2009年江苏南京财经大学数学分析考研真题.doc

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2009 年江苏南京财经大学数学分析考研真题一、计算题（共 6 题，每题 10 分，共计 60 分）（1）求不定积分  1(  2 x x 2009 ) dx 。（2）求全微分 2( x cos y  y 2 cos x ) dx  2( y sin x  x 2 sin y ) dy 的原函数 ,( yxu ) 。（3）求极限 lim 0 x  ) cos(sin x sin( x cos  4 ) x 。（4）设二元函数 z  ,( yxz ) 由 2 x  y 2 2  z  ( 2 zfxy ) 所确定，其中 f 为可微函数，求 zx  x   zy  y  。（5）求曲线积分  L ydx  zdy  xdz ，其中 L 是球面 2 x  2 y  2 z  2 a 与 x 0 y z 的交线，从 x 轴的正方向看去，此交线的方向是逆时针方向。（6）将函数 )( xf  2 x (   x )  1 展开成傅里叶级数，并且求级数 4 n n 1 的和。二、（共 1 题，共计 10 分）设 x 1  ,1 x n  1  1 2 ( x n  ,)5 x n n  ,2,1 。证明：数列 nx 收敛并且求其极限。三、（共 1 题，共计 10 分）设函数 )(xf 在 ,0[ b 上连续且在 ] ,0( b 内可导， ) f )0( )( bf 0 。证明存在  ,0( b ) ，使得 f  )( )(   f  0 。

四、（共 1 题，共计 10 分）证明曲面 2 z  ( x 2  y 2 ) yf ( x ) 的所有切平面都经过某个定点，其中 f 为可微函数。五、（共 1 题，共计 10 分）证明 )( xf x 在 ,0[  上一致连续。 ) 六、（共 1 题，共计 10 分）设 1n na 收敛，且 lim n  na n  0 ，证明：   n 1  ( an n  a 1)   n   n 1  a n 。七、（共 1 题，共计 10 分）设在 ,[ a  ) dc  , 内成立不等式 ,( yxf )  ,( yxF ) 。若 a  dxyxF ,( ) 在  , dc y 上一致收敛，证明 a  ,( dxyxf ) 在  , dc y 上一致收敛和绝对收敛。八、（共 1 题，共计 10 分）设一元函数 )(uf 在 1,1 上连续，证明： ( xf  y ) dx dy  1 1   )( uf du 。  y  x 1  九、（共 1 题，共计 12 分）设函数 )(xf 在 1,1 上连续可导且 f )0(  0 。（1）求证   1 n  (1 xf n n 在 1,1 上一致收敛； ) （2）设 )( xS    1 n  (1 xf n n ，求证 )(xS 在 1,1 上连续可导。 )

十、（共 1 题，共计 8 分）设 )(xf 在闭区间 ]1,0[ 上连续，且  )( xf 0 max 1 0 x  1 )( xf dx  0 ，  1 0 xf )( x dx  1 。求证：  4 。

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