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2010年江西高考理科数学真题及答案.doc
(1) 当m=0时，求在区间
(2) 当时，
2010 年江西高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每个小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，
第Ⅰ卷
有一项是符合题目要求的。
1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数 x，y 分别为（ ）
A.x=-1，y=1
B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1
D. x=1，y=2
【答案】 D
【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得
(
x i
2
)
(1
)
x i
，没有虚
y
部，x=1,y=2.
x R
2.若集合
A=
1
|
x x
，
A.
1
| 1
x
x
C.
| 0
1
x
x
【答案】 C
【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B；
，
B=
B.
D.
|y y
x
|
0
x x
，则 A B =（ ）
2
，
x R
A
{ | 1
x
，
1}
x
B
{ |
y y
0}
,解得 A B={x|0
x
1}
。在应试中可采用特值检
验完成。
2
x
x
2
x
x
3.不等式
的解集是（ ）
A. (0 2)，
【答案】 A
B. (
， C. (2
0)
) ，
D.
（- ，0） ，
(0
)
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.
或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。
2
x
x
，解得 A。
0
lim 1
x
1
1
2
3 3
1
3n
（ ）
5
3
3
2
B.
C. 2
D. 不存在
4.
A.
【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。
lim (
n
1
1
1
n
3
)1
3
3
2
a ， 8a =4，函数
f x
2
(
x x a
1
)(
x a
)
x a
(
)
8
2
，则
' 0f
5.等比数列 na 中， 1
（ ）
A． 62
【答案】C
92
B.
C.
122
D.
152
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数
学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则
' 0f
f x 的一次项
有关；得：
只与函数
。
4
a a a
1
3
2
a
8
(
a a
1 8
)
12
2
2
x
8
6.
A.-1
【答案】B
4x 项的系数的和为（ ）
展开式中不含．．
B.0
C.1
D.2
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难
则反。采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 4x 项系数 8
8 2 ( 1)
C
1
即为所求，答案
0
8
为 0.
7.E，F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan ECF
（ ）
16
27
A.
2
3
B.
3
3
C.
3
4
D.
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法 1：约定 AB=6,AC=BC=3 2 ,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦
定理得
cos
ECF
解得
tan
ECF
，
4
5
3
4
解法 2：坐标化。约定 AB=6,AC=BC=3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）
利用向量的夹角公式得
cos
ECF
，解得
4
5
tan
ECF
。
3
4
8.直线
y
kx
与圆
3
x
2
3
y
2
2
相交于 M,N 两点，若
4
MN
2 3
，则 k 的取
值范围是
3 0
，
4
A.
B.
，
3
4
0
，
3
3
3
，
3
C.
2 0
，
3
D.
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.
解法 1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与 y 轴相切.当| MN | 2 3
时 ，
由点到直线距离公式，解得
3[
4
,0]
；
解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取
，排除 B，考虑区间不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A
y
ln
1
2
①函数
②若函数
9．给出下列三个命题：
1 cos
1 cos
f x
1
2
③若奇函数
g x
2
x
与
y
y
y
f
x
x
与 ln tan
y
x
2
是同一函数；
y
g x
的图像关于 直线 y
x 对称，则函 数
与
的图像也关于直线 y
x 对称；
f x 对定义域内任意 x 都有
f x
f
(2
，则
x
)
f x 为周期函数。
其中真命题是
A. ①②
【答案】C
B. ①③
C.②③
D. ②
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除
A、B，验证③,
f
x
f
[2 (
x
)]
f
(2
x
)
,又通过奇函数得
f
x
( )
f x
，所以
f（x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。
10.过正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱 AB , AD ,
1AA
所成的角都相等，这样的直线 L 可以作
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
【答案】D
【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一
类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外
角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。
11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他
B.
1p < 2p
用两种方法来检测。方法一：在 10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查
两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1p 和 2p ，则
A.
1p = 2p
【答案】B
【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，
作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为
1
10
D。以上三种情况都有可能
1p > 2p
C.
10
(0.1) (0.9)
0
；同理，方法二：每箱的选中的概率为
，总事件的概率为
，总概率为
1
0
C
5
1
0
( ) (
5
0
1
C
10
4
5
)
5
，作差得 1p < 2p 。
1
5
12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露
出水面部分的图形面积为
，则导函数
的图像大致为
'
S t
S t S
0
0
y
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究
能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除 C；总面积一直保
持增加，没有负的改变量，排除 B；考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑
到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择 A。
，b
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上。
13.已知向量 a
【答案】 3
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等
的夹角为 60°，则 a b
， a
与b
a
b
满足
，
1
2
知识，如图
a OA b OB a b OA OB BA
,
,
a b
，由余弦定理得：
3
14.将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场
馆服务，不同的分配方案有
种（用数字作答）。
【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分
组，考虑到有 2 个是平均分组，得
两个两人组
2
4
2
C C
6
2
A
2
两个一人组
1
1
C C
2
1
2
A
2
，再全排列得：
2
4
2
C C C C A
6
2
A
2
1
2
2
A
2
1
1
4
4
1080
(
A x
15.点 0
y， 在双曲线
)
0
2
x
4
2
y
32
1
的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 02x ，则 0x =
【答案】 2
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取 a=2.c=6,
r
d
e
r
3
d
,
2
x
0
3(
x
0
x
0
)
2
a
c
2
中，三条棱 OA ， OB ， OC 两两垂直，
16.如图，在三棱锥 O ABC
且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三
棱锥的体积，截面面积依次为 1S ， 2S ， 3S ，则 1S ， 2S ， 3S 的大小关
系为
。
S
S
【答案】 3
【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，
S
1
2
S
特殊化，令边长为 1，2，3 得 3
S
2
。
S
1
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 12 分）
f x
1 cot
x
2
sin
x m
sin
x
4
sin
x
4
。
已知函数
(1) 当 m=0 时，求
f x 在区间
3
， 上的取值范围；
8
4
(2) 当 tan
a 时，
2
f a ，求 m 的值。
3
5
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三
角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等
题.
解：（1）当 m=0 时，
( )
f x
(1
cos
sin
x
x
2
)sin
x
sin
2
x
sin cos
x
x
sin 2
x
1 cos 2
x
2
1 [ 2 sin(2
2
x
4
) 1]
，由已知
x
3
[
]
4
8
,
，得
2
x
[
4
2
2
,1]
从而得： ( )
f x 的值域为
[0,
2
]
1
2
（2）
( )
f x
(1
)sin
2
x m
sin(
x
cos
x
sin
x
1
[sin 2
2
sin 2
a
化简得：
( )
f x
当 tan
2 ，得：
x
)
4
4
)sin(
1
2
2 tan
1 tan
a
2
a
x
m
2sin cos
cos
sin
(1
a
)cos 2 ]
x
a
2
a
a
2
4
5
，
cos 2
a ，
3
5
代入上式，m=-2.
18. （本小题满分 12 分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即
等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，
则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．
的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。
（1） 求的分布列；
（2） 求的数学期望。
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、
随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
（1） 必须要走到 1 号门才能走出，可能的取值为 1，3，4，6
(
P
1)
1
3
，
(
P
3)
1 1
3 2
1
6
，
(
P
4)
1 1
3 2
1
6
，
P
(
6)
2
A
2
(
1 1
3 2
) 1
1
3
分布列为：
1
P
1
3
3
1
6
6
1
3
4
1
6
1
6
（2）
E 小时
1
3
4
6
1
3
1
6
1
3
7
2
19. （本小题满分 12 分）
设函数
0)
ln 2
f x
（1）当 a=1 时，求
f x 的单调区间。
(
ax a
ln
x
x
。
（2）若
f x 在
0 1， 上的最大值为
1
2
，求 a 的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：
( )
f x
1
x
1
2
x
a
，定义域为（0，2）
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
当 a=1 时，令
( ) 0
f x
得
1
x
1
2
x
+1=0
2
x
x
（ ）
2
x
2
0
当 (0, 2),
x
f x
( ) 0,
为增区间；当 ( 2 2),
，
x
f x
( ) 0,
为减函数。
（2） 区间
0 1， 上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确
定
待定量 a 的值。
0 1
当
x ， 有最大值，则必不为减函数，且
最大值在右端点取到。 max
f
f
(1)
20. （本小题满分 12 分）
。
a
1
2
( )
f x
1
x
1
2
x
a
>0，为单调递增区间。
如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 平面
BCD，AB 平面 BCD，
。
AB
2 3
（1） 求点 A 到平面 MBC 的距离；
（2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。
【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面
角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能
力和推理能力
解法一：（1）取 CD中点 O，连 OB，OM，则 OB⊥CD，
OM⊥CD.又平面 MCD 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD ，所以 MO∥AB，A、
B、O、M共面.延长 AM、BO相交于 E，则∠AEB就是 AM与平面 BCD所成的
角.OB=MO= 3 ，MO∥AB，MO//面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OH BC
于 H，连 MH，则 MH BC，求得：
OH=OCsin600=
3
2
,MH=
15
2
V
A MBC
V
M ABC
d
2 15
5
。
, 利 用 体 积 相 等 得 ：
（2）CE是平面 ACM 与平面 BCD 的交线.
由（1）知，O是 BE的中点，则 BCED是菱形.
作 BF⊥EC于 F，连 AF，则 AF⊥EC，∠AFB就是二面角 A-EC-B的平面角，设为.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
BF BC
sin 60
3
，
AB
BF
tan
，
2
sin
2 5
5
所以，所求二面角的正弦值是
2 5
5
.
【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊
位置的元素解决
解法二：取 CD中点 O，连 OB，OM，则 OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 MCD 平面 BCD ,
则 MO⊥平面 BCD .
以 O为原点，直线 OC、BO、OM为 x轴，y轴，z轴，建立空间直
角坐标系如图.
OB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（0，0，0），C（1，0，0），M
（0，0， 3 ），B（0，- 3 ，0），A（0，- 3 ，2 3 ），
A
B
z
M
D
O
y
（1）设 ( ,
, )
x y z
n
BM
(0, 3, 3)
是平面 MBC 的法向量，则 BC=(1, 3,0)
，
； 由 n BM
3
0
y
得
， 由 n BC
n
x
得
BA
3
y
3
z
；取 ( 3, 1,1),
0
(0,0,2 3)
，则距离
x
C
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