2021 年安徽高考理科数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.设 2(z+ )+3(z- )=4+6i,则 z=( ).
A.1-2i
B.1+2i
C.1+i
D.1-i
2.已知集合 S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则 S∩T=( )
A.
B.S
C.T
D.Z
3.已知命题 p: x∈R,sinx<1;命题 q: x∈R, ≥1,则下列命题中为真命题的是( )
A.p q
B. p q
C.p
q
D. (pVq)
4.设函数 f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1
D.f(x+1)+1
5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 B1D1 的中点,则直线 PB 与 AD1 所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
6.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训,每
名志愿者只分到 1 个项目,每个项目至少分配 1 名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60 种
B.120 种
C.240 种
D.480 种
7.把函数 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右
平移 个单位长度,得到函数 y=sin(x- )的图像,则 f(x)=( )
A.sin(
)
B. sin(
)
C. sin(
D. sin(
)
)
8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1 个数,则两数之和大于 的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海盗的高。
如图,点 E,H,G 在水平线 AC 上,DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,
称为“表高”,EG 称为“表距”,GC 和 EH 都称为“表目距”,GC 与 EH 的差称为“表目距的
差”。则海岛的高 AB=( ).
A:
B:
C:
D:
10.设 a≠0,若 x=a 为函数
的极大值点,则( ).
A:a<b
B:a>b
C:ab<a2
D:ab>a2
11.设 B 是椭圆 C:
(a>b>0)的上顶点,若 C 上的任意一点 P 都满足
,
则 C 的离心率的取值范围是( ).
A:
B:
C:
D:
12.设
,
,
,则( ).
A:a<b<c
B:b<c<a
C:b<a<c
D:c<a<b
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知双曲线 C:
(m>0)的一条渐近线为 +my=0,则 C 的焦距为
.
14.已知向量 a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=
。
15.记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则
b=
.
16.以图①为正视图和俯视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个
三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为
(写出符合要求的一组
答案即可).
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台
旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧 设
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
备
新 设
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
备
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ,样本方差分别记为 s1
2 和
2
s2
(1) 求 , , s1
2,s2
2;
(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 - ≥
,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认
为有显著提高).
18.(12 分)
如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,PD⊥底面 ABCD,PD=DC=1,M 为 BC 的中点,且 PB⊥AM,
(1) 求 BC;
(2) 求二面角 A-PM-B 的正弦值。
19.(12 分)
记 S n 为数列{an}的前 n 项和,bn 为数列{Sn}的前 n 项和,已知
=2.
(1) 证明:数列{bn}是等差数列;
(2) 求{an}的通项公式.
20.(12 分)
设函数 f(x)=ln(a-x),已知 x=0 是函数 y=xf(x)的极值点。
(1) 求 a;
(2) 设函数 g(x)=
,证明:g(x)<1.
21.(12 分)
己知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,且 F 与圆 M:x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小
值为 4.
(1)求 p;
(2)若点 P 在 M 上,PA,PB 是 C 的两条切线,A,B 是切点,求 PAB 的最大值.
(二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4 一 4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中, C 的圆心为 C(2,1),半径为 1.
(1)写出 C 的一个参数方程;的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过点 F(4,1)作 C 的两条切线, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系,求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修 4 一 5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥6 的解集;
(2)若 f(x)≥ —a ,求 a 的取值范围.
理科数学乙卷(参考答案)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
1-5 CCABD
6-10 CBBAD
11-12 CB
13.4
14.
15.2
16.②⑤或③④
17.解:(1)各项所求值如下所示
= (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0
= (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3
= x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2
x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,
=
x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x
(10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.
(2)由(1)中数据得 - =0.3,2
≈0.34
显然 - <2
,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。
18.解:(1)因为 PD⊥平面 ABCD,且矩形 ABCD 中,AD⊥DC,所以以 ,
, 分别为 x,
y,z 轴正方向,D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz。
设 BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M( ,1,0),P(0,0,1),所以 =(t,1,-1), =
( ,1,0),
因为 PB⊥AM,所以 •
=- +1=0,所以 t= ,所以 BC= 。
(2)设平面 APM 的一个法向量为 m=(x,y,z),由于 =(- ,0,1),则