习题 6.1 2 2 1. 确定下列函数的定义域并且画出定义域的的图形: 0, (1) z (2) z (3) z ( x ( x ln(    1. 0, ); 2       1/ 2 y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 x x   y  y  y x  x a 2  2 x 2 ) ln(4 x   1 2 2 ; ) .  x y  2 ln(1 ) ); y y   y b ); x y x  2 . xy x  ln( )  arccos  2 y y  0,   a ( 2 2 arcsin  1 x arcsin( (4) z  (5) (6) z z   b  0);| x |  ,| a y |  . b  y 2 y 2   1, , 1 y x   0. xy  0. 2 x  2 y  4. 1(1) 1(2) 1(3) 1(4) 1(5) 1(6) 指出下列集合中哪些集合在中是开集,哪些是区域?哪些是有界区域?哪些 开集,区域. 开集,区域,有界区域. 有界闭区域. 0}. 区域,边界点集合 2 2. 是有界闭区域? 0}; {( , ) | (1) 0, x y E x y    1 | 1,| 1| 2}; ) || {( , (2) y E x x y     2 2 }; {( , (3) ) | , y x x y x y E    3 1 x   sin ) | x ， 0} {(0, {( , x y x 且 (4) sin E  {( ) | E     y x y ) | 4 4 1 x 1    y 1}. 2(1) 2(2) 

2(3) 2(4) n ( U P 0 r ) ( U Q U P U Q E  ) 不含 的点 从而不含 的点.  (  ), , 0 E  , E ) 含 的点 于是 . 的点, 不是 的的边界点这表明 的 ) 同时也视作一个向量 并定义两个向量 n , ).  n n r r r E 2 , E 0, P 0 n y n ( n ), n , x 1 R .    y 1  , x     ( ,   P 0 R设 3. , E E E  为 的边界点集合 试证明 , E P   则 证 设 0 ( Q U P  否则,存在 0 E P 且 0 ) , E Q   ) 含 的点,矛盾.因此, . . 于是存在 E ) E 不含 E  作为 的边界点,存在 E    是一个闭集. r E ( r E E E E E     使得 ) 及 , y 1 R , ,  ) y ( U P 0 E是闭集合. , x  ) 的加法运算 ( U P 0 边界点全属于 .故 R 4. , ( 像在 中一样 我们把 中的点 ( , , x x      1 n ( , x x       1 及数乘运算 x    1 此外= 我们也可以定义两个向量之内积 x y   1 1    =| |作为向量的模.试证明 R n (1) | | | , ;         | |, | | (2) | |              ( , ( , (3) ) , Q y P x x P y   将点 及 1 1 n (2) |. | ) ( . , , d P Q     由此 可由 中之不等式导出三角不等式    0. 考虑二次函数 证(1) = 0 时结论显然成立 设 . R 2 0, | . | | | |              2 2 |. | 0,| || | | | |            其判别式| 2 | ( | | | 2 2 | 2) | | |               |. | |       ( |. ) |                   (3) ( , , d P Q d Q R P R    | |  ) | | | ( | (    , , ( , d P R Q    | |   | |          分别看成向量 及 则有 到Q的距离     ) | | | |   | |   |  ,   ,并规定  2 | | 2 | x y n R n ; 2 |) ,  | |  (| |  | )  , ) ( ,  2 |  || |, 2 2 | 2 2 |  2 2 | , n ||   ) ,