定义内积
(
,
BA
)
tr
(
BA
),
其中
,
WBA
，求出W 的一组标准正交基；
（4）给出
22R 上的线性变换T ：
)
AT
(
T
AA
,
22
RA
写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核
(TKer 和值域
)
(TR 。
)
三、（20 分）
A
31
2
121
（1）设
，求 1A ， 2A ， A ， FA ；
A
(
a
ij
)
nn
C
A
*
n
max
j
i
,
a
ij
，
，令
（2）设
证明： * 是
nnC
上的矩阵范数并说明具有相容性；
1
n
A
*
A
2
A
*
。
（3）证明：
四、（20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的QR 分解；
A
1
1
0
0
11
1
0
0
1
0
1
b
2
1
1
2
，
，向量
（2）计算
A ；
（3）用广义逆判断方程组
Ax 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
b
五、（20 分）
A
235
23
t
2
2
t
,
B
1
0
1
1
5.02
t
2
5.0
1
t
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时,
BA 成立？
，其中 t 为实数，
（2）设 n 阶 Hermite 矩阵
A
A
11
H
A
12
A
12
A
22
0
，其中
kkC
11
A
，
证明：
A
11
,0
A
22
H
AAA
12
12
1
11
0
。
（3）已知 Hermite 矩阵
aA
ij
nn
C
a
ii
，
j
i
a
ij
i
,2,1
,
n
，证明： A 正定。
2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试 B 卷
A
1
1
0
2
4
4
2
0
0
，
一．（20 分）已知矩阵
（1）求 A 的不变因子、初等因子及最小多项式；
（2）求 A 的 Jordan 标准形 J 及可逆变换矩阵 P ，使得
（3）问矩阵序列
是否收敛？.
kA
1P AP J
；
二．（20 分）
A
2
0
1
（1）已知矩阵
（2）设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是
1 0
2
3
2
0
A
，求 1
,
A
,
2
A
,
A
;F
n nC
上的相容范数，为 A 的任一特征值，
1A
证明：
1
A
。
三．（20 分）
[ ]R x 表示实数域上次数不小于 3 的多项式与零多项式构成的线性空间，
3
( )
f x
[ ]
R x
3
对
，记
)(
xf
2
ax
bx
c
,
其中
,
Rcba
,
[ ]R x 上定义线性变换：
3
，在
[
(
xfT
)]
2
3
ax
2(
a
2
b
)3
xc
(
ba
).4
c
（1）给出
[ ]R x 的一组基，并求出线性变换T 在该基下的表示矩阵；
3
（2）求线性变换T 的特征值和特征向量；
（3）判断线性变换T 是否可对角化？若可以，给出对角化的一组基；若否，证明之。
四．（20 分）
（1）设
A
2
1
1
4
2
2
1
1
1 2
2 1
，试给出 A 的满秩分解，并计算 A
；
b
4
0
2
，利用广义逆矩阵判断线性方程组 Ax
（2）设
b 是否相容？若相容，求其通解；
若不相容，求其极小最小二乘解。
五．（20 分）
5 3 2
3 2
2
t
t B
2
A
（1）设
,
1
0
1
1
2 0.5
2
0.5
t
1
,其中 t 是实数，
t
问 t 满足什么条件时， A B 成立？
（2）设 A 为 n 阶 Hermite 矩阵，对任意
,
x C x
n
0
，记
(
xR
)
H
x
Ax
H
xx
，
证明： min
(
)
A
( )
R x
max
(
),
A x
0
。
（3）设 n 阶 Hermite 矩阵
A
A
11
H
A
12
A
12
A
22
A
，其中 11
k k
C
(1
k n
，
)
A
11
0,
A
22
H
A A A
12
12
1
11
0,
证明：
0A 。
如果
2008 ~ 2009 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
A
8
3
14
1
0
2
6
3
10
,
一（20 分）设
（1） 求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值；
（2） 求 A 的不变因子、初等因子和最小多项式；
（3） 写出 A 的 Jordan 标准形。
A
1
1
0 1
1 1
A
，求 1
,
A
,
2
A
,
A
F
；
上的相容矩阵范数，证明：
二（20 分）（1）设
（2） 设 是
nnC
（i） 如果 A 是 n 阶可逆矩阵，是 A 的任一特征值，则
1
A
1
A
|
|
；
（ii） 如果
n n
P C
是可逆矩阵，令
A P
1
P
AP
，则 PA 是
nnC
上的相容矩阵范数。
A
1 0
0
1
1
0
1
0
1
，
b
1
2
2
，
三（20 分）设
（1） 作出 A 的满秩分解，计算 A
；
（2） 应用广义逆矩阵判定线性方程组
Ax 是否相容。若相容，求其通解；
b
若不相容，求其极小最小二乘解；
（3） 设 A 是
nm 实矩阵， b 是 m 维实向量，证明：不相容线性方程组
Ax 的最小二乘解唯
b
一当且仅当 A 列满秩。
四 (20 分)设V 表示实数域 R 上全体 22 上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加法和数量乘法）。
（1） 求V 的维数，并写出V 的一组基；
（2） 在V 中定义线性变换T ：
XT
(
)
1
0
1
0
XX
10
10
VX
,
求T 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（3） 求（2）中线性变换T 的值域
(TR 和核
)
(TN ，并确定它们的维数；
)
（4） 在V 中能否取一组基使得（2）中线性变换T 在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一
组基；如果不能，则说明理由。
五（20 分）设
A
( ija
)
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得
A B ；
3
（2） 如果
0A ，则
2
tr A
(
)
(
))
tr A
(
2
；
（3） 如果
0A ，则
tr A tr A
(
)
(
1
)
。
n
2009 ~ 20010 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
A
1
1
1
0
62
41
3
一、（20 分）设
（1）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值；
（2）求 A 的不变因子、初等因子和最小多项式；
（3）写出 A 的 Jordan 标准型 J；
，
（4）求可逆矩阵 P，使
1P AP J
。
二、（20 分） （1）设
A
1
2
2
0
2
1
A
，求 1
,
A
,
2
A
,
A
F
；
A
(
a
ij
)
nn
C
A
，令 *
n
max |
i
j
,
a
ij
|
，
（2）设
证明 * 是×上的矩阵范数并说明具有相容性；
（3）设 A,B 均为 n 阶矩阵，并且 AB=BA，证明：如果 A 有 n 个互异的特征值，则 B 相似于对 角矩阵。
三、（20 分）设
表示实数域 R 上次数小于 3 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按 通
常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1）在
中定义线性变换 T：
T
1(
)
2
xxT
2
xx
2
)
xT
(
(
)
3
2
x
2
2
x
4
x
2
x
求变换 T 在基
1,
2
,x x 下的矩阵；
（2）求 T 的值域 R(T)和核 ker(T)的维数和基；
（3）求线性变换 T 的特征值及特征向量；
4
3][xR 中定义内积
),(
gf
1
dxxgxf
)()(
(
xRxgxf
3][
)(),
,
求出
3][xR 的一组标
（4）在
准正交基。
四、（20 分）
A
4
0
0
4
1
t
1
t
4
（1）设
（2）设 A 是 n 阶 Hermite 矩阵，证明：A 半正定的充分必要条件是 A 的特征值均为非负实数；
，其中 t 为实参数，问 t 取何值时 A 正定；
（3）已知 n 阶矩阵
0A
|
，证明
IA
1|
，并且等号成立的充分必要条件为 A=0。
五、（20 分）
A
1
1
1
1
2
1
1
1
1
，
b
1
1
1
（1）
(i)做出 A 的满秩分解，并计算
A ；
(ii)用广义逆矩阵判定线性方程组 Ax=b 是否相容，若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二
乘解；
qm 矩阵，则矩阵 方程 AXB=C 有解的充分必 要条件是
,
（2）设 A,B,C 分别为
nm
,
AA CB B C
。
qp
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
A
2
4
6
3 4
6 8
7 8
。
一（20 分）（1）设
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值；
（ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子；
（iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
A
17
45
6
16
,
B
14
3
60
13
，试问 A 和 B 是否相似？并说明原因。
（2）设
A
2
1
3
1
2
1
二（20 分）（1）设
（2）设
nnCA
的特征值为
，求 1A ， 2A ， A ， FA ；
,
,
n
1 ，求证：
,
2
n
i
1
2
i
A
2
F
；
n
i
1
2
i
A
2
F
的充要条件是 A 为正规矩阵。
(i)
(ii)
A
1 0
1 2
,
三（20 分）设
2 2
W X AX XA X R
,
（1） 证明：W 是
2 2R
的线性子空间，并求W 的基和维数；
（2） 在W 中定义变换
T
:
(
T X
)
X X
*
, 其中
*X 为 X 的伴随矩阵， 证明：T 为线性变换；
（3） 求T 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（4） 求（2）中线性变换T 的值域
(TR 和核
)
Ker T ，并确定它们的维数.
( )
四（20 分）设
m n
A R
。
（1）证明：
TA A 半正定；
（2）证明：|
I A A
T
| 1
，并且等号成立当且仅当
0A ；
|
T
A A
（3）证明：
n
m
|
(
k
1
i
1
a
2
ik
)
；
（4）证明：存在唯一的对称半正定矩阵 S 使得
TA A S 。
2
A
1
0
1
1
1
1
，
b
0
1
1
.
五（20 分）（1）设
（i） 求 A 的奇异值分解；
（ii）计算广义逆矩阵
A ；
（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组
Ax 是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最
b
小二乘解;
A
0.2 0.3
0.5
0.6
（2）设
，判定矩阵级数 0
k
( 1)k
k
A
是否收敛。若收敛，求其和。
2011 ~ 2012 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
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