2015年广西民族大学高等代数考研真题A卷.doc

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2015 年广西民族大学高等代数考研真题 A 卷考生须知 1．答案必须写在答题纸上，写在试题上无效。 2．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔作答，用其它笔答题不给分。 3．交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭证）。否则，产生的一切后果由考生自负。一、（本题 20 分）解方程 1 x  1 0 0 x 10 16  2 5 10 0  5 x 3 40 0 4  x 4  0. 二、（本题 20 分）已知矩阵 A 1   1    1  1 1 1  1    1   1  矩阵 X 满足  A X  A 1 2  X ，其中 A 是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X ．三、（本题 20 分）已知 3 维线性空间V 有两组基：

(I){ ,    1 3 , }; 2 (II){ , 2 , 3 }      3 1  2 （1）求 (I) 到 (II) 的过渡矩阵；（2）若向量在基 (I) 下的坐标为(1,2,3)T ，求在基 (II) 下的坐标；（3）定义线性变换 A 为： 1 (II) 的矩阵． A (    2 A  ) ( , 1 )  2 ,  2 A (  3 )  3   1  3 ，求 A 关于 (I) 、四、（本题 20 分）求一个正交变换化下列二次型为标准形： ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 x 1  2 2 x 2  3 2 x 3  4 x x 1 2  4 x x 2 3 五、（本题 20 分）已知线性空间 2(K) M 的线性变换  ( X )  T B X X B  T ，   X M 2(K), 其中 B     1 1 0 1    ，线性子空间 W          x 11 x 21 x 12 x 22    x 11  x 22  0, Kij x       （1）求W 的一个基；（2）证明W 是  的不变子空间；（3）将  看成W 上的线性变换，求W 在(1)的基下的矩阵．

六、（本题 15 分）设 ,k n N  ， ( ) f x  ( x  1) k n   2 ( x x  1) 1 k n      (2 ) ( k x x n  1) ，证明： k 1  x | ( x  1) ( ) f x  ( x  1) 1 k n   ．七、（本题 15 分）设V 为闭区间[ , ]a b 上全体实函数构成的实向量空间， 1, f 使得行列式det( f 线性无关的充要条件是存在 1, a , n [ , ] a b a  n 1, f , , f V ))  n ( f a i j , 则 0. 八、（本题 20 分）设 I 是 n 阶单位矩阵，证明：对任何正整数 m ，总存在 n 阶实方阵 X 满足方程 2 m 1  X m  X   I 1 0   1 2     1 2  0    0 n .         

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