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2019下半年青海教师资格高中数学学科知识与教学能力真题及答案.doc
2019下半年青海教师资格高中数学学科知识与教学能力真题及答案
2019 下半年青海教师资格高中数学学科知识与教学能力真
题及答案
注意事项：
1. 考试时间为 120 分钟，满分 150 分。
2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
1. 若函数
)(
xf
A. a=2, b=l
C. a= -2, b=l
2. 若函数
xf
e
b
ax
0
,
x
,2sin
xx
，在 0x 处可导，则 a，b 的值是（ ）。
0
B. a=l, b=2
D. a=2, b= -l
n
x
,1
sin
x
,0
x
x
0
0
的一阶导函数在 0x 处连续，则正整数 n 的取值范
2n
)031(2 ，，M
B.
)1
与平面 1 之间的夹角是（ ）。
D.
，若平面 1 过点 1M 且垂直于
1n
C.
，
0n
2
1MM
，，M
z
21(1
18
0
, 则平面
围是（ ）。
3n
A.
3. 已知点
18
2 ：
6
y
x
6
A.
B.
4
C.
3
D.
2
4. 若向量 a, b, c 满足 a + b + c = 0,那么 a × b =（ ）。
A. b × a
C. b × c
B. c × b
D. a × c
5. 设 n 阶方阵 M 的秩
(
rMr
)
n
，则 M 的 n 个行向量中（ ）。
A. 任意一个行向量均可由其他 r 个行向量线性表示
B. 任意 r 个行向量均可组成极大线性无关组
C. 任意 r 个行向量均线性无关
D. 必有 r 个行向量线性无关
6. 下列变换中关于直线
y 的反射变换是（ ）。
x
A.
1M
C.
3M
1
0
0
1
10
01
B.
2M
cos
sin
sin
cos
D.
4M
01
1
0
7. 下列对向量学习意义的描述：
①有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系；
②有助于学生理解数学运算的意义及价值，发展运算能力；
③有助于学生掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想；
④有助于学生理解数学不同内容之间存在广泛的联系。
其中正确的共有（ ）。
A. 1 条
8. 数学归纳法的推理方式属于（ ）。
A. 归纳推理
B. 演绎推理
C. 3 条
C. 类比推理
D. 合情推理
B. 2 条
D. 4 条
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9. 已知线性变换
Y
AX
B
，其变换矩阵
A
1
2
0
0
1
3
，
B
3
5
。
（1）写出椭圆
2
x
4
2
y
9
1
在该变换下的曲线方程；
（2）举例说明在该变换条件下，什么性质不变，什么性质发生变化(例如距离、 斜率、
相交等)。
10.
xf
ln
(
xx
)0
，
)(
xg
5ln
4
(
x
)1
。
（1）求曲线
y
xf
与 )(xg 所围成图形的面积；
（2）求平面图形
y 0
xf
，
1
x ，绕 y 轴旋转所得体积。
3
11. 一个袋子里 8 个黑球，8 个白球，随机不放回连续取球 5 个，每次取出 1 个球，求
最多取到 3 个白球的概率。
12. 数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还
包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。
请你给出数学教学中融入数学文化的两个事例。
13. 简述数学建模的过程。
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
14.
xf 在
ba, 上连续，且
)(
af
)(
bf
0
，请用二分法证明 0xf
在区间
ba, 上
至少有一个根。
四、论述题（本大题 1 小题，15 分）
15. 有人说，当前数学教学欠缺的是思维能力的培养，请谈谈你的看法，并给出具体的
教学建议。
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。
16. 案例：
在学习了“直线与圆的位置关系”后，教师要求学生解决如下问题：
求过点 P（2,3）且与圆 O：
(
x
)1
2
2
y
1
相切的直线 l 的方程。
一位学生给出的解法如下：
由圆 O：
(
x
)1
2
2
y
1
知，圆心 O（1，0），半径为 1，设直线 l 的斜率为 k, 则其方
程为
y
3
(
xk
）2
，即
kx
y
2
k
3
0
。因为直线 l 与圆 O：
(
x
)1
2
2
y
1
相切，
所以圆心 O 到直线 l 的距离
d
k
2
k
2
k
3
1
1
，解得
4k
3
，所以，所求直线 l 的方程为
4
x
3
y
01
。
问题：
（1）指出上述解法的错误之处，分析错误原因，并给出两种正确解法；（14 分）
（2）针对该题的教学，谈谈如何设置问题，帮助学生避免上述错误。（6 分）
六、教学设计题（本大题 1 小题，30 分）
17. 《普通高中数学课程标准》（2017 年版）对“导数的概念及其意义”提出的学习要
求为：
①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背
景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。
②体会极限思想。
③通过函数图象直观理解导数的几何意义。
请针对“导数的概念及其意义”，以达到学习要求①为目的，完成下列教学设计：
（1）写出教学重点；（6 分）
（2）写出教学过程（只要求写出新课导入，概念的形成与巩固等过程）及设计意图。
（24 分）
参考答案及解析
一、选择题
1.【 答 案 】 A。 解 析 ： 因 为 xf 在
0x
处 可 导 ， 所 以 xf 在
0x
处 必 连 续 ，
(
b
sin
x
)
b
lim
0
x
ax
1
e
lim
0
x
， 由 可 导 性 质 可 知
lim
0
x
f
)(
x
lim
0
x
f
)(
x
， 所 以
ax
ae
a
lim
0
x
lim
0
x
2
cos
2
x
2
。故本题选 A。
2. 【答案】A。解析：
xf
1sin
x
1
n
nx
1cos
x
2
n
x
0
0
x
，
x
，
0
，由题意可知 xf 在 0x 处连
续，所以
lim
0
x
)(
xf
0
，当且仅当 3n 时成立。故本题选 A。
3. 【答案】B。解析：
MM
2
1
)1,1,0(
，设平面 1 的一点到点 1M 的向量为 a=(x-1, y-2,
z+1)，二者垂直，则
(
x
(0)1
y
(1)2
z
01)1
，整理得
y
01 z
，平面 2 ：
6
x
y
18
z
18
0
，法向量为
2 n
)18,1,6(
，平面 3 ：y+z-l=0，法向量为
3 n
)1,1,0(
，
cos
n
n
2
2
n
3
n
3
19
2
361
2
2
。故本题选 B。
4.【答案】C。解析：a+b + c=0 ，则 a + c = -b ，所以（a + c）×b = -b × b = 0，
则 a × b + c × b = 0，所以 a × b = -c × b = b × c。故本题选 C。
5.【答案】D。解析：由题意知
(
rMr
)
n
，由矩阵性质可知必然有 r 个行向量线性
无关，A 错；只有极大无关组中的行向量才能由其它向量表示，B 错；任意 r 个行向量不能
保证线性无关，C 错。故本题选 D。
6.【答案】C。解析：在平面任取一点
,(
yxP
)
。点 P 关于
y 的对称点
x
(
,
yxP
)
，由
点关于直线对称点公式得
x
y
2
y
2
2
x
2
y
x
，
x
y
10
01
x
y
。故本题选 C。
7.【答案】D。解析：向量理论具有神奇的数学内涵，丰富的物理背景，向量既是代数
研究对象也是几何研究对象，是沟通几何和代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面以及
高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际
问题中发挥着重要作用。故本题选 D。
8.【答案】B。【解析】数学归纳法是一种证明方法，是一种演绎推理方法，它的基本思
想是递推思想。故本题选 B。
二、简答题
9.【解析】（1）设椭圆
2
x
4
2
y
9
1
上任意一点
(
x
,0 y
0
)
在该变换作用下得到
(
x
,0
y
)
0
，
则
1
2
0
0
1
3
x
0
y
0
3
5
x
0
y
0
，即
x
0
y
0
1
2
1
3
x
0
3
y
0
5
，即
x
y
0
0
(2
(3
x
y
0
0
，代入椭圆方程中得所求曲
)3
)5
线方程为
(
x
)3
2
(
y
)5
2
1
。
（2）该变换条件下不变的性质是：都是中心对称图形和轴对称图形，都是在某条件下
点的轨迹所形成的对称图形；变化的性质是：图形形态发生了变化，不再以原点为中心点，
不再与坐标轴相交，图形距离中心点的距离都相等。
10. 【解析】（1）由
ln
x
5ln
4
(
x
)1
，得 5x ，所以
ln
x
5ln
4
(
x
)1
dx
x
(ln
x
x
)
5ln
4
2
x
2
x
5
1
45ln3
。
5
1
（2）
V
3
2
1
x
ln
xdx
2
1
2
2
x
ln
x
1
4
2
x
3
1
9
43ln
11. 【答案】
67 。解析：随机不放回地连续取 5 个球，最多取到 3 个白球的对立事件
78
4
CC
8
是取到 4 个白球 1 个黑球或取到 5 个白球。其中，取 4 个白球与 1 个黑球的概率为 5
C
16
1
8
，
5
C
8
取 5 个白球的概率为 5
C
16
。故最多取 3 个白球的概率
P
1
1
8
4
CC
8
5
C
16
5
C
8
5
C
16
67
78
。
12.【参考答案】
在高中教学中，及时并有效地渗透数学文化，有利于增加学生的学习兴趣，有助于学生
理解数学知识和数学知识的实际运用。例如：
（1）在学习《复数》时，“复数”概念对学生来说相对抽象。教师可以在教学中渗透数
学文化史：笛卡尔，著名的法国哲学家、科学家和数学家。笛卡尔在解方程时，把方程的根
区分为实根与虚根，他认为复数开平方是不可思议的，因而取名为“虚数”，也给出了“复
数”的名字。教师在教学中融入数学文化，让学生了解概念产生的背景和意义，利用概念与
生活的相通性可以帮助学生更直观地理解概念。
（2）在教学《二项式定理》时，可以介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，“杨辉三角”
在中国数学文化史上有着特殊的地位，它蕴含了丰富的内容，还科学揭示了二项展开式的二
项式系数的构成规律，由它可以直观地看出二项式定理的性质。
将数学文化渗透到数学教学中，将教材内容与数学文化巧妙结合起来，从数学文化中延
伸出数学概念和规律，可以帮助学生理解相关内容。数学文化中蕴含的事具有较强的趣味性，
还可以激发学生的学习兴趣。
13. 【参考答案】数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。建立和
求解模型的过程包活从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等
式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。具体如
下：
（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息以数学
思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符
合数学理论，符台数学习惯，清晰准确。
（2）模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精
确的语言提出一些恰当的假设。
（3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量常量之间的数学
关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
（4）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。
（5）模型分析：对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。
（6）模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合
理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如
果模型与实际吻合较差，则应该修改假设。再次重复建模过程。
三、解答题
14.【参考答案】先将
ba, 二等分为
baa
,
2
、
，则 )(af 和 )(bf 中必然有一个与
0
立；若
baf
2
)(
af
bba
,
2
baf
2
。 再 将
，若
baf
2
异号，记这个小区间为
0
，则结论成
1, ba ，
1
b
1
2
、
)
中必然有
aa
,
1
1
( 1bf
它 满 足
)(
bf
0
且 区 间 长 度 为
b
1
a
1
bb
,
1
a
1
2
一个与
1
af
，若
1 b
1
2
，则结论成立；若
1
0
b
1
2
af
异号，记这个小区间为
, 2
ba
2
1
1, ba
二 等 分
0
，则
( 1af
)
和
ab
2
af
b
1
2
ba
,
，
1
b
2
a
2
ab
2
2
且
(
af
2
)
(
bf
2
)
0
。
釆用二分法不断进行下去，可能出现两种情形：
0
(
)
icf
(1)在某一区间的中点 ic 上有
，则结论成立；
0
)
(
icf
(2)在任意区间的中点 ic 上均有
ab
n
2
,2,1
ba
n
n
1
n
，
b
n
b
n
①
],
1
a
a
[
]
[
,
,
n
n
；
,则得到闭区间列
[
｛
,
n ba
n
]
｝
，它满足
②
lim
n
(
b
n
a
n
)
lim
n
③
(
af
n
)
(
bf
n
)
,0
n
0
；
ab
1
n
2
,2,1
；
由①和②可知是
[
｛
,
n ba
n
]
｝
一个区间套，由区间套定理可知，存在
,
n ba
n
[
]
， n 1，2，
3 ⋯ ， 且 有
lim
n
a
n
lim
n
b
n
， 因 为
)(xf
在 点 处 连 续 ， 所 以 由 ③ 得
)(2
f
lim
n
(
a
n
)
(
bf
n
)
0
点。
，则必有
)(
f
0
，显然
）（ ba,
，他就是 )(xf 的一个零
四、论述题
15.【参考答案】数学教学活动是数学活动的教学，即思维活动的教学。养成良好的思
维品质是教学改革中的一个重要课题，在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析
问题的基本方法，在如今的教育体制之下灌输式教学还是很常见，从而忽视了对学生学习思
维的培养，这对于学生创新能力的培养是极其不利的，因此在教育体制改革的趋势之下，我
们不仅要重视学生基本知识和基本技能的学习，更应该注重学生思维品质的培养。
培养学生数学思维能力应注意以下方面：
（1）找准数学思维能力培养的突破口。 思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学
既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了
学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。
数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。
数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以
考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握
的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度 越高，其适应的范围就越广
泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有
运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要
求，使学生掌握速算的要领。为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为
学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建
立起自己的思路，真正做到举一反三。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性
有很大作用。
（2）教会学生思维的方法。数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在教学过程中
要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力，在例题课中要把解（证）题思路的
发现过程作为重要的教学环节，仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，
是什么促使你这样做，这样想的；在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作
用的隐含条件要有挖掘的能力，会运用综合法和分析法，并在解（证）题过程中尽量要学会
用数学语言、数学符号进行表达。此外，还应加强分析、综合、类比等方法的训练，提高学
生的逻辑思维能力；加强逆向应用公式和逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、
漏的分析，提高辨识思维能力；通过一题多解（证）的训练，提高发散思维能力等。
（3）善于调动学生内在的思维能力。一要培养兴趣，让学生迸发思维。教师要精心设
计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求
知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释。
自己所熟悉的实际问题二要分散难点，让学生乐于思维。对于较难的问题或教学内容，
教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维。
三要鼓励创新，让学生独立思维。鼓励学生从不同的角度去察问题，分析问题，养成良好的
思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发
展。
五、案例分析题
16.【参考答案】
（1）上述解析过程的错误之处在于没有讨论直线斜率不存在的情况。
原因：对于直线方程的表达形式的细节认识不够，忽略了点斜式直线方程的局限性，未
讨论直线斜率不存在的情况，故出现错误。正确解法如下：
方法一：由题意可知圆心 O（1,0），半径 1r ，因为直线过点 P（2,3）且与圆 O 相切，
所以当斜率不存在时， 2x ，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为
y
3
(
xk
)2
，
即
kx
y
2
k
3
0
， 联 立 可 得
(
x
y
2
)1
3
y
(
xk
2
1
)2
， 消 去 y 得 到
1(
k
2
2
)
x
4(
k
2
6
k
)2
x
4
k
2
12
k
9
0
， 由 于 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 令
0
， 得 到
2
4(
k
6
k
)2
2
1(4
k
2
4)(
k
2
12
k
)9
0
，解得
4k ，所以直线方程为
4
x
3
y
01
。
综上所述，直线方程为
4
x
3
y
01
3
或 2x 。
方法二：由题意可知圆心 O（1,0），半径 1r ，因为直线过点 P（2,3）且与圆 O 相切，
， 满 足 题 意 ； 当 直 线 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 方 程 为
所 以 当 斜 率 不 存 在 时 ，
y
3
(
xk
)2
， 即
kx
3
0
， 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离
2x
2
y
k
d
1
r
k
2
3
k
2
1
k
，解得
4k
3
，所以直线方程为
4
x
3
y
01
。
综上所述，直线方程为
4
x
3
y
01
或 2x 。
（2）针对该题教学，可以设置如下几个问题帮助学生梳理解题思路：
①从几何或代数的角度思考直线和圆相切，具有什么特点呢？
预设：从几何的角度出发，是圆心到直线的距离等于圆的半径，且交点只有 1 个。从
代数的角度出发，是圆的方程与直线方程联立后的方程有两个相等的实根距离等于圆的半
径。
②那么根据①的思考结果，根据题干意作图，看看符合条件的直线有几条？分别又具有
什么特征呢？
预设：2 条，一条直线的斜率存在，一条直线的斜率不存在。
③诵过这个结果你得到什么启示，在完成这个题目的解析的时候需要注意什么呢？
预设：需要先讨论斜率不存在的时候是否符合题意，再设出直线的点斜式进行解。
六、教学设计题
17.【参考答案】
（ 1 ） 教 学 重 点 ： 深 刻 理 解 在 一 点 处 的 概 念 ， 能 准 确 表 达 其 定 义 ； 注 意
f
(
x
0
)
lim
0
)(
(
xf
0
))(
)(
(
xf
)
0
这种形式的灵活运用；明确导数实际背景并给出物理、几何
解释；能够从定义出发求出某些函数在一点处的导数。
（2）参考设计：
一、设置问题情境
生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百
米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如
在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
【设计意图】：自然引出瞬时速度的定义，激发学生对瞬时速度的求知欲。
在之前震惊全国的南京宝马车肇事案中，车辆经过事发路口时候，车速达 195.2km/h。
南京交警是怎么鉴定这个速度的呢？从一份鉴定报告书中，我们可以看到，监控视频的两次
1 。通过计算，发现交警鉴定的
抓拍的过程中，汽车移动的距离是 3.615m，时间间隔为 s
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速度是用位移除以时间。那么交警的这种用平均速度来计算瞬时速度的方法合理吗？为什
么？
【设计意图】：引导学生，当时间间隔非常小，平均速度与瞬时速度就极为接近， 从而
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