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2010湖南永州陶铸中学数学教师招聘考试试题及答案.doc
一、选择题（每小题3分，计30分）
三、解答题（本大题有5小题，计43分）
2010 湖南永州陶铸中学数学教师招聘考试试题及答案
一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共 10 题，
每题 3 分，计 30 分）
1、三峡工程在宜昌。三峡电站 2009 年发电 798.5 亿千瓦时，数据 798.5 亿用科学计数法表
示为（
）
A．798.5×100 亿
B．79.85×101 亿
C．7.985×102 亿
D．0.7985×103 亿
2、i 是虚数单位，复数
1 3
i
1 2
i
（ ）
A.1＋i
C.-5-5i
B.5＋5i
D.-1－i
3、函数 f(x)= 2
3x
x 的零点所在的一个区间是（ ）
A.（-2，-1）
B.（-1,0）
C.（0,1）
D.（1,2）
4、甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人 10 次射箭成绩的平均数均是 8 .9 环，方差分
别是 2
s
甲
0.55,
s
2
乙
0.65,
s
2
丙
0.50,
s
2
丁
0.45,
则成绩最稳定的是（ ）
A.甲
C.丙
B.乙
D.丁
5、下列四个事件中，是随机事件（不确定事件）的为 (
)
A.颖颖上学经过十字路口时遇到绿灯
B.不透明袋中放了大小相同的一个乒乓球、二个玻璃球，从中去摸取出乒乓球
C.你这时正在解答本试卷的第 12 题
D.明天我县最高气温为 60℃
6、如图，菱形 ABCD 中，AB=15,
ADC
120
°，则 B、
D 两点之间的距离为（ ）
A.
15
C.
7.5
B.
15 3
2
D.15 3
（第 7 题）
7、如图，在方格纸上△DEF 是由△ABC 绕定点 P 顺时针旋 转得到的。如果用（2,1）表示方
格纸上 A 点的位置，（1,2）表示 B 点的位置，那么点 P 的位置为（
）
A. (5,2)
D. (1,2)
B. (2,5)
C. (2,1)
8、如图,在圆心角为 90°的扇形 MNK 中，动点 P 从点 M 出发，沿 MN ⌒
NK KM 运动，最后
回到点 M 的位置。设点 P 运动的路程为 x，P 与 M 两点之间的距离为 y，其图象可能是（ ）。
A.
B.
C.
D.
9、在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 2
a
2
b
3
bc
，sin
C
2 3 sin
B
，
则 A=（
）
A.
03 0
B.
060
C.
0
120
D.
0
150
10、如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个
点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方
法用（
）
A.288 种
C.240 种
B.264 种
D.168 种
二、填空题（本大题共 4 题，每题 3 分，计 12 分）
11、甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如
下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表
示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均
数分别为
和
12、下列各数 )9(85 、
210 、
)6(
1000 、
)4(
111111 中最小的数是____________
)2(
13、如下图，PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，且不过圆
心 O ， 已 知
BPA
30 ,
PA
2 3,
PC
1
， 则 圆 O 的 半 径
r
_______.
P
O
B
C
A
13
14、已知数列 }
{ na 的前 n 项和为
S
n
2
n
1
2
n
，则这个数列的通项公式为____________.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 43 分）
15、如图，华庆号船位于航海图上平面直角坐标系中的点 A（10,2）处时，点 C、海岛 B 的
位置在 y 轴上，且
CBA
30 ,
CAB
60
。
（1）求这时船 A 与海岛 B 之间的距离；
（2）若海岛 B 周围 16 海里内有海礁，华庆号船继续
沿 AC 向 C 航行有无触礁危险？请说明理由（本题 7 分）
16、某市有 A,B,C,D 四个区。A 区 2003 年销售了商品
房 2 千套，从 2003 年到 2007 年销售套数（y）逐年（x）
（第 15 题）
呈直线上升，A 区销售套数 2009 年与 2006 年相等，2007 年与 2008 年相等（如图①所示）；
2009 年四个区的销售情况如图②所示，且 D 区销售了 2 千套。
（1）求图②中 D 区所对扇形的圆心角的度数及 2009 年 A 区的销售套数；
（2）求 2008 年 A 区的销售套数（本题 8 分）
（第 16 题）
17、给定双曲线
2
x
2
y
2
1
，过点 A（2，1）的直线l 与所给双曲线交于两点 1P 、 2P ，如果
A 点是弦 2
1PP 的中点，求l 的方程。（本题 8 分）
18、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1 的直
径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，
AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角 B—AD—F的大小；
(Ⅱ)求直线 BD与 EF所成的角.（本题 10 分）
19、已知函数 ( )
f x
（Ⅰ）求函数 ( )
x
xc
(
x R
)
f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数
的图象与函数
y
( )
f x
的图象关于直线 1x 对称，证明当 1x
；
( )
g x
y
( )
g x
(
x ，且 1
f x
2
时， ( )
f x
x
（Ⅲ）如果 1
)
(
f x
2
)
x
，证明 1
x
2
（本题 10 分）@m
2
参考答案
一、选择题（每小题3分，计30分）
题号 1
答案 C
2
A
3
B
4
D
5
A
6
A
7
A
8
B
9
A
10
B
二、填空题（本大题有 4 小题，每题 3 分，计 12 分）
11、 24; 33
12、
111111
)2(
13、 7
14、
an
n
2
1
2
;
三、解答题（本大题有5小题，计43分）
15 ．解：
（1）证明：∵∠CBA＝30°, ∠CAB＝60°， ACB
90°．··················· 1 分
在 Rt△ACB中, ∵ cos60
AC
AB
20 AB
,
．······················· 4 分
（2）在 Rt△ACB 中，tan60°=
BC ，
AC
BC
10 3
,································ 6 分
BC
300
256 16
（或 BC≈17＞16）．··································· 7 分
答：无触礁危险.
16．解：
（1）D 区所对扇形的圆心角度数为： (1 50% 20% 10%) 360
72
．·········2 分
2009 年四个区的总销售套数为
2
10%20
（千套）.··························3 分
∴2009 年 A 区的销售套数为
10
5%50
（千套）．····························4 分
（2）∵从 2003 年到 2007 年 A 区商品房的销售套数（y）逐年（x）成直线上升
∴可设
y
(
xk
2)
．（或设
y
ax
b
）······························ 5 分
当 2006
x
时，有
2003
5y
2003
6y
k
5
(
2006
2)
．
1k ．
x
y
2001
.························· 6 分
当 2007
x
时，
．（只写出 y=6 评 1 分）··································7 分
∵2007、2008 年销售量一样,
∴2008 年销售量套数为 6 千套．···················································· 8 分
17、解：
18、解 (Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角 B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角 B—AD—F的大小为 450.
(Ⅱ)以 O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，
建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），
A
（0，
23
，0），B（ 23 ，0，0）,D（0，
23
，
8），E（0，0，8），F（0， 23 ，0）
所以，
BD
),8,23,23(
FE
)8,23,0(
cos
BD
,
EF
BD
BD
||
FE
FE
|
|
18
0
100
64
82
82
10
.
设异面直线 BD 与 EF 所成角为，
则
cos
|
cos
BD
,
EF
|
82
10
直线 BD与 EF所成的角为
arccos
82
10
19、（Ⅰ）解：f’ ( )
x
(1
x
)
x e
令 f’(x)=0,解得 x=1
当 x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
X
f’(x)
(
,1 )
+
1
0
(1, )
-
f(x)
极大值
所以 f(x)在(
,1 )内是增函数，在(1, )内是减函数。
函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=
1
e
（Ⅱ）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)
令 F(x)=f(x)-g(x),即
于是
'( )
F x
(
x
1)(
e
2
x
( )
F x
2
1)
x
xe
(
x
2)
e
x
2xe
2
当 x>1 时，2x-2>0,从而 2x-2e
∞)是增函数。
x
e
1 0,
又
xe
0,
所以 ’(x)>0,从而函数 F（x）在[1,+
F
又 F(1)= -1
e
e
-1
，所以x>1时，有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).
0
（Ⅲ)证明：（1）若
(
x
1
1)(
x
2
(
x
（2）若 1
1) 0,
1)(
x
2
由（ ）及f(x
1
)
x
f(x 则
1
2
1.
1) 0,
由（ ）及f(x
1
x
f(x 得
1
2
x
2
矛盾。
x
与
1
x
2
矛盾。
),
)
x
2
),
x
不妨设
1
1,
x
与
1
.
x
2
1.
x
2
)2
g(x
)2
=
f(2-x ， 所 以
)2
f(x >
f(2-x , 从 而
)2
1
，又由（Ⅰ）可知函数 f(x)在区间（-∞，1）
x
根据（1）（2）得 1
(
由 （ Ⅱ ） 可 知 ，
)2
f(2-x .因为 2
)1f(x >
内事增函数，所以 1x >
, 则
x
2
g(x
1)(
)2
f(x >
1
1) 0,
)2
2
x ，所以
2 x
2
x
,即 1
x
2
x
2
>2.
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