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2003年广东高考数学真题及答案.doc
2003 年广东高考数学真题及答案
一、选择题：每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．暂缺
2． 已知
x
7
24
A．
(
2
),0,
cos
x
4
5
B．－
,
则
tan
2
x
7
24
C．
24
7
3．圆锥曲线
的准线方程是
sin8
cos
2
cos
2
A．
D．－
24
7
（
）
（
）
B．
cos
2
C．
sin
2
D．
sin
2
4．等差数列 }{ na 中，已知
a
1
1
3
,
a
2
a
5
,4
na
33
，则 n为
（
）
A．48
B．49
C．50
D．51
5．双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为
（
）
A． 3
B．
6
2
C．
6
3
D．
3
3
5．设函数
)(
xf
x
2
,1
x
,0
1
2
,
x
x
0
若
1)
( 0 xf
，则 x0 的取值范围是
（
）
A．（－1，1）
B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞）
D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
7．函数
y
sin2
x
(sin
x
cos
x
)
的最大值为
（
）
A．
1
2
B．
12
C． 2
D．2
8．已知圆
axC
(:
2
)
(
x
2
)2
(4
a
)0
及直线
:
xl
3
y
.0
当直线
Cl
截得被
的弦长为 32 时，则
（
）
a=
A． 2
B．
2
2
C．
12
D．
12
9．已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（
）
A．
2
2 R
10．函数
)(
xf
sin
A．
arcsin
,
xx
2
B．
9 R
4
3,
]
[
的反函数
2
2
]1,1[
C．
8 R
3
1 x
)(
f
2
D．
2
3 r
2
（
）
B．
arcsin
,
xx
]1,1[
,
xx
C．
arcsin
,
xx
]1,1[
D．
arcsin
,
xx
]1,1[
11．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹
角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2，P3 和 P4（入射角等于反射角）. 设
P4 的坐标为（x4，0），若
1
x
4
2
，
则 tan 的取值范围是
1
3
A．（
，1）
B．
1(
3
2,
3
）
C．
2(
5
1,
2
)
D．
2(
5
2,
3
)
（
）
12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （
）
A．3π
B．4π
C． 33
D．6π
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上
13．不等式
4
x
2
x
x
的解集是
14．
( 2
x
12
x
9)
展开式中 9x 的系数是
15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可
以得出的正确结论是：“设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂
直，则
16．如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有
种.（以数字作答）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分 12 分）
已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1 中点，点 F 为 BD1 中点.
（1）证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线；
（2）求点 D1 到面 BDE 的距离.
18．（本小题满分 12 分）
已知复数 z 的辐角为 60°，且
| z
|1
是 |
| z 和
| z
|2
的等比中项. 求 |
| z .
19．（本小题满分 12 分）已知 c>0，设 P：函数
y 在 R 上单调递减 Q：不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R.如
xc
果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围
20．（本小题满分 12 分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）
的东偏南
(
arccos
2
10
)
方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北
45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度
不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分 14 分）
已知常数
,0a
在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=4 a ，O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动，
且
BE
BC
CF
CD
DG
DA
，P 为 GE 与 OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？
若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分 14 分）
设 na 为常数，且
a
n
n
1
3
（1）证明对任意
n
,1
a
n
（2）假设对任意 1n 有
a
n
a
n
2
1
5
a
n
3[
(
Nn
)
1
)1(
n
1
n
]2
)1(
n
n
2
a
；
n
n
，求 na 的取值范围.
1
一、选择题：
1.D
2.D 3.C
4.C
5.B
6.D 7.A
8.C
9.B
10.D
11.C
12.A
数学试题参考答案
二、填空题：
13．
]4,2(
14．
21
2
三、解答题：
15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD
（I）证明：取 BD 中点 M，连结 MC，FM，
1
2
∵F 为 BD1 中点， ∴FM∥D1D 且 FM=
D1D
又 EC=
CC1，且 EC⊥MC，
1
2
∴四边形 EFMC 是矩形 ∴EF⊥CC1
又 CM⊥面 DBD1 ∴EF⊥面 DBD1
∵BD1 面 DBD1，
∴EF⊥BD1 故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线.
（II）解：连结 ED1，有
V
E
DBD
1
V
D
1
DBE
由（I）知 EF⊥面 DBD1，设点 D1 到面 BDE 的
距离为 d，
则 S△DBC·d=S△DBD 1 ·EF.………………9 分
∵AA1=2·AB=1.
BD
BE
ED
,2
EF
2
2
S
DBD
1
1
2
22
,2
S
DBC
1
2
3
2
)2(
2
3
2
d
2
2
2
3
2
32
3
故点 D1 到平面 BDE 的距离为
32
3
.
18． 解：设
z
r
cos
60
r
sin
)60
，则复数
z的实部为
z
z
,
zzr
2
r
由题设
2
|
|
|1
z
2
r
整理得
|
z
|
2
r
|2
z
即
.01
(:
z
解得
:
)(1
z
r
)1
|
,12
z
r
(
|
z
2
)(2
z
r
(12
|
即舍去
1
.12
r
|
z
rr
2
2
r
,4
19．
20．解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.
.
r
2
,)2
).
在时刻：（1）台风中心 P（
x, ）的坐标为
y
x
300
y
300
2
10
27
10
20
2
2
t
,
20
2
2
t
.
此时台风侵袭的区域是
(
x
2
x
)
(
y
y
)
([
tr
)]
2
,
其中
)(
tr
10
t
,60
若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有
0(
2
x
)
0(
2
y
)
10(
t
2
.)60
即
300(
2
10
2
t
)
(
300
27
10
20
2
2
2
t
)
20
2
2
t
24
10(
t
2
,)60
即
t
2
36
t
288
,0
解得
12
答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和
为定值.
按题意有 A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
BE
BC
CF
CD
由此有 E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线 OF 的方程为：
直线 GE 的方程为：
2(
ka
)1
x
y
2
a
0
②
从①，②消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程
2
2
xa
2
2
y
2
ay
0
DC
DA
2
ax
0(
k
)1
2(
k
)1
y
0
①
整理得
当
2 a
当
2 a
2
x
1
2
1
2
1
2
2
)
(
ay
2
a
1
当
2 a
1
2
时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长
时，点 P 到椭圆两个焦点（
1
2
2
a
,
a
1(),
2
2
a
),
a
的距离之和为定值 2
当
2 a
1
2
时，点 P 到椭圆两个焦点（0，
a
2
a
1
2
,0(),
a
2
a
1
2
)
的距离之和为定值 2 a .
22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的
能力，满分 14 分.
（1）证法一：（i）当 n=1 时，由已知 a1=1－2a0，等式成立；
（ii）假设当 n=k（k≥1）等式成立，则
a
k
3[
k
)1(
k
1
k
]2
,2)1(
0
a
k
那么
a
k
1
k
3
2
a
k
k
3
2
5
3[
1
5
k
3[
)1(
k
1
2)1(
k
k
1
a
0
k
1
2)1(
k
k
1
]
)1(
k
1
2
1
ak
.
0
1
5
k
]2
也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何 n∈N，成立.
证法二：如果设
a
n
n
1
3
(2
a
n
1
a
3
n
1
),
用
a
n
3
n
1
2
a
n
1
代入，可解出
1a
5
.
所以
na
3n
5
是公比为－2，首项为
1 a 的等比数列.
3
5
a
n
3
n
5
21(
a
0
3
5
)2)(
n
1
(
Nn
).
即
a
n
n
3
（2）解法一：由 na 通项公式
a
n
a
n
1
32
n
a
n
a
(1
n
Nn
)
等价于
)1(
n
1
5(
a
0
)1
3(
2
1
n
n
n
1
1
2
)1(
5
)1(
5
Nn
(
2
n
)
2)1(
n
n
a
0
.
23
n
1
23)1(
n
n
1
a
0
.
).
……①
（i）当 n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为
2
k
2
)1(
5(
a
0
)1
2
k
3
3(
2
)
即为
a
0
1
5
3(
2
)
2
k
3
1
5
.
……②
②式对 k=1，2，…都成立，有
a
0
1
5
3(
2
1
)
1
5
1
3
.
（ii）当 n=2k，k=1，2，…时，①式即为
2
k
1
)1(
5(
a
0
)1
3(
2
)
2
k
2
.
即为
……③
③式对 k=1，2，…都成立，有
k
2
1
5
.
1
5
212
)
3(
2
a
0
1
5
a
0
故 a0 的取值范围为
2
)
3(
2
1
5
1,0(
3
综上，①式对任意 n∈N*，成立，有
.0
).
0
0a
1
3
.
解法二：如果
a
n
a
n
1
（n∈N*）成立，特别取 n=1，2 有
a
1
a
2
a
1
6 0
a
.0
因此
0
a
0
a
n
a
1
n
.0
由 an 的通项公式
(5
a
n
1
3
.
下面证明当
0
a
a
n
1
)
32
n
1
)1(
n
1
a
0
0
1
3
n
23
31
a
.0
0
.
时，对任意 n∈N*，
1
235)1(
n
n
1
a
0
.
（i）当 n=2k－1，k=1，2…时，
(5
a
n
a
n
1
)
32
n
1
23
n
1
235
n
1
a
0
22
n
1
23
n
1
235
n
1
0
（ii）当 n=2k，k=1，2…时，
(5
a
n
a
n
1
)
32
n
1
23
n
1
235
n
1
a
0
32
n
1
23
n
1
.0
故 a0 的取值范围为
1,0(
3
).
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