2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设总体 X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 N 2 (0, 3 ) ，而 1 X X , ( X , ) 和 1 ( , Y Y 2 9 2 Y 是分 ) , 9 别来自 X 和Y 的样本，则 U  X X    1 9 2 2 Y Y    1 9 服从的分布是_______ . 解： (9) t ． 2，设 1 ˆ 与 2 ˆ 都是总体未知参数的估计，且 1 ˆ 比 2 ˆ 有效，则 1 ˆ 与 2 ˆ 的期望与方差满足_______ . ˆ (  解： 1 E )  E ˆ (  2 ), D ˆ (  1 )  D ˆ (  2 ) ． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型  Y βX 中，β的最小二乘估计是 ˆβ= _______ .  解： ˆ β= ( )XX   1 X Y ． 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1，设 1 X X , ( ,  , X 2 n ) ( n  2) 为来自总体 (0,1) N 的一个样本， X 为样本均值， 2S 为样本方差，则 ____D___ . （A） nX N (0,1) ； （C） ( n X 1)  S  ( ) t n ； （B） 2 nS 2( ) n ； 2 1  F (1, n  1) . ( （D） 1) X n  n  2 X i i  2 2，若总体 2 X N   (  , ) ，其中 2 已知，当置信度1  保持不变时，如果样本容量 n 增大，则的 置信区间____B___ . （A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量 n 一定时， 下列说法中正确的是____C___ . （A）减小时也减小； （B）增大时也增大； （C） , 其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设 TS 为总离差平方和， eS 为误差平方和， AS 为效应平方 1 

和，则总有___A___ . S （A） T  S e  ； S A （B） AS 2   2 ( r  1) ； （C） S S A e 1) /( r  ) /( n r   ( F r  1, n r  ) ； （D） AS 与 eS 相互独立. 5，在一元回归分析中，判定系数定义为 2 R  回 ，则___B____ . S S T （A） 2R 接近 0 时回归效果显著； （B） 2R 接近 1 时回归效果显著； （C） 2R 接近  时回归效果显著； （D）前述都不对. 三、（本题 10 分）设总体 2 X N   1(  , ) 、 2 Y N   2(  , ) ， ( X X 1 , 2 , X , )n 1 和 ( , Y Y 1 2 , , Y )n 2 分别 是来自 X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y、 和 2 S X S、 分别是它们的样本均值和样本方差，证明 2 Y  1 n 1 1 (   2   1 n 2 )  ( t n 1  n 2  2) ， ( ) X Y  S 其中 2 S   ( n 1  1) S n 1 2 X   n 2 ( n  2 2  1) S 2 Y . 证明：易知 X Y N   (   2  1 , 2 2   n n 1 2  ) ， U  ( X Y   )  1 n 1 (   2 )  N (0,1) ．  1 1 n 2  由定理可知 ( n 1 S 2 X 1)  2   2 ( n 1  1) ， ( n 2 S 2 Y 1)  2   2 ( n 2  1) ． 由独立性和 2 分布的可加性可得 (  V n 1 1)  2  由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得  1 n 2 ) X Y  S (   2   1 n 1 ( 1 S 2 X ( n 2  S 2 Y 1)  2   2  ( n  n 2 1  2) ． )  U  /( V n 1 n 2  2)  ( t n 1  n 2  2) ． 四、（本题 10 分）已知总体 X 的概率密度函数为 ( ) f x 2  e x  ,  1     0, 其它 x  0 , 其中未知参数 0 , 

( X X 1 , , X , )n 2 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量． 解：（1） v 1   E X      xf x dx ( )    0 1  x  xe dx    v ，用 1  1 n  n  1 i X i X 代替，所以 ˆ  1 n n  i 1  X i  X ． （2） ˆ( )  E  E X ( )  1 n n  i 1  E X ( ) i  E X ( )   ，所以该估计量是无偏估计． 五、（本题 10 分）设总体 X 的概率密度函数为 ( ; f x )  )   (1 x , 0    ，其中未知参数 x 1 1  ， ( , X X 1 , 2 X 是来自总体 X 的一个样本，试求参数的极大似然估计． )n 解： L ( )      n  1 i  x i n 1) ( ( ) , 0     0 , x i  1 其它 当 0 1ix  时， ln ( )  L  n ln(    ，令 1)   ln x i n i 1  d ln ( ) L  d   n n   1   1  i ln x i  0 ，得 ˆ  1    ． n ln x i n  i 1  六 、（ 本 题 10 分 ） 设 总 体 X 的 密 度 函 数 为 ( ; f x )  ,  x e     0,  x x > 0; 0,  未 知 参 数 0 ， ( , X X 1 2 , X 为总体的一个样本，证明 X 是 1  证明：由指数分布的总体满足正则条件可得 )n 的一个 UMVUE． I ( )    E 2  2      ln ( ; f x )    E    1  的的无偏估计方差的 C-R 下界为 1 2 1   2        ， 另一方面 2  [( ) ] 1  ( ) nI   2 1     2    1 n 2   1 2 n  ． E X ( ) 1  ， Var( )X  1 2 n ， 3 

即 X 得方差达到 C-R 下界，故 X 是 1  的 UMVUE． 七、（本题 10 分）合格苹果的重量标准差应小于 0.005 公斤．在一批苹果中随机取 9 个苹果称重, 得 下, 可否认为该批苹果重量标准差达到 公斤, 试问：（1）在显著性水平 05.0 其样本标准差为 要求? （2）如果调整显著性水平 .0S 007  0.025 ，结果会怎样？ 参考数据:  2 .0 025 )9(  .19 023 ,  2 05.0 )9(  .16 919 ,  2 .0 025 )8(  .17 535 ,  2 05.0 )8(  .15 507 ． 解：（1） 2 H  : 0  0.005, 2   2 S  n  1  2  ~ 2    8 ，则应有：  2 P   0.05  2   8   0.005,  2  0.05 (8) 15.507  ， 具体计算得： 2   2 8 0.007  2 0.005  15.68 15.507,  所以拒绝假设 0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要 求． （2）新设 H   0 : 2 0.005, 由 2  0.025  17.535,   2  2 8 0.007  2 0.005  15.68 17.535,  则接受假设， 即可以认为苹果重量标准差指标达到要求． 八、（本题 10 分）已知两个总体 X 与Y 独立， X   ， ~ ( ) , 2 1 1 Y   ， ~ ( ) , 2 2 2     未知， 1 , , , 2 1 2 2 2 ( X X 1 , 2 , X , )n 1 和 ( , Y Y 1 2 , , Y )n 2 分别是来自 X 和Y 的样本，求 2  1 2  2 的置信度为1  的置信区间. 解：设 2 S X , 2 S 分别表示总体 X Y， 的样本方差，由抽样分布定理可知 Y ( n 1 S 2 X 1)  2  1  2 ( n 1  1) ， ( n 2 S 2 Y 1)  2  2  2 ( n 2  1) ， 由 F 分布的定义可得 ( n 1 ( n 2 F  S 2 X S 2 Y 1)  2  1 1)  2  2 ( n 1  1) ( n 2  1)  2 S X 2 S Y 2  2 2  1  ( F n 1  1, n 2  1) ． 对于置信度1  ，查 F 分布表找 / 2 F  ( n 1  1, n 2 1) F  和 1  / 2 ( n 1  1, n 2 1)  使得  P F  / 2 ( n 1  1, n 2 1)   F F 1    / 2 ( n 1  1, n 2  1)  1   ，  即 P    2 S X ( n 1 /  2 S Y 1, n 2  1)  2  1 2  2  S n 1 2 2 / S Y X 1, n  2     1) F  / 2 ( F 1   / 2 1    ， 4 

2  1 所求 2  2 的置信度为 1 的置信区间为    2 S X ( n 1 2 / S Y 1,  n 2 F 1   / 2 ,  1) F  / 2 ( 2 X S n 1 2 / S Y 1, n  2    ．  1) 九、(本题 10 分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤． 解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测． 5