离散异构多自主体系统时变编队-合围控制.pdf

发布时间：2022-05-30 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.17M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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第 34 卷第 8 期 2019 年 8月控制与决策 and Decision Control Vol.34 No.8 Aug. 2019 文章编号: 1001-0920(2019)08-1803-06 DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0097 离散异构多自主体系统时变编队-合围控制韩娜妮1y, 罗小元2, 朱亚锟3 (1. 陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳 745000；2. 燕山大学电气工程学院，河北秦皇岛 066004； 3. 东北大学秦皇岛分校控制工程学院，河北秦皇岛 066004) 文献标志码: A control of formation-containment 摘要: 针对高阶离散异构多自主体系统的时变编队-合围控制问题, 考虑时变时延, 提出分布式编队-合围控制协议. 首先, 在合理假设的基础上, 通过模型转变和状态空间分解, 将编队-合围控制问题转化为子系统的稳定性问题, 再利用Lyapunov-Krasovskii 函数, 以LMIs 的形式给出协议有效的充分条件, 并指出LMIs 的个数与系统中自主体的个数无关; 然后, 给出编队参考函数的具体形式, 证明指出编队参考函数不受时变时延的影响; 最后, 通过固定和时变编队-合围仿真验证所设计的协议的有效性. 关键词: 编队-合围；异构多自主体系统；离散系统；时变时延中图分类号: TP273 Time-varying heterogeneous multi-agent systems HAN Na-ni1y, LUO Xiao-yuan2, ZHU Ya-kun3 (1. College of Electrical Engineering，Longdong University，Qingyang 745000，China；2. School of Electrical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China；3. School of Control Engineering，Northeastern University at Qinhuangdao，Qinhuangdao 066004，China) Abstract: To investigate the formation-containment problem of discrete-time heterogeneous multi-agent systems, the formation-containment protocols with time-varying delay are presented. Firstly, based on reasonable hypothesises, by model transformation and state space decomposition, the problem of formation-containment is transformed into stability problem of subsystems. By using the Lyapunov-Krasovskii function, the suﬃcient conditions that guarantee the eﬀectiveness of the proposed protocols are presented in the form of LMIs, and it is pointed out that the number of LMIs is independent of that of agents. Then, the formation reference function is also described in detail, and the proof illustrates that the formation reference function is not aﬀected by time-varying delay. Finally, the simulation results demonstrate the eﬀectiveness of the designed protocols. Keywords: formation-containment；heterogeneous multi-agent system；discrete-time system；time-varying delay discrete-time 0 引近年来, 由于多自主体系统在多领域的广泛应用, 受到了众多学者的关注. 截止目前, 关于多自主体系统的一致性问题已涌现出大量的研究成果[1-3]. 当多自主体网络中有一个leader 时, 一致性问题也称为跟踪问题或 leader-following 一致性问题[1-2]. 若系统中的每个自主体具有不同的数学模型,则称此系统为异构多自主体系统[3]. 当多自主体网络中有多个leader 时, 系统一致性问题变为合围控制问题, 其目标是使follower 状态趋于leader自主体形成的凸集. 文献[4-5]分别是同构和异构多自主体系统的合围控制成果. 在合围控制中都是假设leader 之间没有通信, 但在实际应用中, leader 也要求形成一定的编队, 同时 follower 趋于leader 形成的区域中, 即编队-合围控制, 其在军事和民用领域中有着广阔的应用前景. 文献 [6-7] 分别是一阶、二阶多自主体组成的无向多自主体网络的编队-合围控制成果. 对于二阶离散多自主体系统, Zheng 等[8] 采用位置信息设计了两种不同的编队-合围控制协议; Dong 等[9-10] 分别研究了存在时延的高阶多自主体系统的状态和输出编队-合围控制, 并以LMIs 的形式给出了系统实现控制目标的充收稿日期: 2018-01-18；修回日期: 2018-06-16. 基金项目: 国家自然科学基金项目(61375105, 61703079). 责任编委: 左志强. y 通讯作者. E-mail: hannani@yeah.net.

1804 分条件. 本文针对异构离散多自主体系统, 考虑时变时延, 设计多自主体系统的时变编队-合围控制协议. 利用图论和Lyapunov-Krasovskii 理论, 给出系统实现时变编队-合围控制的充分条件. 本文的创新点在于系统是离散异构高阶多自主体系统. 1 图论和问题描述 1.1 图论[11] 多自主体系统的网络拓扑用图 G = fV; E; Ag 表示. 其中: V 是顶点集; E = feijg; A = [aij]NN 是邻接矩阵, 若 eij 2 E, 则 aji > 0, 否则 aji = 0, 并且 n∑ 对于所有的 i, 有 aii = 0. 矩阵 L = [lij]NN, lii = aij 且 i ̸= j 时, lij = aij. Ni 表示节点 i 的邻 j=1;j̸=i 接集. 若图 G 中至少有一节点, 从此节点到其他节点之间都存在一条有向路径,则称此图含有生成树. 1.2 问题描述考虑由 N 个自主体组成的系统, 其中 M (M < N ) 个自主体为follower, 其余为leader. 自主体的模型描述为 xi(k + 1) = Aixi(k) + Biui(k): (1) 其中: xi(k), ui(k) 分别是自主体 i 在 k 时刻的状态和控制输入; Ai, Bi 是已知常数矩阵. 在本文中用 F = f1; 2; ; Mg 和 E = fM + 1; M + 2; ; Ng 分别表示 follower 和leader 自主体集合, hE(k) = [hT N (k)] 是 leader自主体的期望编队. M +2(k); ; hT M +1(k); hT 定义1 对于任意初始状态, 若存在 r(k) 和非负常数ci;j(i 2 F; j 2 E), ci;j = 1同时满足 N∑ xi(k) N∑ j=M +1 ( k!1(xi(k) hi(k) r(k)) = 0; lim lim k!1 = 0; ci;j ) j=M +1 (2) (3) 其中 r(k) 为编队参考函数, 则称多自主体系统(1) 实现了编队-合围控制. 2 问题转化根据自主体邻接集的特点, 矩阵 L 可分解为 L = [L1; L2; 0; L3], 其中 L1, L2 和 L3 分别表示 follower、 follower 和leader、leader 之间的邻接信息. 用 GE 表示 leader自主体的网络拓扑图. 假设 1 对于每个 follower 自主体, 至少存在一个leader与其之间存在一条有向路径. 控制与决策第34卷假设2 图 GE 中含有生成树. 引理1 若图 G 满足假设1, 则 L1 的特征值均具 1 1 L2 每行的元素和为1, 并且每一有正实部, 矩阵L 元素值非负[12]. 引理2 若图 GE 满足假设 2, 则矩阵 L3 有一个特征值为0,且其余特征值均具有正实部[13]. 用 i(i 2 E) 表示 L3 的第 i 个特征值, 其中 M +1 = 0; 0 < Re(M +2) ⩽ ⩽ Re(N ). 令 U 1 E L3UE M +1; ~UE], JE = diagf0; J Eg. = JE; U 1 E = [~uH 考虑时变时延,设计如下编队-合围控制协议: aij(xi(k k) ui(k) = K1ixi(k) + K2i ∑ j2Ni ∑ xj(k k)); i 2 F ; (4) aij(xi(k k) ui(k) = K1ixi(k) + K3i j2Ni xj(k k) (hi(k k) hj(k k))); i 2 E: (5) 其中: K1i; K2i; K3i 是常数矩阵; k 是时变时延, 且满足1 ⩽ k ⩽ 2, 1; 2 是已知常数. 假设3 存在矩阵K1i(i = 1; 2; ; N ); K2j(j 2 F ); K3l(l 2 E)使Ai + BiK1i = A + BK1; BjK2j = BK2; BlK3l = BK3, 其中 A; B; K1; K2; K3 为满足假设的任意矩阵. 将协议 (4) 和协议 (5) 应用于系统 (1), 在假设 3 成立时, 令 zi(k) = xi(k) hi(k)(i 2 E), ~zE(k) = E(k)]T, I 为单位阵,则有 I)zE(k) = [T E(k); T 1 E (U 如下等式: E(k + 1) = (A + BK1)E(k) + (~uH BK1))hE(k) (~uH M +1 M +1 I)hE(k + 1); (A+ E(k + 1) = (I (A + BK1))E(k) ( ~UE I)hE(k+ 1) + (J BK3)E(k k) + ( ~UE (A + BK1))hE(k): 引理3 若下式成立: 8><>: lim k!1 E(k) = 0; lim k!1 φF (k) = 0; (6) (7) (8) 则异构多自主体系统 (1) 在协议 (4) 和 (5) 的作用下实现了编队-合围控制. 其中: φi(k) = aij(xi(k ∑ j2Ni

韩娜妮等: 离散异构多自主体系统时变编队-合围控制 1805 第8期 k) xj(k k)); i 2 F: 证明令zEC(k) = (UE I)[E(k); 0],则zEC = zE zEC = (UE I)[0; E(k)]. 若 lim k!1 E(k) = 0,则 k!1(zE(k) zEC(k)) = 0. lim 令 φi(k) 如式(8) 所示, 则 φF (k) = (L1 I)xF (k k) + (L2 I)xE(k k). 其中: φF ! 0时, xF (k k) ((L 1 L2 I))xE(k k) = 0. 由引理1 和定 1 (5)的作用下实现了编队-合围控制.2 义 1 可知, 当式 (8) 成立时, 系统 (1) 在协议 (4) 和协议注1 通过模型变换和状态空间分解,系统(1)的编队-合围控制问题转换成为子系统的稳定性问题. 3 编队-合围分析令 = [Re();Im(); Im(); Re()], R = diagfR; Rg. i(i 2 F ) 表示 L1 的特征根, 定义 1;2 = minfRe(i)g jF ; 3;4 = maxfRe(i)g jF ; ~1;2 = Re(M +2) j~E; ~3;4 = Re(N ) j~E. 其中: F = maxfIm(i); i 2 Fg; ~E = maxfIm(i); i 2 Eg. 定理1 1) 存在如下等式: (A + BK1)(hi(k) hj(k)) (hi(k + 1) hj(k + 1)) = 0; i 2 E; j 2 Ni; (9) 2) 对于 ~i(i = 1; 2; 3; 4), 存在实正定对称矩阵 11 0 R1E 0 22 2R2E R2E (~i PE A+BK1 T BK3)TPE 1(~i 1(A+BK1 BK3)TR1E PE; QqE(q = 1; 2; 3); RjE(j = 1; 2),满足 I)TR1E 12(A+BK1 I)TR2E BK3)TR2E 12(~i 33 0 44 0 0 PE 0 0 0 R1E 11 0 R1E 0 22 R2E 2R2E (~i PE A+BK1 T BK3)TPE 1(~i 1(A+BK1 BK3)TR1E R2E I)TR1E 12(A+BK1 I)TR2E BK3)TR2E 12(~i 33 0 44 0 0 PE 0 0 0 R1E 其中: 11 = PE + Q1E + Q2E + (12 + 1)Q3E R1E; 22 = Q3E 3R2E; 33 = Q1E R1E 2R2E; 44 = Q2E R2E; 33 = Q1E R1E R2E; 44 = Q2E 2R2E; 12 = 2 1. 3) 对于i(i = 1; 2; 3; 4),存在实正定对称矩阵PF ; QqF (q = 1; 2; 3); RjF (j = 1; 2),满足 11 0 R1F 0 22 2R2F R2F (i PF A+BK1 T BK2)TPF 1(i 1(A+BK1 BK2)TR1F I)TR1F 12(A+BK1 I)TR2F BK2)TR2F 12(i 33 0 44 0 0 PF 0 0 0 R1F 11 0 R1F 0 22 R2F 2R2F (i PF A+BK1 T BK2)TPF 1(i 1(A+BK1 BK2)TR1F R2F I)TR1F 12(A+BK1 I)TR2F BK2)TR2F 12(i 33 0 44 0 0 PF 0 0 0 R1F 0 0 0 0 R2F 26666666666664 26666666666664 26666666666664 26666666666664 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R2E 37777777777775 < 0; 37777777777775 < 0; 37777777777775 < 0; 37777777777775 < 0: (10) (11) (12) (13)

控制与决策 Vi2(k) = 12 第34卷 T i (l)R2Ei(l)+ 11∑ 1∑ j=2 k1∑ k1∑ l=k+j 1 j=2 l=k+j T i (l)R1Ei(l): 由文献 [14-15] 中的相关引理和 S-procedure[16] 可知, 当式 (10) 和 (11) 成立时, ∆Vi(k) < 0, 则系统 (14)渐近稳定,即 lim k!1 E(k) = 0. 对于 follower 自主体, 采用相同分析方法可以得到相应结论. 由引理3 可知, 当1) 3) 同时成立时, 异以实现编队-合围控制.2 构多自主体系统(1) 在协议(4) 和协议(5) 的作用下可引理4 对于给定的 1; 2 和 ~i(i = 1; 2; 3; 4), 若存在正定对称矩阵 P; Qq(q = 1; 2; 3); R; S 和矩阵 T1; T2; M1; M2; N1; N2 满足 ϕ11 ϕ12 M1 T1 ϕ22 M2 T2 p 12T1 p 12T2 p 2N1 p 2N2 12M2 12M1 p p Q1 0 Q2 0 0 R S 0 0 0 R 0 0 0 0 S 377777777777775 < 266666666666664 (17) 0; 则系统 (15) 渐近稳定, 其中 ϕ11; ϕ12; ϕ22 如文献 [15] 所示. 定理 2 若存在正定对称矩阵 P; Qq(q = 1; 2; 3); R; S 和 T1; T2; M1; M2; N1,N2 使式(17) 成立, 则 P; 1 12 (R + S) 为 Qq(q = 1; 2; 3); R1 = LMIs (10)和(11)的一组可行解. 1 1 S; R2 = 证明若式(17)成立,则根据Schur’s补,有 1806 其中: 11 = PF + Q1F + Q2F + (12 + 1)Q3F R1F ; 22 = Q3F 3R2F ; 33 = Q1F R1F 2R2F ; 44 = Q2F R2F ; 33 = Q1F R1F R2F ; 44 = Q2F 2R2F . 若上述 1)3) 同时成立, 则离散异构多自主体系统 (1) 在协议 (4) 和协议 (5) 的作用下可以实现编队-合围控制. 证明若式(9)成立,则有 E(k + 1) = (I (A + BK1))E(k) + (J E BK3)E(k k): (14) 令 i(k) = [Re(~i(k)); Im(~i(k))]; ~i(k + 1) = (A + BK1)~i(k) + iBK3 ~i(k k); i = M + 2; M + 3; ; N,则有 i(k + 1) = A+BK1i(k) + (i BK3)i(k k): (15) 定义i(k) = i(k + 1) i(k),对于系统(15),构造如下Lyapunov函数: Vi(k) = Vi1(k) + Vi2(k): (16) 其中 Vi1(k) = k1∑ j=k1 i(j)TQ1Ei(j)+ i(k)TPEi(k) + k1∑ 1∑ j=k2 k1∑ j=2 l=k+j i(j)TQ2Ei(j)+ i(l)TQ3Ei(l); 11 0 1 1 S 1 12 22 2666666666666664 = 0 1 12 (~i P A+BK1 T BK3)TP (~i (A+BK1 BK3)TS (~i I)TS (A+BK1 I)T BK3)T 33 0 44 0 0 P 0 0 0 1 1 S 0 0 0 0 1 12 ΩT ΩT 3777777777777775 < 0; 其中: = R + S; 11 = P + (12 + 1)Q3 + Q1 + 1 S Q2 1 12 , 44 = Q1 1 1 S, 22 = Q32 1 1 12 . 12 , 33 = Q1 1 令Ω1 = [0; I; I; 0; 0; 0; 0], Ω2 = [0; I; 0; I; 0; 0; 0],且 1 R2Ω1 < 0; (18) (19) 分别比较式(10) 和(18), 式(11) 和(19), 可以得到 1 12 (R + S) 是 1 1 S; R2 = 2 R2Ω2 < 0: P; Qq(q = 1; 2; 3); R1 = 式(10)和(11)的一组可行解.2

第8期韩娜妮等: 离散异构多自主体系统时变编队-合围控制 1807 推论1 当系统(1) 在协议(4) 和协议(5) 的作用 p N M ) (~uH k!1 r(k) = (1NM / lim 下实现编队-合围控制时,编队参考函数r(k)满足 p N M ) (A + BK1)k)xE(0): 证明当系统实现编队-合围控制时,有 I)hE(k) + (1NM / (~uH M +1 M +1 zE(k) = zEC(k) = (1NM / p N M ) E(k): (20) (21) (22) 图 3 多自主体系统状态 (k = 1 000) 4.2 时变编队考虑如图 4 所示的多自主体网络拓扑, 其中 1 3 是 follower, 4 6 是 leader, 网络拓扑满足假设 1 和假设 2. hE(k) = [sin(kT ) cos(kT ) sin(kT + 2/3) cos(kT + 2/3) sin(kT + 4/3) cos(kT + 4/3)]T. 根据E(k)的定义,有 E(k) = (~uH M +1 (~uH M +1 (A + BK1)k)xE(0) I)hE(k): 当 leader 实现时变编队时, 存在 lim 即可得到式(20).2 k!1(xE(k) hE(k)) = lim lim k!1 r(k) = k!1 zE(k), 由式(21) 和(22) 注2 推论1 表明, 时变时延对系统的编队参考函数没有影响. 4 仿真验证 4.1 固定编队考虑由 3 个 follower 自主体 (标号 1 3) 和 4 个 leader 自主体 (标号 4 7) 组成的多自主体系统, 其网络拓扑如图1 所示, 满足假设1 和假设2. 期望编队 hE(k) = [1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]T. 图 4 多自主体系统网络拓扑2 图5 和图6 是多自主体系统时变编队-合围控制的状态图. 图5 和图6 中leader 形成了所要求的编队, 实时变化时, follower 始终运行在 leader 形成的区域内,验证了所设计的协议有效. 图 1 多自主体系统网络拓扑1 图 5 多自主体系统时变编队-合围控制状态 (k = 100) 图2 和图 3 是多自主体系统的状态轨迹图. 4 个 leader 最终形成了正方形编队, 并且 follower 运行在 leader形成的区域内,验证了所设计的协议有效. 图 2 多自主体系统状态 (k = 200) 图 6 多自主体系统时变编队-合围控制状态 (k = 1 050) 5 结论针对异构离散高阶多自主体系统,设计了时变编队-合围控制协议, 通过合理的数学假设和模型转换 123456731-5-701.52.02.5x/m-30.51.0y/m-12.01.5-0.5-1.001.52.02.5x/m0.50.51.0y/m1.002.82.41.20.8-3.0-1.5-1.0-0.5x/m1.6-2.5-2.0y/m2.03.63.22.01.6-1.200.40.8x/m2.4-0.8-0.4y/m2.8

1808 控制与决策第34卷将编队-合围问题转换为子系统的稳定性问题, 给出了系统实现时变编队-合围控制的充分条件. 未来研究方向主要是通信受限时多自主体系统的协调控制. 参考文献(References) [1] [2] stochastic systems with Zhao H Y. Leader-following consensus of sata-sampled multi-agent switching topologies[J]. Neurocomputing, 2015, 167(C): 172-178. Zhang X J, Cui B T, Lou K. Leaderless and leader-following linear multi-agent systems[J]. Chinese Physics B, 2014, 23(11): 110205-1- 110205-9. consensus of [3] Dai P P, Liu C L, Liu F. Consensus problem of heterogeneous multi-agent systems with time delay under ﬁxed and switching topologies[J]. Int J of Automation and Computing, 2014, 11(3): 340-346. [4] Mu X W, Zheng B J, Liu K. L2-L1 containment control of multi-agent systems with markovia switching topologies and non-uniform time-varying delays[J]. IET Control Theory and Application, 2014, 8(10): 863-872. [5] Haghshenas H, Badamchizadeh M A, Baradarannia M. Containment control of heterogeneous linear multi-agent systems[J]. Automatica, 2015, 54(C): 210-216. Ferrari-Trecate G, Egerstedt M, Buﬀa A, et al. Laplacian sheep: A hybrid, leader-based containment control[J]. Hybrid System: Compution and Control, 2006, 3927(10): 212-226. stop-go policy for [6] [7] Dimarogonas D V, Egerstedt M, Kyriakopoulos K J. A leader-based containment control strategy for multiple unicycles[C]. Proc of 45th IEEE Conf on Decision and Control. San Diego: IEEE, 2006: 5968-5973. Zheng B J, Mu X W. Formation-containment control of second-order multi-agent systems with only sampled position data[J]. Int J of Systems Science, 2016, 47(15): 3609-3618. [8] [9] Dong X W, Shi Z Y, Lu G, et al. Formation-containment analysis and design for high-order linear time-invariant swarm systems[J]. Int J of Robust Nonlinear Control, 2015, 25(17): 3439-3456. [10] Dong X W, Li Q D, Ren Z, al. Output formation-containment analysis and design for general linear time-invariant multi-agent systems[J]. J of the Franklin Institute, 2016, 353(2): 322-344. et [11] Godsil C, Royle G. Algebraic graph theory[M]. New York: Springer, 2001: 163-192. [12] Meng Z Y, Ren W, You Z. Distributed ﬁnite-time attitude containment control for multiple rigid bodies[J]. Automatic, 2010, 46(12): 2092-2099. [13] Ren W, Beard R W. Consensus seeking in multi-agent interaction systems topologies[J]. IEEE Trans Automatic Control, 2005, 50(5): 655-661. dynamically changing under [14] Xi J X, Shi Z Y, Zhong Y S. Consensus analysis and design for high-order linear swarm systems with time-varying delays[J]. Physica A, 2001, 390(23/24): 4114-4123. [15] Huang H, Feng G. Improved approach to delay-dependent systems with and stability time-varying Applications, 2010, 4(10): 2152-2159. discrete-time IET Control Theroy of delay[J]. analysis [16] Park P, Ko J W. Stability and robust stability for systems with a time-varying delay[J]. Automatic, 2007, 43(10): 1855-1858. 作者简介的研究, E-mail: hannani@yeah.net; 韩娜妮 (1986), 女, 讲师, 从事多自主体系统协调控制罗小元 (1976), 男, 教授, 博士, 从事多移动机器人、移朱亚锟 (1984), 男, 讲师, 博士, 从事多智能体系统协动传感器网络等研究, E-mail: xyluo@ysu.edu.cn; 调控制等研究, E-mail: zyk@neuq.edu.cn. (责任编辑：闫妍)

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