一级倒立摆数学模型的建立.doc-资料库

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华南理工大学摘要倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。本文主要主要研究内容是介绍倒立摆系统，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性，对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。关键词：一级倒立摆，数学建模，MATLAB 仿真微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示图 1 一级倒立摆系统我们不妨做以下假设： M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动轴心到杆质心的长度、I 摆杆惯、F加在小车上的力、x 小车位置、φ摆杆与垂直向上方向的夹角、θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。图2.3是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中， N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实

华南理工大学际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向：图二小车隔离受力图图三摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： NxbFxM      由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： dmN k  2  12  l sin 即： xmN    ml   cos sin ml 2  把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：  mxbxMm          cos sin ml 2   F  (1) (2) (3) (4) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： dm dt mg P   2 2  l cos 即： P  mg  ml   cos sin ml 2  力矩平衡方程如下：  Pl sin   Nl cos I   (5) (6) 方程中力矩的方向，由于 sin,  号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：  cos cos    ,  sin  ，故等式前面有负

华南理工大学  I  ml 2     mgl sin   xml  cos  (7) 设    （ φ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 φ 与 1（单位是弧度）相比很小，即 φ 《 1 ，则可以进行近似处 0 。用 u 代表被控对象的输入力 F ，线   cos 理： sin,1 2 d   ,    dt   性化后两个运动方程如下：   2  I mgl      xb xmM      ml   xml     u ml   传递函数对方程组上面进行拉普拉斯变换，得到 2   I     ssXmM  ml    ss 2      2  bX mgl   ss     s ssmlX    ssml   2   sU (8) 2 (9) (10) 注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。由于输出为角度φ，求解方程组(3.8)的第一个方程，可以得到： )( sX   I    ml  ml 2   g 2 s     s 把上式代入方程组(3.8)的第二个方程，得到：    ImM     Ib   ml  ml ml  ml      ss g 2 s g s        2 2 2      ss    ssml 2   sU 整理后得到传递函数：   s    sU  4 s   Ib 2  ml  q 3 s  2 s ml q  mM q  其中： q     IMm   ml 2   ml  2  (11) (12)  mgl 2 s  bmgl q s

华南理工大学状态空间结构方程系统状态空间方程为 x  y  AX CX   Bu Dn (13) 方程组（13）对  ,x 解代数方程，得到解如下： x   x   I    x    mMI     2  bml  Mml  x   2 2 2 glm     mMI   Mml 2  I    mMI ml   2  Mml u 2      mMI  mlb   Mml 2 x   mMmgl ( ( mMI  )   ) Mml   2 ml ( ) mMI   u Mml 2 (14) 整理后得到系统状态空间方程： x      x               0 0 0 0             1  I ml b    2  I M m Mml  I M m Mml  0 mlb     0 2 m gl   2  I M m Mml 2 0  mgl M m   I M m Mml     0 0 1 0           x     x                        2 0 2 I ml      I M m Mml  0 ml   I M m Mml   2 2           u 2 2 y  x        0001 0000       x     x              0 0       u 由公式(8)的第一个方程为：  I  ml   2  mgl   xml  对于质量均匀分布的摆杆有： 1 ml 3 I  2 于是可以得到：    1 3 2 ml  ml   2   mgl   xml  （15）（16） (17) (18) (19)

华南理工大学      3 g 4 l 3 4 l x  化简得到：设 X  , ,     ,  , xx u  x      x               x  ，则有： 10 0   00 0   00 0 3  g 00  4 l  0 0 1 0               0 1 0 3 4 l        u   0 0       u   x     x             x     x                y  x           0001 0100 (20) (21) 实际的系统模型如下： M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m T 采样频率 0.005秒注意：在进行实际系统的MATLAB仿真时，我们将采样频率改为实际系统的采样频率。我们的在实际操作中自行检查系统参数是否与实际系统相符，否则的改用实际参数进行实验。实际系统模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型摆杆角度和小车位移的传递函数：   s    sX  .0 .0 0102125 0275 s 2  s 2 .0 26705 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：   s    sV  .0 0102125 02725 2  .0 s .0 26705 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： (22) (23)

华南理工大学   s    sU  3 s  .0 0883167 .2 35655 2 .27 s  s 9169 s  .2 30942 (24) 以外界作用力作为输入的系统状态方程： x      x               0 0 0 0       y  x        0001 0100       1 0  .0 0883167 .0 629317 0 225655  .0 0 8285 0 0       u  .27 x     x              以小车加速度作为输入的系统状态方程： 10 00 00 00 x      x                     y  x        0001 0100       0 0 1 0       x     x                    0 .0 883167 0 35655 .2 u        (25) 0 0 0 0 0 1 04.29       x     x              0 1 0 3             u  x     x              0 0       u  （26）需要说明的是，在本文所有提供的控制器设计和程序中，采用的都是以小车的加速度作为系统的输入，如果需要采用力矩控制的方法，可以参考以上把外界作用力作为输入的各式。采用 MATLAB 语句形式进行仿真仿真程序如图4所示

华南理工大学可得仿真曲线和结果如图5和6所示图 4 系统数学模型仿真程序图 5 系统数学模型仿真曲线

华南理工大学图 6 系统仿真系数

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