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数学建模层次分析法案例大学毕业生就业选择问题.doc
一、问题举例：
二、问题分析：
三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量
四：一致性矩阵
一致性矩阵（一致阵）性质：
解释：
分析：
问题：Remark
五、一致性检验——一致性指标：
1．一致性检验指标的定义和确定——（平均值）的定义：
2．随机一致性检验指标——
3. 一致性检验指标的定义——一致性比率。
六、标度——比较尺度解：
七、组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算
八、层次分析法的基本步骤：
九、特征根的近似求法（实用算法）
1．“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解）
2．“根法”求最大特征根特征向量近似值：
3．“幂法”求最大特征根：
十、应用实例
层次分析法建模
层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法
70 年代由美国运筹学家 T·L·Satty 提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策
分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结
构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系
统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：
机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；
统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、
社会现象）现象的规律。
基本内容：（1）多目标决策问题举例 AHP 建模方法
（2）AHP 建模方法基本步骤
（3）AHP 建模方法基本算法
（3）AHP 建模方法理论算法应用的若干问题。
参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第 9 章；第三版，第 8 章），高等教育出版社
2、程理民等， 运筹学模型与方法教程，（第 10 章），清华大学出版社
3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第 11 章，第 7 节，清华大学出版社
一、问题举例：
A．大学毕业生就业选择问题
获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要
求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：
1 能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；
2 工作收入较好（待遇好）；
3 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；
4 单位名声好（声誉-Reputation）；
5 工作环境好（人际关系和谐等）
6 发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何
作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？
工作选择
贡献
收入
发展
声誉
工作环境
生活环境
1
可供选择的单位 P1’ P2 ‘
----- Pn
Ｂ.假期旅游地点选择
暑假有 3 个旅游胜地可供选择。例如： 1P ：苏州杭州， 2P 北戴河， 3P 桂林，到底到哪个
地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；
③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一
个可选择的最优方案。
目标层
选择旅游地
准则层
景
色
方案层
费
用
P1
居
住
P2
饮
食
P3
旅
途
C．资源开发的综合判断
7 种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，
效用最用。
对经济发展、贡献 U
经济价值
开採费
风险费
要求量
战略重要性
交通条件
铁 In
铜 Co
磷酸盐
钿 Ur
铝 Al
金 Go
二、问题分析：
例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：
2
（S1）将决策解分解为三个层次，即：
目标层：（选择旅游地）
准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等 5 个准则）
方案层：（有 1P ， 2P ， 3P 三个选择地点）
并用直线连接各层次。
（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过
程中常是定性的。
例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；
中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；
经济不好的人：会把费用低作为第一选择。
而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。
（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。
（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。
以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。
三、确定各层次互相比较的方法——成对比较
矩阵和权向量
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因
而 Santy 等人提出：一致矩阵法
．．．．．
即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：
目的是，要比较某一层 n 个因素
,
CC
1 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解
,
nC
,
2
中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。
採用的方法是：每次取两个因素 iC 和 jC 比较其对目标因素 O 的影响，并用 ija 表示，全部
比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
A
(
a
ij
)
nxn
,
a
ij
,0
a
ji
( 1
a
ij
或
a
ij
a
ij
)1
（1）
由于上述成对比较矩阵有特点：
A
(
a
ij
, )
a
ij
,0
a
ij
1
a
ji
故可称 A 为正互反矩阵：显然，由
a
ij
1 ，即：
a
ji
a
ij a
ji
1
，故有：
1jia
3
例如：在旅游决策问题中：
12 a
1
=
2
C
（景色）
1
C
（费用）
2
表示：
C
（
景色）对目标
1
C
（费用）对目标
2
O
1
的重要性为
O
2
的重要性为
故：
12 a
1
1
(2
即景色重要性为
，费用重要性为
2
）
a
13
4
4
1
=
C
（景色）
1
C
（居住条件）
3
表示：
即：景色为 4，居住为 1。
(
C
景色）对目标
1
C
（居住条件）对目标
3
O
的重要性为
4
O
1
的重要性为
的重要性为
7
O
1
的重要性为
a
23
7
7
1
=
O
表示：
C
（费用）
2
C
（居住条件）
3
(
C
费用）对目标
2
C
（居住条件）对目标
3
即：费用重要性为 7，居住重要性为 1。
33
55
1
2
11
11
1
4
2
7
1
1
17
1
2
5
1
3
5
1
2
1
1
1
4
3
3
A
3
1
因此有成对比较矩阵：
？？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：
1 即存在有各元素的不一致性，例如：
既然：
a
12
C
1
C
2
a
21
1
2
;2
a
13
所以应该有：
a
23
C
C
2
3
a
a
21
31
C
2
C
3
C
1
C
1
而不应为矩阵 A 中的
23 a
7
1
a
31
4
1
1
a
13
1
4
8
8
1
C
1
C
3
2
1
4
②成对比较矩阵比较的次数要求太
，因： n 个元素比较次数为：
2
Cn
)1
(
nn
!2
次，
因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素
,1 对上层因素 O 的
C
,
nC
权重？
对此 Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素
,1 对因素（上层
C
,
nC
因素）O 的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。
为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性
4
四：一致性矩阵
Def：设有正互反成对比较矩阵：
A
a
11
a
21
W
1
W
1
W
2
W
1
1
a
12
a
22
2
W
1
W
W
W
2
2
, 1
,
a
1
n
, 1
,
a
2
n
W
1
W
n
W
W
2
n
a
ij
W
i
W
j
a
1
n
W
n
W
1
a
n
2
W
W
n
2
a
nn
W
W
n
n
1
(4)
除满足：（i）正互反性：即
a
ij
0
a
ij
( 1
a
或
a
ji
a
ji
ij
)1
而且还满足：（ii）一致性：即
a
ij
a
a
i
j
ka
i
a
kj
ha
i
ha
j
j i,
1,
2,
n
则称满足上述条件的正互反对称矩阵 A 为一致性矩阵，简称一致阵。
一致性矩阵（一致阵）性质：
性质 1： A 的秩 Rank(A)=1
A 的唯一非 0 的特征根为 n
性质 2： A 的任一列（行）向量都是对应特征根 n 的特征向量：
即有(特征向量、特征值)：
A
n
2
2
W
1
W
W
W
W
W
1
1
W
W
1
W
W
2
W
W
1
n
W
W
n
n
W
W
1
W
W
2
2
2
n
n
，则向量
W
2
W
1
W
W
3
5
满足：
WA
W
1
W
1
W
n
W
1
2
W
W
1
1
W
W
W
W
W
W
n
n
n
2
n
2
W
1
W
W
n
nW
1
nW
2
nW
n
Wn
即：
(
A
WnI
)
0
启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即 n个元素 W1, W2,W3 , …Wn 构成的向量
是一致矩阵 A 的特征向量，则可以把向量 W 归一化后的向量，看成是诸元素 W1, W2,W3 , …Wn
目标的权向量，因此，可以用求 A的特征根和特征向量的办法，求出元素 W1, W2,W3 , …Wn相对于
目标 O 的劝向量。
W
1
W
2
nW
W
解释：
一致矩阵即： n 件物体
MM
,
1
,
，它们重量分别为
nM
,
2
WW
,
1
,
，将他们两两比较
nW
,
2
重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量
W
W
1
W
2
nW
右乘 A ，则
为特征根的特征向量为
：重量向量
，＝
则归一化后的特征向量
W
W
1
W
2
nW
：
,
n
n
A
的特征根为
以
权向量，此种用特征向
W＝
W
1
W
1W
＝
，就表示诸因素
C
i
，C，，C
1
2
对上层因素O的权重，
为即
n
量
称特征根法，
求权向量的方法
6
分析：
若重量向量
W
2
W
1
W
nW
未知时，则可由决策者对物体
MM
,
1
,
之间两两相比关系，
nM
,
2
主观作出比值的判断，或用 Delphi（调查法）来确定这些比值，使 A 矩阵（不一定有一致性）
为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A ，并且此 A （不一致）在不一致
的容许范围内，再依据： A 的特征根或和特征向量W 连续地依赖于矩阵的元素 ija ，即当 ija 离
一致性的要求不太远时， A 的特征根i 和特征值（向量）W 与一致矩阵 A 的特征根和特征向
量W 也相差不大的道理：由特征向量W 求权向量W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致
性检查的方法。
问题：Remark
以上讨论的用求特征根来求权向量W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题：
1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 n （即必要条件），但用特征根来求特征向量
时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互
反矩阵 A 的最大特征根
nmax
时， A 是否为一致阵？
2． 用主观判断矩阵 A 的特征根和特征向量W 连续逼近一致阵 A 的特征根和特征向量W
时，即： 由
得到：
即：
lim
k
k
k
lim
k
lim
k
WW k
Ak
A
是否在理论上有依据。
3．一般情况下，主观判断矩阵 A 在逼近于一致阵 A 的过程中，用与 A 接近的 *A 来代替 A ，
即有
A *
A
，这种近似的替代一致性矩阵 A 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致
性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，
主观判断矩阵是可以接受的，否则，要
两两比较构造主观判断矩阵。此问题即一致性检
验问题的内容。
以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理 1、定理 2）。第
7
3 个问题：Satty 给出一致性指标（TH1,TH2 介绍如下：）
附：
Th1：（教材 P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵 A （ A 的所有元素为正数）
（1） A 的最大特征根是正单根；
（2）对应正特征向量W （W 的所有分量为正数）
lim
k
（3）
k
eA
T
k
eAe
1
1
1
证明：（3）可以通过将 A 化为标准形证明
其中：
W
e
为半径向量，W 是对应的归一化特征向量
Th2： n 阶正互反阵 A 的最大特征根
n ；
当
n 时， A 是一致阵
五、一致性检验——一致性指标：
1．一致性检验指标的定义和确定—— IC （平均值）的定义：
当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵 A ，一般不可直接
保证正互反矩阵 A 就是一致正互反矩阵 A ，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必
然导致特征值和特征向量之间的误差
(
－及
WW)
。此时就导致问题
WA ＝
Wmax
与问
题
AW
nW
之间的差别。（上述问题中 max 是主观判断矩阵 A 的特征值，W 是带有偏差的相
对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。
因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵 A 的一致性。
因为：
①当主观判断矩阵 A 为一致阵 A 时就有：
n
＝
k
k
1
n
n
1
k
n
k
1
a
kk
n
k
1
1
n
A 为一致阵时有：
1iia
（a[ii]为对角线
上的值，按照一致性矩阵的理解，它应该为 1）
此时存在唯一的非
max
n
8
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