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2019年新疆高考文科数学真题及答案.doc
2019 年新疆高考文科数学真题及答案
本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清
楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上
答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ={ |
A x x ， { |
1}
x x
，则 A∩B=
2}
B
A．(-1，+∞)
C．(-1，2)
2．设 z=i(2+i)，则 z =
A．1+2i
C．1-2i
3．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=
A． 2
C．5 2
B．(-∞，2)
D．
B．-1+2i
D．-1-2i
B．2
D．50
4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只
测量过该指标的概率为
A．
C．
2
3
2
5
B．
D．
3
5
1
5
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙
C．丙、乙、甲
B．乙、甲、丙
D．甲、丙、乙
6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)=e
1x ，则当 x<0 时，f(x)=
A．e
1x
C． e
1x
B． e
1x
D． e
1x
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．若 x1=
4
，x2=
4
A．2
C．1
是函数 f(x)=sin x (>0)两个相邻的极值点，则=
B． 3
2
D． 1
2
9．若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
x
3
2
p
2
y
p
的一个焦点，则 p=
1
A．2
C．4
B．3
D．8
10．曲线 y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为
A．
x
y
1 0
B． 2
x
y
1 0
2
C． 2
x
y
1 0
2
D．
x
y
1 0
11．已知 a∈（0，
π
2
），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=
A．
1
5
C． 3
3
B． 5
5
D． 2 5
5
12．设 F为双曲线 C：
2
2
x
a
2
2
y
b
（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以 OF为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交
1
于 P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则 C的离心率为
A． 2
C．2
B． 3
D． 5
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若变量 x，y满足约束条件
2
x
y
3
6
x
y
3 0
y
0
2
，
0
，
，
则 z=3x–y的最大值是___________.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有
20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点
率的估计值为___________.
15． ABC△
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正
多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所
有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱
长为_________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA1 上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面 EB1C1；
（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥
18．（12 分）
E BB C C
1
1
的体积．
已知{ }na 是各项均为正数的等比数列， 1
a
2,
a
3
2
a
2
16
.
（1）求{ }na 的通项公式；
（2）设
b
n
log
a
n
，求数列{ }nb 的前 n项和．
2
19．（12 分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度
相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表．
y 的分组
[ 0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）．（精确到 0.01）
附： 74
8.602
.
20．（12 分）
已知 1
,F F 是椭圆
2
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的两个焦点，P为 C上一点，O为坐标原点．
0)
b
（1）若
POF△
2
为等边三角形，求 C的离心率；
PF
（2）如果存在点 P，使得 1
PF
2
，且 1
F PF△
2
的面积等于 16，求 b的值和 a的取值范围．
21．（12 分）
已知函数 ( )
f x
(
x
1)ln
x
．证明：
x
1
（1） ( )
f x 存在唯一的极值点；
（2） ( )=0
f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，O为极点，点
垂直，垂足为 P.
M 在曲线 :
C
0)
)(
(
0
,
0
0
4sin
上，直线 l过点 (4,0)
A
且与OM
（1）当 0=
3
时，求 0 及 l的极坐标方程；
（2）当 M在 C上运动且 P在线段 OM上时，求 P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 ( )
f x
|
x a x
|
|
x
2 | (
x a
).
（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0
f x 的解集；
（2）若 (
x 时， ( ) 0
f x ，求 a 的取值范围.
,1)
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
1．C
7．B
2．D
8．A
3．A
9．D
4．B
5．A
6．D
10．C
11．B
12．A
13．9
14．0.98
15． 3π
4
16．26； 2 1
17．解：（1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE 平面 ABB1A1，
故 1
1B C
BE ．
又
BE EC
1
，所以 BE⊥平面 1
EB C ．
1
（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以
AEB
A EB
1
1
，故 AE=AB=3，
45
AA
1
2
AE
6
.
作
EF
BB
1
，垂足为 F，则 EF⊥平面 1
所以，四棱锥
E BB C C
1
1
的体积
V ．
EF AB
．
3
1
BB C C ，且
1 3 6 3 18
3
18．解：（1）设 na 的公比为q，由题设得
22
q
4
q
，即 2 2
16
q
q
．
8 0
解得
q （舍去）或q=4．
2
因此 na 的通项公式为
na
2 4
n
1
2
2
n
1
．
（2）由（1）得
nb
(2
n
1)log 2
2
2
n
，因此数列 nb 的前n项和为
1
1 3
2
1n
2
n
．
19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
14 7
100
0.21
．
产值负增长的企业频率为 2
100
0.02
．
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企
业比例为2%．
（2）
y
2
s
1
100
i
1
1 ( 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7)
100
5
n y
i
i
y
2
0.30
，
1
100
( 0.40)
2
2 ( 0.20)
2
24 0
2
53 0.20
2
14 0.40
2
7
=0.0296 ，
s
0.0296
0.02
74
0.17
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
20．解：（1）连结 1PF ，由
POF△
2
为等边三角形可知在 1
F PF△
2
F PF
2
90
， 2PF
c ， 1
PF
3
c
，
于是
2
a
PF
1
PF
2
( 3 1)
，故C 的离心率是
c
（ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 满 足 条 件 的 点 ( ,
中， 1
c
a
e
3 1
.
P x y 存 在 ． 当 且 仅 当 1 |
2
y
)
| 2
c
，
16
y
x
c x
y
c
1
，
2
2
x
a
2
2
y
b
2
x
2
y
2
2
x
a
2
2
y
b
，即 |
c y ，①
| 16
1
2
，②
c
，③
1
由②③及 2
a
2
b
2
得
c
2
y
，又由①知
4
2
b
c
2
y
2
16
2
c
，故 4b ．
由②③得
2
x
2
c
2
2
a
c
2
，所以 2
c
b
2
b ，从而 2
a
2
b
2
c
22
b
故 4 2
a
32,
.
a
当 4b ， 4 2
所以 4b ， a 的取值范围为[4 2,
时，存在满足条件的点P．
) ．
21．解：（1） ( )
f x 的定义域为（0，+ ）.
( )
f x
x
1
x
ln
x
1 ln
x
.
1
x
因为 ln
y
x
单调递增，
单调递减，所以 ( )
f x 单调递增，又 (1)
f
，
1 0
y
ln 4 1
1
x
0
，故存在唯一 0
x
(1,2)
，使得
0
x
f
0
.
f
(2)
ln 2
1
2
2
， ( )
又当
x
x 时， ( ) 0
f x
0
f x 单调递减；当
x
f x
x 时， ( )
0
， ( )
f x 单调递增.
0
因此， ( )
f x 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知
0
f x
f
(1)
，又
f
2
2
e
2
e
x .
由
x
0
得
1
1
1 x
0
.
，所以 ( )
3 0
f x 在
0
0,x 内存在唯一根
又 1
1
f
1 ln
1
1
1
f
(
)
0
，故
1
是 ( )
f x 在
0
00, x 的唯一根.
综上， ( )
f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
0
22．解：（1）因为
0,M 在C上，当 0
0
由已知得|
OP OA
|
|
| cos
3
2
.
时， 0
3
4sin
3
2 3
.
设 (
Q 为l上除P的任意一点.在 Rt OPQ△
)
,
中， cos
3
|
OP
| 2
，
经检验，点 (2,
P
3
)
在曲线 cos
3
2
上．
所以，l的极坐标方程为 cos
3
2
．
（2）设 (
P ，在 Rt OAP△
)
,
中，|
OP OA
|
|
| cos
4cos ,
即
4cos
．
因为P在线段OM上，且 AP OM
，故的取值范围是 ,
4 2
.
所以，P点轨迹的极坐标方程为
4cos ,
4 2
,
.
23．解：（1）当 a=1 时， ( )=|
f x
x
1| +|
x x
2|(
x
1)
.
当 1x 时，
( )
f x
2(
x
1)
2
；当 1x 时， ( ) 0
f x .
0
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