2008年江苏苏州科技学院数学分析考研真题.doc

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2008 年江苏苏州科技学院数学分析考研真题一、本题共九个小题，每小题 10 分，共 90 分. 1 ．设  sup  ( ) f x a   x b  . 证明：存在数列  nx 满足 a  x n  ，使 b lim n   f x   成立.  n 2．求极限  lim cos x  0 1 x  2 x . 3．计算不定积分   ln sin x 2 sin x  dx .  x y )(z 所确定的隐函数 z  ,( yxz ) 满足 z 2 2  x    y  2 [  )( z z  y  ] 4．证明：由方程 z 其中二阶可导. 5．设正项数列 na 单调减少，且级数 n 1  )1(  n a 发散，试问级数 n  n 1  1( na  n ) 1 是否收敛？并说明理由. 6．设  f x 为  ,a b 上连续函数，证明：若对任意  , a b x ，存在  , a b y ，使

 f y   1 2  f x  ，则存在  , a b  x 0 ，使  0 f x  . 0 7．讨论广义积分   0 x  1 m n x  dx n  0  的敛散性. 8．设 )( xf  x x   2 1 sin ,1 x a  0 为任一正常数，试证 )(xf 在 ,[ a ) 上一致连续. 9．求常数，使得曲线积分  L  x y 2 x  2 y  2  dx   2 2 x y 2 x  2 y  2  dy  0 对上半平面内任何光滑闭曲线 L 成立. 二、本题共四个小题, 每小题 15 分，共 60 分. 1．设  f x 在  ,( ba )1 内有连续导函数 f  ( x ), ( a  b ) ,记  x   nf  n f      x  1 n      f x     , x   , a b  , n=1,2,  . 证明：对任意    ,   , a b  , lim  n      x dx  f     f    . f n

2．  , f x y       3 2 2 2 y    x 0, 2 2 x y , x 2  2 y  0; 2 x  2 y  0. 求证：在 0,0 处，  f x y 连续但不可微. ,  3．计算曲面积分  S 2 x dydz  2 y dzdx  z 2 dxdy ，其中 S 是球面 ( ax  ) 2  ( by  ) 2  ( z  2 c )  2 R ，并取外侧为正向. 4．设  f x 在任意有限区间上可积且满足方程  f x   y    f x    f y  ,证明：  f x  ax ，其中 a f  1 .

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