2015黑龙江考研数学二真题及答案.doc-资料库

2015 黑龙江考研数学二真题及答案一、选择题:1  8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( ) (A) (B) (C) (D)  2 1 dx x  2 ln x dx x  2 1 ln x x dx  2 x dx e x 【答案】(D)  【解析】 x dx e x   2 x dx e x    x (    x (  x 1) e ，则  x 1) e  2  2  3 e  lim ( x  x  1) e  x  2  3 e . (2) 函数  f x   lim(1 t  0  2 x t t ) sin x 在 ( (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B) ( ) f x  lim(1 t  0  2 x t t ) sin x sin x 2 t x t lim 0 t   e 【解析】点 0 x  .   内 ( ) , ) x  ， 0 x  ，故 ( ) f x 有可去间断 e

 x cos x  1  x 0     0,  ) (3)设函数  f x  0x  处连续则:( 0    (A) , x  0 (   0,  0) ,若  'f  x 在 (B)0     1 (C)    2 (D)0     2 f 【答案】(A) 【解析】 0x  时，  x 1 cos  x x lim 0 x    0  x    f    0 f  0  0  0  lim 0 x   x 1   cos 1  x 0x  时，   x f   1   x  cos  1   x  cos 1  x  1     x  sin   1    x sin 1  x     1 1   x 1  x 1  x 0x  处连续则：   0 f    f    0  lim 0 x   1   x cos 1  x  得 0 f  x  在 1 0  f    0  f   x  lim 0 x  + = lim 0  x +  1   x    cos 1  x  1     x  sin 1  x    =0 得：     ，答案选择 A 1 0 (4)设函数 ( ) f x 在 ,  内连续，其中二阶导数 ( ) x 的图形 f  如图所示，则曲线 y ( ) f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 2 (C)

(D) 3 【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个。 (5) 设函数  f u v 满足 , f    x  y , y x     2 x  2 y ，则 f  1 u u   1 v  与 f  1 u v   1 v  依次是 ( ) (A) (B) (C) (D) 1 ,02 10, 2 1 ,02 1 0, 2 【答案】(D) 【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令 u   x , y v  ，则 y x x  u  1 v , y  uv 1 v  ，从而 ( f x  y , )y x  2 x 2  变 y 为 ( , ) f u v     1 u  v 2     2    uv 1 v      v ) u 2(1  1 v  f  u   v ) 2 (1 u  1 v  , f  v    2 2 u (1 ) v  2 ， . 故

因而 f  u   0, u v 1  1  f  v    u v 1  1  1 2 .故选（D）. (6)设 D 是第一象限由曲线 2 xy  ， 4 1 xy  与直线 y 1 x ， y  3 x 围成的平面区域，函数  f x y 在 D 上连续，则 ,   f x y dxdy   ,  D ( ) (A)   3  4  d  1 sin 2 1 2sin 2    f r cos , sin  r  rdr  (B)   3  4  d  1 sin 2 1  2sin 2   f r cos , sin  r  rdr  (C)   3  4  d  1 sin 2 1 2sin 2    f r cos , sin  r  dr  (D)   3  4  d  1 sin2 1  2sin2   f r cos , sin  dr   r 【答案】(B) 【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为 ( , r )   4     3 , 1 2sin 2    r 1 sin 2     D     所以 ( , f x y dxdy )   D   3  4  d  1 n 2 si 1  2sin 2  故选 B. ( cos , sin ) f r   r rdr (7) 设矩阵 A       1 1 1 2 1 4 1 a 2 a      , b        1 d 2 d       .若集合   1, 2  ，则线

性方程组 ( ) Ax b 有无穷多解的充分必要条件为： (A) a d  , (B) a d  , (C) a d  , (D) a d  , 【答案】D 【解析】      ( , ) A b  1 1 1 2 1 4 1 a 2 a 1 d 2 d       1 1 0 1 0 0 (      1 1 a  1)( a  a  2) ( d  1 1 d  1)( d  2)      ，由 ( ) r A  ( r A b , ) 3  ，故 1a  或 2a  ，同时 1d  或 d  。故选（D） 2 (8) 设二次型  , f x x 1 , 2 x 在正交变换 x Py 下的标准形为 3  2 2 y 1  y 2 2  ，其中 y 2 3 P ( e e e ，若 1 ) , , 3 2 ( Q e 1  ,  e e 则 3 ) , 2 , x x x 1 3 , 2 ) 在正交变换 x Qy 下的标准形为： f  ( ( ) (B) 2 2 y 1  y 2 2  y 2 3 (D) 2 2y 1  y 2 2  2 y 3 ) T y P AP y ( T  2 2 y 1  y 2 2  2 y 3 .且 (A) 2 2 y 1  y 2 2  y 2 3 (C) 2 2 y 1  y 2 2  y 2 3 【答案】(A) 【解析】由 x Py ，故 f  T x Ax  TP AP       2 0 0 1 0 0 0   0   1  . Q P  1 0 0      0 0 0 1 1 0        PC

T Q AQ C P AP C  ( ) T T  2 0 0      0 0 1 0  0 1      所以 f  T x Ax  ) T y Q AQ y ( T  2 2 y 1  y 2 2  。选（A） 2 y 3 二、填空题：9  14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题．．纸．指定位置上. (9) x   y   t arctan 3 3 t t  则 2 d y 2 dx   1 t 【答案】48 【解析】 dy dt dy dx  2 d y 2 dx  d dx [3(1  t 2 2 ) ]  2  3(1  t 2 2 ) dx dt d  3 3 t  1 1 t  [3(1 t  dt 2 2 2 ) ]  dx dt 2 t ) 12 (1 t   t 2 2 ) t 12 (1  1 t  1 2 2 d y 2 dx t 1   48 . (10)函数 ( ) f x 2 x  在 0x  处的 n 阶导数 (0) 2 x nf  _________ 【答案】  n n    1 ln 2 n  2 (  n f  C    0 【解析】根据莱布尼茨公式得： ( n n  2 x f f x 连续，      2 2   x 2 n   2) 0   n x 2 x x 0 (11) 设  【答案】 2 1)  2 ln 2  n  2  ( n n  1) ln 2   n  2   t dt ，若   1    1,   1  ，则  1f 5  2 x ( ) f t dt ，求导得  ( ) x  2 x  0 ( ) f t dt  2 2 ( x f x 2 ) ，故【解析】已知    ( ) x x ( ) t dt  0 1 有  f (1)   1, (1) 1 2 (1) 5,    f 0  则 (1) 2  . f

y   y x (12) 设函数  y x 取得极值 3，则    y x =。  是微分方程 '' y  y ' 2  y  的解，且在 0 0x  处【答案】 2 e   x x 2 e 【解析】由题意知：  0 y  ，  0 3 y  ，由特征方程： 2     解 2 0 0 得 1 21,     2 所以微分方程的通解为： y C e C e   x 1 2 2 x 代入  0 y  ，  0 3 y  解得： 0 2C  1 1C  2 解得： y  2 x e  x 2 e (13)若函数 Z   z x y ,  1 d 【答案】  x 3   2d y  由方程 2  x e y z 3   xyz 1 dz  确定，则  0,0 =。【解析】当 x  0, y  时 0 0z  ，则对该式两边求偏导可得 x  2 y  3 z (3 e  xy ) x  2 y  3 z (3 e  xy ) z  x  z  y    yz  e x  2 y  3 z   xz  2 e x  2 y  3 z 。将（0,0,0）点值代入即有 z  x  1 3 dx  则可得 dz | (0,0)     (0,0) 2 3 dy   1 3 1 3  , z  y    2 3 . (0,0) d x   2d . y (14) 若3 阶矩阵 A 的特征值为 2, 2,1 ， B A  2   ，其中 E 为3 阶单 A E 位阵，则行列式 B  . 【答案】21

【解析】 A 的所有特征值为 2, 2,1.  B 的所有特征值为3,7,1. 所以| B     。 | 3 7 1 21 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分）设函数 ( ) f x   x a ln(1  x )  bx sin x ， ( )g x 3 kx . 若 ( ) f x 与 ( )g x 在 x  时是等价无穷小，求 , ,a b k 的值. 0 【答案】 a 1,   k   1 3 , b   1 2 【解析】方法一：因为 ln(1  x )   x 2 x 2  3 x 3  ( o x 3 ) sin x   x ， 3 x 3!  3 ( o x ) ，那么， 1 lim  0  x ( ) f x ( ) g x  lim 0 x  x a  ln(1 ) x  3 kx  bx sin x  lim 0 x  (1  ) a x  ( b  3 x  ( o x 3 ) 2  a 3 a ) 2 kx x 3 ，可得： 0 0 ，所以，     1 a  ab     2  a    3 k 1     1 a  1    b  2  1    k  3 ．方法二：由题意得 lim1  0  x )( xf )( xg  lim 0 x  ax  1ln( ) x  3 kx  bx sin x

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