2020年山西高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2020年山西高考文科数学试题及答案注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A  { | x x 2  3 x   4 0}, B A．{ 4,1}  C．{3,5} 2．若 z   1 2i 3  ，则| i | =z A．0 C． 2   { 4,1,3,5} ，则 A B  B．{1,5} D．{1,3} B．1 D．2 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A． 5 1  4 B． 5 1  2 C． 5 1  4 D． 5 1  2 4．设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为 A． C． 1 5 1 2 B． D． 2 5 4 5 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位：℃）的关系，在 20 个不同的温度

条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( , x y i i )( i   得到下面的散点图： ,20) 1,2, 由此散点图，在 10℃至 40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型的是 A． y   a bx C． y   a b ex B． y   a bx 2 D． y   a b ln x 6．已知圆 2 x  2 y  6 x  ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 0 A．1 C．3 7．设函数 ( ) f x x cos( B．2 D．4  在[−π，π]的图像大致如下图，则 f（x）的最小正周期为 ) π 6 A． 10π 9 C． 4π 3 8．设 a log 4 3  ，则 4 a  2 A． 1 16 B． 1 9 9．执行下面的程序框图，则输出的 n= B． 7π 6 D． 3π 2 C． 1 8 D． 1 6

A．17 B．19 C．21 D．23 10．设{ }na 是等比数列，且 1 a  a 2  a 3 1 a  ， 2  4+ a a 3 a  ，则 6 2  a 7  a 8  A．12 B．24 C．30 D．32 11．设 1 ,F F 是双曲线 2 C x  : 2 2 y 3  的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在C 上且| 1 OP  ，则 | 2 PF F△ 1 2 的面积为 A． 7 2 ,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙ 1O 为 ABC△ C． 5 2 B．3 12．已知 , D．2 的外接圆，若⊙ 1O 的面积为 4π ， AB BC AC OO 1    ，则球O 的表面积为 A． 64π B． 48π C．36π D．32π 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若 x，y满足约束条件 y x 2 2 0,         1 0, x y     1 0, y  则 z=x+7y的最大值为. 14．设向量 (1, 1),   a b  ( m  1,2 m  4) ，若 a b ，则 m  . 15．曲线 ln  y x   的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为. x 1 16．数列{ }na 满足 2 n    ( 1) a n a n  3 n 1  ，前 16 项和为 540，则 1a  . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级频数乙分厂产品等级的频数分布表等级频数 A 40 A 28 B 20 B 17 C 20 C 34 D 20 D 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 18．（12 分） ABC△ 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°. （1）若 a= 3 c，b=2 7 ，求 ABC△ （2）若 sinA+ 3 sinC= 2 2 ，求 C. 的面积； 19．（12 分）如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， ABC△ 是底面的内接正三角形， P 为 DO 上一点， ∠APC=90°．

（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC；（2）设 DO= 2 ，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P−ABC的体积. 20．（12 分）已知函数 ( ) f x  x e  ( a x  2) . （1）当 1a  时，讨论 ( ) f x 的单调性；（2）若 ( ) f x 有两个零点，求 a 的取值范围. 21．（12 分）已知 A、B分别为椭圆 E： 2 2 x a  2 y  （a>1）的左、右顶点，G为 E的上顶点， 1   AG GB  8 ，P为直线 x=6 上的动点，PA与 E的另一交点为 C，PB与 E的另一交点为 D．（1）求 E的方程；（2）证明：直线 CD过定点. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为   x  y  , k cos k sin t t (t 为参数 ) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos      16 sin   ． 3 0 （1）当 1 k  时， 1C 是什么曲线？（2）当 4 k  时，求 1C 与 2C 的公共点的直角坐标． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 ( ) f x | 3  x 1| 2 |   x 1|  ．

（1）画出 y  ( ) f x 的图像；（2）求不等式 ( ) f x  ( f x 1)  的解集．文科数学试题参考答案(A 卷) 2．C 6．B 10．D 3．C 7．C 11．B 4．A 8．B 12．A 14．5 15．y=2x 16．7 选择题答案一、选择题 1．D 5．D 9．C 非选择题答案二、填空题 13．1 三、解答题 17．解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40 100 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28 100  ； 0.4  0.28 . （2）由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为利润 65 25 −5 −75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为  65 40 25 20 5 20 75 20 15       100  .

由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为利润 70 30 0 −70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为  70 28 30 17 0 34 70 21 10        100 . 比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18．解：（1）由题设及余弦定理得 28 3 c  2  2 c 2   2 3 c  cos150  ，解得 c   （舍去）， 2c  ，从而 2 3 2 . a  1 2 3 2 sin150  2 中， 180 B C       A  ABC△ 的面积为（2）在 ABC△   ． 3 30   ，所以 C sin A  3 sin C  sin(30   C )  3 sin C  sin(30 故 sin(30 C  )  2 2 .   ， C ) 而 0 C   30  ，所以30 C   45  ，故 C   . 15 19．解：（1）由题设可知，PA=PB= PC．由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB． △PAC≌△PBC．又∠APC =90°，故∠APB=90°，∠BPC=90°．从而 PB⊥PA，PB⊥PC，故 PB⊥平面 PAC，所以平面 PAB⊥平面 PAC．（2）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l．由题设可得 rl= 3 ， 2 l 2 r  ． 2 解得 r=1，l= 3 ，从而 AB  ．由（1）可得 2 PA 3  2 PB  2 AB ，故 PA PB PC    ． 6 2 所以三棱锥 P-ABC的体积为 1 1 3 2   PA PB PC      1 1 3 2 ( 6 2 3 )  ． 6 8

20．解：（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则 f x（）=ex–1．当x<0时， f x（）<0；当x>0时， f x（）>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2） f x（）=ex–a．当a≤0时， f x（）>0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增，故f（x）至多存在1个零点，不合题意．当a>0时，由 f x（）=0可得x=lna．当x∈（–∞，lna）时， f x（）<0；当x∈（lna，+∞）时， f x（）>0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）．（i）若0≤a≤ 1 e ，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．（ii）若a> 1 e ，则f（lna）<0．由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时， ( ) f x  e x 2 x 2  e  ( a x  2)  e ln(2 ) a  ( x 2  2)  ( a x  2)  2 a  ． 0 故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．综上，a的取值范围是（ 21．解：（1）由题设得 ( A a  1 e ,0),  AG a ( ,1)  GB ，则 a ( , 1)  ，+∞）． ( ,0), B a G (0,1) ．．由   AG GB  8 得 2 1 8 a   ，即 3 a  ．

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