2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题
1.A
2.D
3.D
4.C
5.B
6.C
7.D
8.B
9.C
10.B
11.A
12.C
二、填空题
13. 2
10
三、解答题
14.100
15. (3, 15)
16.118.8
17.解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
18.解:(1)由题设及正弦定理得sin sin
A
A C
2
sin sin
B
A
.
因为sinA 0,所以sin
A C
2
sin
B
.
由
A B C
180
,可得sin
A C
2
cos
B
2
,故 cos
B
2
2sin
B
2
cos
B
2
.
因为 cos
B ,故
2
0
sin
B ,因此B=60°.
2
1
2
(2)由题设及(1)知 ABC△
的面积
S
△
ABC
3
4
a
.
由正弦定理得
a
sin
A
c
sin
C
C
sin 120
sin
C
3
2 tan
C
.
1
2
由于 ABC△
为锐角三角形,故0°
因此, ABC△
面积的取值范围是 3
8
3,
2
.
19.解:(1)由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB BE,AB BC,故AB 平面BCGE.
又因为AB 平面ABC,所以平面ABC 平面BCGE.
(2)取CG的中点M,连结EM,DM.
因为AB∥DE,AB 平面BCGE,所以DE 平面BCGE,故DE CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM CG,故CG 平面DEM.
因此DM CG.
在 Rt△ DEM中,DE=1,EM= 3 ,故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
20.解:(1)
( ) 6
f x
x
2
2
ax
2 (3
x x a
.
)
f x
令 ( )
,得 x=0 或
0
x .
a
3
若 a>0 , 则 当
x
(
,0)
a
3
,
f x
时 , ( )
; 当
0
x
0,
a
3
时 , ( ) 0
f x
. 故 ( )
f x 在
(
,0),
a
3
,
单调递增,在 0,
a
3
单调递减;
若 a=0, ( )
f x 在 (
单调递增;
)
,
若 a<0 , 则 当
x
,
a
3
(0,
)
f x
时 , ( )
; 当
0
x
a
3
,0
,
a
3
,(0,
)
单调递增,在 ,0
a
3
单调递减.
时 , ( ) 0
f x
. 故 ( )
f x 在
(2)当 0
3a 时,由(1)知, ( )
f x 在 0,
a
3
单调递减,在 ,1
a
3
单调递增,所以 ( )
f x 在[0,1]
的最小值为
f
a
3
3
a
27
2
,最大值为 (0)=2
f
或 (1)=4
f
a .于是
m
3
a
27
,
2
M
4
2,2
,0
a
a
a
3.
2,
所以
M m
2
a
3
a
27
,0
a
2,
3
a
27
,2
a
3.
当 0
a 时,可知
2
2
a 单调递减,所以 M m 的取值范围是
3
a
27
8 ,2
27
.
当 2
3a 时,
3
a
27
单调递增,所以 M m 的取值范围是
8[
27
,1)
.
综上, M m 的取值范围是
8[
27
,2)
.
21.解:(1)设
1,
D t
2
,
,
A x y
1
1
,则 2
x
1
y .
12
由于 y'
x ,所以切线DA的斜率为 1x ,故
2
tx
整理得 1
y
1
2 +1=0.
1
2
t
y
1
x
1
x
1
.
设
2
B x y ,同理可得 2
tx
2
2
,
y
2 +1=0
2
.
2
y
1 0
.
故直线AB的方程为 2
tx
所以直线AB过定点 1(0,
2
)
.
(2)由(1)得直线AB的方程为
y
tx
.
1
2
由
y
y
tx
1
2
2
x
2
,可得 2 2
tx
x
1 0
.
于是
x
1
x
2
2 ,
t y
1
y
2
t x
1
x
2
1 2
t
2
1
.