2012年湖南高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2012 年湖南高考理科数学试题及答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则 M∩N= A.{0} 【答案】B B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【解析】 N   0,1 M={-1,0,1} M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出 N  ,再利用交集定义得出 M∩N. 2.命题“若α= ，则 tanα=1”的逆否命题是  0,1  4  4  4 A.若α≠ ，则 tanα≠1 B. 若α= ，则 tanα≠1 C. 若 tanα≠1，则α≠ D. 若 tanα≠1，则α= 【答案】C  4  4 【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 p ，则 q ”，所以 “若α= 的逆否命题是 “若 tanα≠1，则α≠  4 ”.  4 ，则 tanα=1” 【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何

体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（ x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D 【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 ˆ y  bx a   bx   ( y bx a   y bx ) ，所以回归直线过样本点的中心（ x ， y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 5. 已知双曲线 C ： 2 2 x a - 2 2 y b =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 A． 2 x 20 - 2 y 5 =1 B. 2 x 5 - 2 y 20 =1 C. 2 x 80 - 2 y 20 =1 D. 2 x 20 - 2 y 80 =1 【答案】A 【解析】设双曲线 C ： 2 2 x a b a - 2 2 y b =1 的半焦距为 c ，则 2 c  10, c 5  . 又C 的渐近线为 y   ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上， 1 x    ，即 2 b a . 2b a 又 2 c  2 a 2  ， b   a 2 5, b  ，C 的方程为 5 2 x 20 - 2 y 5 =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

6. 函数 f（x）=sinx-cos(x+  6 )的值域为 A． [ -2 ,2] B.[- 3 , 3 ] C.[-1,1 ] D.[- 3 2 【答案】B 【解析】 f （ x ） =sinx-cos(x+  6 )  sin x  3 2 cos x  , 1 2 3 2 ] sin x  3 sin( x   ) 6 ，  sin( x      1,1  ) 6 ， ( ) f x 值域为[- 3 , 3 ]. 【点评】利用三角恒等变换把 ( ) f x 化成 sin( A x  的形式，利用 ) ( ) f x 的值域.   7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3， AB BC  = 1 则 BC  ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23 sin( x    ，求得 1,1 )   【答案】A   【解析】由下图知 AB BC    AB BC = cos(  B ) 2    BC ( cos   B ) 1  .  cos B  1 2 BC  .又由余弦定理知 cos B  2 AB 2 AC 2 BC   2 AB BC  ，解得 BC  3 . 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、   等价转化思想等数学思想方法.需要注意 ,AB BC 的夹角为 B 的外角. 8．已知两条直线 1l ：y=m 和 2l ： y= 8 1m  2 (m＞0)， 1l 与函数 y  log 2 x 的图像从左至右相交于点 A，B ， 2l 与函数 y  log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时， b a 的最小值为 A．16 2 B.8 2 C.8 4 D. 4 4 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m，y= 8 1m  2 (m＞0)， y  log 2 x 图像如下图，由 2 log x = m，得 1 x  m 2 , x 2 m  ， 2 log x = 2 8 1m  2 ，得 x 3  2  8 1 m  2 8 , x 4  1  2 2 m .

依照题意得 a   m 2  2  8 1 m  2 , b  m 2  2 8 m 2 1  , b a  8 m 2 1  m 2  2  8 1 m  2  m 2  2  m 2 2 8 m 2 1  m  8 1 m  2 .  2  m  8 m  2 1  m   1 2 4  m 1 2 1 2     4 1 2 3 1 2 ，  ( b a ) min  8 2 . 【点评】在同一坐标系中作出 y=m，y= 8 1m  2 (m＞0)， y  log 2 x 图像，结合图像可解得. 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C ： 1, t x       1 2 t y  (t 为参数)与曲线 2C ： x    y sin , a  3cos  (为参数， 0 a  ) 有一个公共点在 X 轴上，则 __ a  . 【答案】 3 2 【解析】曲线 1C ： 1, t x       1 2 t y  直角坐标方程为 3 2   ，与 x 轴交点为 y x 3( 2 ,0) ；曲线 2C ： x    y sin , a  3cos  直角坐标方程为 2 2 x a  2 y 9  ，其与 x 轴交点为 ( 1  a ,0),( ,0) a ，由 0 a  ，曲线 1C 与曲线 2C 有一个公共点在 X 轴上，知 a  . 3 2 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线 1C 与曲线 2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与 x 轴交点，即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______. 【答案】 x x     1 4    【解析】令 ( ) f x  2 x 1 2   x  ，则由 ( ) 1 f x          3,( x   ) 1 2 x 1 2  3,( x 1) 4 x  1,(    1) 得 ( ) f x 0 的解集为

x x     1 4    . 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. 11.如图 2，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A，B 两点.若 PA=1，AB=2，PO=3，则圆 O 的半径等于_______. 【答案】 6 【解析】设 PO 交圆 O 于 C，D，如图，设圆的半径为 R，由割线定理知 PA PB PC PD    , 1 (1 2) 即    (3- )(3 r    ), r r 6. D B  O C P A 【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 PA PB PC PD  ，从   而求得圆的半径. (二)必做题（12~16 题） 12.已知复数 z  (3  i ) 2 (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10 【解析】 z  (3  i ) 2 = 9 6 i   2 i   ， 8 6 i z  2 8  2 6  10 . 【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 a bi a b R ( ,  形式，利用  ) z  2 a 2  求得. b 13.( 2 x - 1 x 【答案】-160 )6 的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）

【解析】( 2 x - 1 x )6 的展开式项公式是 rT   1 C (2 r 6 6  r x ) (  1 x r )  r C 2 6 6  r r ( 1)  x 3  r .由题意知3   r 0, r  ，所以二项展开式中的常数项为 3 T  4 3 3 6C 2 ( 1)  3   160 . 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 x   ,n=3,则输出的数 S= 1 . 【答案】 4 【解析】输入 x   3( 1) 1 1 5 1 ,n=3, ，执行过程如下： i  2 : S       ； 6 2 3 3 i  1: S       ； 0 :  i S       ，所以输出的是 4 . 5( 1) 0 1 4 【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错. 15.函数 f（x）=sin ( x  )的导函数 y f x ( ) 的部分图像如图 4 所示，其中，P 为图像与 y 轴的交点，A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. （1）若  ，点 P 的坐标为（0，  6 3 3 2 ），则 ; （2）若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .

【答案】（1）3；（2）  4 【解析】（1） y f x ( )  )    cos(  ，当 x  ，点 P 的坐标为（0，  6 3 3 2 ）时  cos  6  3 3 2 ,   ；  3 （2）由图知 AC  2   2   ， T 2  S  ABC  1 2 AC     2 ，设 ,A B 的横坐标分别为 ,a b . 设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则 S  b  a  ( ) f x dx  ( ) f x b a  sin( )    a  sin( )    b  2 ，由几何概型知该点在△ABC 内的概 SP  率为  ABC  S  2 2   4 . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点 P 在图像上求，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. 16.设 N=2n（n∈N*，n≥2），将 N 个数 x1,x2,…，xN 依次放入编号为 1,2，…，N 的 N 个位置，得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 N N 2 2 个数，并对每段作 C 变换，得到 2p ；当 2≤i≤n-2 时，将 Pi 分成 2i 段，每段个位置，得到排列 P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为 C 变换，将 P1 分成两段，每段个数，并对每段 N 2 和后 N 2i C 变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. （1）当 N=16 时，x7 位于 P2 中的第___个位置；（2）当 N=2n（n≥8）时，x173 位于 P4 中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2） n 3 2 4  11

【解析】（1）当 N=16 时, P 0  x x x x x x 1 2 3 4 5 6  ,可设为(1,2,3,4,5,6, x 16 ,16) , P x x x x 1 1 3 5 7   x x x x 15 2 4 6  ,即为 (1,3,5,7,9, x 16  2,4,6,8,  , ,16) P 2  x x x x x x x x x x 1 5 9 13 3 7 11 15 2 6  ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15,2,6, x 16 ,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 n 3 2 4 11  个位置. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 x 结算时间（分钟/人） 1 顾客数（人） y 2.5 1.5 30 25 10 2 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％. （Ⅰ）确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5 分钟的概率. （注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得 25   y 10 55,  x   所以 15, 35,  y x y  20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 3 10 1 . 10 30 100 10  100 3 , 20 1  5 15 100  25 100 20 100 ( p X ( p X ( p X ( p X ( p X 1.5) 2.5) 1 4 2)  1)   3)   ,    ,     , X 的分布为 X P 1 3 20 1.5 3 10 2 1 4 2.5 1 5 3 1 10 X 的数学期望为 ) 1 E X   ( 3 20  1.5  3 10    2 1 4 2.5 3    1 5 1 10  1.9 . （Ⅱ）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”， ( iX i  1,2) 为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则 ( ) P A  ( P X  1 X 且 1)   ( P X  1 X 且 2 1 2 1  1.5)  ( P X  1.5 X 且 2 1  1) .

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