数学建模入门——双层玻璃窗的功效 双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度 为 d 的玻璃夹着一层厚度为l 的空气，如左图所示，据说这样做是为 了保暖，即减少室内向室外的热量流失。 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失） 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图， 玻璃厚度为 d2 ）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少 热量损失给出定量分析结果。 一、模型假设 1、 热量的传播过程只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性 能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的； 2、 室内温度 1T 和室外温度 2T 保持不变，热传导过程已处于稳定 状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数； 3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。 1 

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 二、符号说明 1T ——室内温度 2T ——室外温度 d ——单层玻璃厚度 l ——两层玻璃之间的空气厚度 aT ——内层玻璃的外侧温度 bT ——外层玻璃的内侧温度 k ——热传导系数 Q ——热量损失 三、模型建立与求解 由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规 律： 厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为 T ，则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q ，与 T 成正比，与 d 成反比，即 TkQ  d 其中 k 为热传导系数。  （1） 1、双层玻璃的热量流失 记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 aT ，外层玻璃的内侧温度为 bT ， 玻璃的热传导系数为 1k ，空气的热传导系数为 2k ，由（1）式单位时 间单位面积的热量传导（热量流失）为： kQ  1 T 1 T a  d T a  k 2 由 kQ  1 T 1 T a d 及 kQ  1 T b T b  d T  2 d T b  k 1 T 2  d （2） 可得 T a  T b  ( T 1  T 2 2)  Qd k 1 再代入 kQ  2 T b T a  d 就将（2）中 aT 、 bT 消去，变形可得： 2 

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 ( TkQ 1 1  sd  T  2  2  ) , s  kh k 1 2 , h  l d （3） 2、单层玻璃的热量流失 对于厚度为 d2 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： TkQ  1 1 T 2  2 d 3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较（3）（4）有：  Q  Q 2  s 2 （4） （5）  。 显然， QQ 1,kk 的数据，从有关资料可 为了获得更具体的结果，我们需要 2 （焦耳/厘米.秒.度）， 5.2  （焦耳/厘米.秒.度），于是 3  k 2 10  知，不流通、干燥空气的热传导系数 k 1 4 8~ 10  4  3 10 常用玻璃的热传导系数 k k 1  2 32~16 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们 作最保守的估计，即取 16 ，由（3）（5）可得： 1  2 k k Q  Q  1 h  8 1 h  l d （6） 4、模型讨论 比值 QQ 反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与 ~ 的曲线，当 h 由 0 增加时， QQ  迅 h  有关，下图给出了 dl 速下降，而当 h 超过一定值（比如 4h ）后 QQ  下降缓慢，可见 h 不 宜选得过大。 hQQ 3 

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 四、模型的应用 这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂 会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建 h  dl 4 %3QQ 。按照这个模型， ，即双层玻璃窗比 筑规范要求 用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右。不难发现， 之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 2k ，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这个条件在 实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会 比上述结果差一些。 4