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1-1 证明：由矩阵 A  0 0 0 1    0 0 0 1   1     - - - - a a a a   n 1-n 2-n 1       AI   可知 A 的特征多项式为 1- 0 0   1- 0 0   1    a a a a    1-n 1 n 2-n 0 1-   0 0      a a    2-n 3-n 1-  a   2 3- n a  3   )1(-    2- n  2  a 1 a 1   若 i是 A 的特征值，则 0 0 1-    i  0 1- 0    i  1     a a a    2-n 1-n n i 所以 T 1  1-n  i 2 i i  1- 0   0 0       a a    1-n 2-n a 1  a n )1(- 1 n  1- n )1(- n a 1-n 2- n )1(-  a n a   1- n a n  2- n n    1- n a 2 a 1  3- n a  3   a   1- n a n 1        i      1-n     i              a a     n 1 ni  0 0         0    0 1 n n  a  1 i i   a  1 是属于 i的特征向量。 1-7 解：由于  tg 果性。  ，  -  - te ，可知当 t 时，   0，tg ，所以系统不具有因又由于  tg     tg 0 ，   ，所以系统是时不变的。，

1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。  tuPuQP    由于       t tu     0 t      而 QuPQ      t tu   t 0         t tu     0 t        ，故 uPQuQP    ，所以系统是时变的。又因为  uPP T    P T 而  uPPP T T  uPP T       P T   t tu   t 0  uPPP   T T        t tu   t 0   min T ，  min T   ，         t tu   t 0    t tu   t 0       ，  min T ，  min T  min T ，  min T   ，     ，故，所以系统具有因果性。 1-11 解：由题设可知，  tg 随变化的图如下所示。  u 随变化的图如下所示。从上述两图及所描述的系统，分析如下：

当 2t ， 21 t t y  且 2 t 2 即 3  t 时，有 4  tg    d u    t 2   2     t  d  2  1 2 2 t  4 t  8 ；  0 当 4t 时， 0y ；当  t 时，有 3 2 y 1   t  2    t  d  2 t 1    1    t  d  2    2  t 1   dt   3 t 2 2  8 t  10 ；当 1 2  t 时，有 1  t y     0  t  d  2  t    1  1   dt    t  1   dt   3 2 2 t  4 t  2 ；当 0  t 时，有 1 y t   0     dt   1 t 2 2 ；综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为： 0  t 1 4 t  2 t1  2  10 2  3 t 4 t  8 3  t 4 t  4 2 2 t  1 t 2 3  2 3 2 t 2 1  2 0 8 t   t 2 t   0 y 1-15 解：  tg    d u                       x  x 1 2      2t  e 1  0  1-       x 1 x 2    由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：    x 11 x 21 t   e 0  ，     x 12  x 22  t e 1 2 t e 所以 x       e t  e 1 2 0 e t t     

即其基本矩阵为        e t  e 1 2 0 e t t      ；状态转移矩阵为：  t  ， t 0    1- t   t    0      e t  e 1 2 0 e t t           0 t e 1- 2 0 e t 0 e t- 0            t 0  t e 0 0 t t - e 1- 2 e t t- 0 e 1 2  t t- 0      1-17 证明：由题设我们可知    TtT   I  1  d dt d dt    t  d dt     TtT 1    t  dtT   dt  T 1   0   t  故 d dt  T 1     t T  1  dt   dt     TtT 1   t ，得证。 1-19 证明：由题设可知：由上式可推出  又由   t  ， t  0    t tA  ， t 0   1  t ， t 0     1  t ， t 0      t  1 -A  - ，   1  t  t t ， 0     tAt 0 及习题 1-17 的结论可推出 t   t  ， 0 由以上两个结论，我们可得到  t  1 所以    t ，   得证。即 1    t t    ，， 1 1  t  0   t   t ，  t 0  t ，，  t  t  I t t 0 0 0 0  ，  t   0  - t ， 0   t     tAt   ， 0 t     t ， t 0   1     1  t ， t 0   t  ， t 0   I 得证。 1-20 解：设其等价变换为 Px  x  ，则可知:  A     PA   PP    1   0 由于 P 是非奇异矩阵，所以 PA   P  eP 0   Adt 。

1-24 解：   sG        2 s s   5  s 1 1 1 3s  5s 1  2s        易知     sGsG  0  0 1   5 0   ，其中     sG 0        s s 1  5  1 3s  9- 2s        1 1 ，其中  sG0 为严格真有理函数矩阵，进行下列计算：   sg s  1  3 2        s s s 3     sGsg 0  2 6 s   s  2 5 s   2   6 11 s ，则 6 5 s   25 30 s   g3 ，r  0 2 s 3 s  36 9s-  2 g6  ，  2   27 s     11 ， g 2 1  6 所以 G 0  6 2   27- 30   ，   G 1  3 5   36- 25   ，   G 2  1 1   9- 5   。   因此，可得  sG 一个实现如下： 0 0 0 1 0 0   0 0 0 0 0 1   0 0 0 0 1 0  0 0 0 0 1 0   0 6- 11- 0 0 6-  6- 0 0 11- 0 6-   3 1 1 2 6 5   36- 25 27- 30 5 9-  C A       ，       B  ，   D   0 0     0 0     0 0   0 0     0 1   1 0     0 1   5 0     其模拟图如下所示。

1-25 证明：由题设知  tG     Ce  tA     同理可知  tG      eC   tA      tDB        tDB       k  0   k  0 1  t ! k 1  t ! k k    k      tDBCA   k k     tDBAC    若要使得两系统零状态等价，则要满足  tG       tG   ，即满足  tG       tG       k  0 1  t ! k k        BACBCA   k k         tDD        0   BACBCA   k  k k   210 ，， - DD   ，得证。 2-2 解： 0 1 0 0 0 1 2- 3- 4- a,  x       由题设可知： x       0 1 1 0 1 1-           u y  1- 1 0 2 1 1       x rank   BA AB B 2 rank  C  CA   CA  2       rank            3 ，所以系统可控；  rank 1 1- 1 0 0 1     1 1- 1 0 1 7-     1 7- 1 1 1- 15   1- 1 0 2 1 1 4 4 2 3- 2- 1- 8- 14- 8- 2 2 0           3  ，所以系统可观。  x  b,      0 1 1 0 1 0 1 0 0      x  0 1 1 0 0 1           由题设可知： u y   c 1 c 2 c 3 x rankB  2 rank  A B B   rank      1 1 0 1   1 0 1 0   0 1 0 1   3 ，所以系统可控；

（1）若 c 1  c 2  c 3  0 ，则系统不可观；（2）若 c ，， 1 c 2 c 3 中至少有一个不等于零，则 rank C CA CA      2       rank c 1 c 1 c 1 c c 2 c c c  1 2 2 c c c  1 2 3 3 3           总之，该系统不可观。  3 ，所以系统不可观；  x  d, 0 1- 0 2-     x       由题设知  t 2 t e  e u y   1 e  t x      t  ， 0   0 t t - - t    0 e   2- t 0 e     tBt t ，0  1 e ，   - t 由于  又   tN 0      - t 0   t     tBt  ， 0 - t 0 2- t 0     e e     的两行不是线性无关的，所以系统不可控；   tN 1      tAtN 0    tN 0   1- 3e- - t  d dt - t 1 e 3- 1- e - t      2 ，所以系统可观。则 rank   tN  0    tN  1    rank     2-3 证明：若线性系统可控，则存在构造输入    tu t    tB  1 0 t  使得  tW ，非奇异。  t xt ，， 0 0 1 t   1- tWt t 0    tx 1  -  t  ， 0 0 1 1 ，其能在 1t 时刻将状态 0 0 1 1 t   x   ， t ， 0  tx  t       d uB  。我们将上式代入   t    0tx 转移到   tx     tx           tx t            - tx tWtx 0    1 xt t  ， 0 1    BB   1- tWt ， 0 1 1 x   t   t   t  ， 1 ， 1  tx ， 0 ， 0 ， 1 t t    - t t t 1 0 t 0 t 0 0 0 0 1 1    命题得证。对离散线性系统不一定成立。，此时    tx ， 0 t 1   t  -  xt 1 1 ， 0 0       1- tWd      t   xt 1 ， 0 ， 0  - 1  t 0

，由递推可知：   对   1 nx nAx        n 1 0 nx Bu xA A nBu             n n - 1 0 Bu xAnx A nBu     要使所控状态任意，则必须满足  nBu    1- n 0 Bu    0 Bu  A n A 2- 2- 1- n  1- 1-   B  n  1-n BA AB ，而 A 不满秩，则 x 只在 nA 值域中选取，否则 x 属于  B rank 若   0nx 的值域。故对离散系统，任意状态控向任意状态的条件一般强于从任意状态控向 BA AB 1-n 原点的条件。若 A 满秩时，两者等价。 2-4 证明：若线性动态方程在 0t 可控，则存在 t  ，使     t ，0 B t 0 1 在 t ，上行线性 0 t 1 0 ，，， 0 t  时  t    B t  t   t t   0    ，所以  t ，0 无关。      t B t 当 0t    ，使得  t ，0 线性无关性。取在 1t t，上行线性无关，从而    t t ，  0 1t  t，上行线性无关，即对任意的 0t t  ，动态方程也可控。    在 0t t  时，系统未必可控。因为不能保证使   ，t ，由于  为可逆阵，故不改变其在  1 B t t ，上行线性无关，而 0    的行线性无关的区 t， t， 1 在，  t B B B t 1 1 间存在。 2-7 证明：必要性： BA  n  ，则存在 0 ，满足：  0  B  AB  n 1- BA  0   ，即 0 ，  A  0  ，， rank 反证法，当系统可控时，若   0 0 BA B    0 BA AB BA     ， BA 这说明矩阵  B  n rank AB BA  AB  1- n  B  n 1- 1- 2 n 充分性：行线性相关，与线性时不变系统可控条件矛盾，即命题得证。

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