5 10 15 20 25 30 35 40 中国科技论文在线 需求不确定的两阶段的报童扩展定价模型 http://www.paper.edu.cn 刘红娟* （暨南大学经济学院统计学，广州 510632） 摘要：本文将市场的销售分为两个时期，并在两阶段的需求函数中引入风险因子，说明了在 风险因子大于零的情况下，为了使零售商与供应商、消费者之间所形成的供应链的整体效益 得到提升，零售商常常采用降价销售策略。并进一步讨论了两阶段的需求函数下零售商如何 制定最优的定价策略以及定价数量策略以实现利润最大化，得出了在考虑缺货损失因子下， 适当的降价有利于提高零售商的最优订货量，进而最优化期望利润，并在风险度量准则条件 风险估值 CVaR 下对该风险模型下的策略进行度量和分析，进而为零售商管理风险和规避风 险提供依据。 关键词：报童模型；歧视定价；需求不确定；两阶段定价；CVaR 中图分类号：F224.7;O211. Demand uncertainty of newsvendor extension model with two-stage pricing Liu Hongjuan (Jinan University of Economics, Department of Statistics, GuangZhou 510632) Abstract: ISales can be divided into two periods ,this paper introduces this risk factors in two phase of the demand function ,and shows that under the condition of the risk factor that is greater than zero,in order to make the overall efficiency of the supply chain which is formed by retails, suppliers,and customers improved,retailers often adopt the price sales strategy.And the paper further discusses that under the two stages of the demand function,the retailers are how to develop the optimal order quantities and the pricing strategy in order to realize the profit maximization.It obtained that the appropriate price sales can improve the retailer's optimal order quantity,and then increase the optimal expected profits. Under conditional value at risk criterion,the paper measures the risk of the model and makes some analysis,which provide some suggestions for retailers to manage risk and avoid risk. Keywords: newsvendor; pricing discrimination; demand uncertainty; two-stage pricing; CVaR 0 引言 报童模型在 1956 年首次被提出来以后，就成为学术界关注的焦点，已有大量的研究文 献和综述。报童模型反映了许多现实情况，已被应用于诸多领域，例如电子产品等一类易逝 品订购量的确定，时尚健身行业、服装行业及零售业的辅助决策; 航空和旅馆的管理容量和 评估预订等等。 随着科技的发展，竞争的加剧，技术更新的节奏也在不断地加快，特别是高科技产品。 经济的发展促使各种消费产品的多样化和产品生命周期的缩短。市场竞争的激烈化使产品的 供需关系发生了深刻的变化。产品价格通常会受销售策略、产品更新、用户需求及市场竞争 等各方面因素的影响而发生变动。产品价格的变化引起产品所面向的消费群体变化，进而导 致产品的市场需求也发生变化。如笔记本电脑、手机等电子产品，当生产商推出一种新的换 代产品时，会制定一个比较高的价格面向高端客户进行销售，但此时销售量通常较小；随着 高端市场的逐渐饱和或竞争对手推出类似产品时，制造商会根据其产品销售策略逐渐调低产 品的销售价格，变为面向低一层次客户的主流产品，市场需求也因面向的客户群体变化而发 生变化。这一类产品的零售商经常需要面对产品在销售过程中销售价格和需求不断变化的问 作者简介：刘红娟，（1987-），女，硕士研究生，主要研究方向：金融数学与精算学。E-mail: 654177641@qq.com - 1 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 45 50 题。因此，研究零售商产品定价策略对提高企业的竞争力和从零售商的角度研究不确定函数 下的跨期定价以及风险的度量是很有现实意义的[1,2]。对于需求不确定性定价问题，理论上 大多基于一次定价[3]，但现实生活中，零售商常常采用二次定价乃至多次定价策略。 报童模型是典型随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最大化期望收益或最 小化期望损失[4]。报童模型反映了许多现实情况，已被应用于诸多领域，报童问题已经发 展为一个具有多方面扩展模型并且十分具有活力的研究方向[5]。报童模型问题中涉及到很 多不确定因素的影响，它与零售商确定产品最优定价的问题密切相关[6,7,8]。 Petruzzi 等（1999）选择加法形式和乘法形式的市场需求模型， 研究了这两种情况下具 有价格决策的报童问题， 推导出有关最优解的定理。 高尚（2001）在离散报童问题和连续报童问题的基础上, 提出了价格有折扣的离散报童 55 问题和价格有折扣的连续报童问题。 Minghui Xu 等（2010）分别选取需求函数为加法形式和乘法形式， 在具有价格决策的 报童问题框架内， 研究了需求不确定性对最优订购量、最优零售价与期望利润的影响。 Yang 等（2011）以最大化零售商的利润达到目标值的概率为目标函数， 研究了此时 的最优订购量与最优零售价。 Shi 等（2011）将具有价格决策的报童问题扩展到了多产品的情形。 侯阔林等（2012）提出了风险厌恶条件下具有价格决策的报童问题模型， 同时考虑了 零售商的定价策略与订购策略，分析了风险厌恶条件下该问题最优解的必要条件， 并说明 了推导该问题的解析解是困难的。 本文在考虑风险因素影响下，在报童模型下采用两阶段的需求函数讨论零售商与供应 商、消费者之间形成的供应链关系以制定最优的定价策略以及订购数量策略，并对该风险模 型下的决策进行度量和分析，进而为零售商管理风险和规避风险提供依据。 1 需求不确定性模型的建立 在报童模型问题中，最简单的就是：讨论一个公司面对不确定性的需求函数是如何选择 产品的价格和产量的。如果商品是易腐烂的，公司就不能为未来的销售提前储备大量的产品。 订购数量太少的话，他将失去潜在的销售机会，甚至可能因为缺货引起信用的降低和顾客的 流失所带来的潜在损失；盲目订购太多产品的话，也会造成损失，存货量大于市场需求，产 品就会积压，为了防止腐烂就必须以低价卖出。 对本文所考虑的问题模型做以下假设： c 表示购进单位商品的成本价; 1p 表示第一阶段出售单位商品的价格; 2p 为第二阶 段出售单位商品的价格， 1q 为第一阶段商品需求量； 2q 表示第二阶段商品需求量，s 为剩 余单位商品的处理价;b 为缺货单位商品的损失。本文考虑未销售的产品有残值存在，并且 供应商向零售商供货没有时间滞留，零售商存在缺货成本，其中 p 1 > cp ,2 > s 。 假设第一阶段需求变量 X 是连续的随机变量, 密度函数为 f(x),分布函数为 F(x),第二阶 段需求变量 Y 也是连续的随机变量，密度函数为 g(y),分布函数为 G(y).且两阶段的需求量相 互独立。 60 65 70 75 80 q 1 = ) ) （1） 第一时期内，不确定市场需求函数为： 1( ⎧ ⎨ 1( ⎩ pDk ( ) 1 pDk ) ( 1 + − p −1 p - 2 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 第二时期内，不确定的市场需求函数为： ⎧ ⎨ ⎩ pDk ( ) pDk ) ( p −1 1( 1( + − ) ) p 2 2 q 2 = （2） 85 将市场分为两个时期，第一时期，不知道产品会处于高需求还是低需求，将此时期产品 的价格定为 1P ,第二时期产品的定价根据第一时期的情况进行调整，以期达到最大利润。若 第一时期产品处于高需求状态，那么第二时期就将产品的价格定为 21P ，若第一时期产品处 于低需求状态，那么第二时期就将产品的价格定为 22P .第二时期产品仍不知道处于何种状 态，可能高需求也可能低需求。 90 结论 1：在需求函数不确定处于何种状态的条件下，若第一阶段出现的状态为低需求状 态，为了追求最大利润，那么第二阶段的产品定价就一定不会高于第一阶段产品的定价（当 k>0 时， p > ，当 k=0 时 p 22 1 p 1 = p 21 = p 22 即为一阶段不确定需求定价情况）。 95 100 105 110 对于服装、手机等一类易逝品来说，销售往往不是只以单一价格进行一个阶段的销售， 销售商会经常根据产品的生命周期，市场受欢迎程度等来调整价格进行分阶段销售的。产品 在销售过程中，在销售季节的第一阶段，销售商会以较高的价格销售新产品;在第二阶段， 由于新的可替代产品的推出，原有产品开始以较低的价格销售直至销售季节末。 2 基于需求函数不确定性的两阶段报童模型扩展应用 假设需求函数为: pD Q ( ) ) η+= 1( q 第一阶段的需求函数为： 1 q 第二阶段的需求函数为： 2 （3） ) (1 D pη= + ( 1 D pφ= + ( (1 ) 2 ) （4） ) （5） 其中 φη N ,0(~, 2σ ) 为市场不可避免的随机因子。 1 2 , ) ( = p 1 如 果 零 售 商 的 订 单 数 量 是 'q ， 那 么 基 于 不 确 定 性 需 求 函 数 的 零 售 商 的 利 润 为 qqQg qb ( , [( + 1 （6） 则零售商期望的利润函数: yxQEg qQpQc ) 1 qQs [ ( 1 ygxf )()( xQs ( Qq 2 qp [ 2 dxdy −− ]) ++ cQ )] + q 1 − + − + − + − + − − − − + + = q y ( ) ( ] ) ) ( , , + 2 2 1 xp 1 yp 2 q 2 ) − + Q ] xp 1 + xQp 2 ) − xb ( −+ Qy ) − cQ ] ygxf )()( dxdy （7） ∫∫ [ Qyx ≤+ ( − + ∫∫ Qyx >+ Qx ≤ xbQp ( 1 − −+ Qy ) − cQ ] ygxf )()( dxdy + ∫∫ Qx > 对利润函数求导可得： dEg dQ 假设F是 cb −+ p 1 = − ( ) ( p sb −+ ) 2 Q ∫ 0 xf )( dx ∫ 0 xQ − yg )( dy （8） 2 1,qq 的分布函数，且F是可逆的函数， p = ， 1 ) η+= pD ( q 1 1( = p q ) 2 2 为随机变量， （1）当 max Q 1 qqQgE , (( 2 , )) 的解有： - 3 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn （i） 0=b ，就为无缺货惩罚的单周期的报童模型。此时得到的最优订购量为 Q （9） F (1 = − ) * （ii） 0≠b ，为带有缺货惩罚的单周期的报童模型。此时得到的最优订购量为 Q （10） F (1 = − ) * cp − sp − cbp −+ sbp −+ cp ,2 > > （2）当 p 1 （i) FQ = 1 * 1- ( 由证明可知 s 时， ) cp - 1 p s - 2 )(1 yF 单调递增，且 115 120 0=b 时，不考虑缺货惩罚的两阶段报童模型，最优订购点为： （11） * QF 1 ( ) ≥ cp - 1 sp - 1 （12） 所以由结论可得，两阶段的报童模型的第二阶段适当降价会使得总体最优订购量的增加，从 而有利于整体效益的增加。 （ii） 0≠b 时，考虑缺货惩罚的两阶段的报童模型，最优订购点为： FQ 1 = − 2 （13） ) ( * p 1 p 2 cb −+ sb −+ 且同理可得： QF 2 ( * ) 125 且有 p ≥2 s + b 时 ≥ p 1 p 1 QF 2 ( − − c s （14） * ) ≥ p 1 p 1 cb −+ sb −+ （15） 对比（9）（10）（11）（13）可以得出以下结论： 当缺货惩罚不大于第二阶段商品的定价与处理价之差时，第二阶段适当降价有利于供应链效 益的增加。 3 风险度量准则 130 在金融文献中风险度量准则主要有: 均值方差、风险估值 VaR、条件风险估值 CVaR、 均值 CVaR。 风险估值 VaR 定义：令 Z 为分布函数 ZF 的利润变量，且 )1,0(∈α 。Z 的风险估值为： VaR z )( α = inf { zFz )( Z } α ≥ 。 （16） CVaR 风险度量准则度量了低于α分位数的利润的平均值, 并且它具有易于计算的特点, 135 在金融和保险领域里都得到了很好的应用. CVaR 忽略了利润超出分位数水平的部分, 主要 考虑低于分位数的平均利润, 这正是决策者所最关心的. 条件风险估值 CVaR 定义如下: CVaR ( α Z = 1 qqQg ( , 2 CVaR qqQg (( , 2 α , , 1 此时令 max q ' Z ) = ( t − sup Rt ∈ 1 α ZtE − ( )) + （17） ) ，那么最大化条件风险估值 CVaR 所得到的订购数量即为： )) （18） 140 由此式解得最优订购量为： CVaR qqQg (( , α arg , 1 )) = Q ** 2 CVaR ) ( α max Q 1 sb −+ 2 p = [( p 2 − Fs ) 1 − ( α p 1 p 2 cb −+ sb −+ ) + bF 1 − 1( − ( α p 2 p − 2 c p −+ 1 sb −+ s )]) （19） - 4 - 

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 可以看到，CVaR 的订货量（17）是风险中性的古典报童给出最优订货量 **Q 的一小部 分， 尤其是对小的α值。风险厌恶程度越高，即较小的α，订货量就较小（19）。特别当 1=α 145 时， * ** Q （19）式与（13）式等价， Q 就变成 ，这说明风险中性是风险厌恶型的一种特殊 情形。由（19）和（13）式可知，无论零售商是风险厌恶型还是风险中性, 当缺货惩罚 b 增 加时, 零售商的最优订购数量都将随之增加。当假设需求分布 F 是均匀分布时，会发现随着 情形下的零售商的最优定购数量比 1=α 情形下的零售商的最 缺货惩罚 b 的增加, 优定购数量增加得要快.当有缺货惩罚时，零售商不管是风险厌恶型还是风险中性型都会加 大订购量。同时，第二阶段的价格也会对订购量 **Q 产生影响。 )1,0(∈α 150 结论 3：不确定性的两阶段需求函数模型在有缺货惩罚 b 的影响下， 情形下的 零售商的最优订购量与需求函数的分布有关，与缺货惩罚 b 的大小、风险厌恶程度α以及 第一二阶段的商品价格 有关。 )1,0(∈α 1, pp 2 155 4 结论总结 160 在报童环境下，大部分文献讨论的是一阶段下零售商的最优订购问题。本文将市场分为 两个时期，在两阶段的需求函数中引入市场随机因子，说明了在风险因子大于零的情况 下，为了使零售商与供应商、消费者之间所形成的供应链的整体效益得到提升，零售商常 常采用降价销售策略。在两阶段的需求函数下考虑缺货损失，得出了缺货惩罚因子会对商 品的最优订购量产生一定的影响。适当的降价有利于零售商提高最优订货量，进而可以最优 化期望利润。通过风险度量准则条件风险估值 CVaR 我们可以发现零售商的最优订购量依 赖于需求函数的分布，与缺货惩罚 b 的大小、风险厌恶程度α以及第一二阶段的商品价格 1, pp 有关。在两阶段乃至多阶段的供应链的风险问题上的研究还很不充分，还有很多有 意义的问题还值得我们深入探讨和研究。 2 165 [参考文献] (References) 170 175 [1] 李彦,王喜成.随机需求条件下企业最优产量确定模型及应用[J].统计与决策，2008, (21):57-60. [2] 唐小我,马永开.需求不确定情形下的产量和价格的确定[J].中国软科学, 2003, (2):62-68. [3] 方国敏. 基于随机需求的两阶段定价策略模型[J]. 统计与决策，2011（1）:68-70. [4] 万仲平, 侯阔林 , 程 露 , 蒋 威. 报童问题的扩展模型[J]. 武汉大学学报（理学版），2008，54 （3):259-266. [5] 高尚. 价格有折扣的报童问题[J].华东船舶工业学院报:自然科学版，2001，15（4）：65-69. [6] 李娟，黄培清. 价格相依报童模型中信息和不确定性的研究[J].管理工程学报，2010，24（3）：82-90. [7] Xu Ming-hui, Chen You-hua (Frank), Xu Xiao-lin. The effect of demand uncertainty in a price-setting newsvendor model[J]. European Journal of Operational Research, 2010, 207（2）：946-957. [8] Yao L , Chen Y , Yan H . The newsvendor problem with pricing: extensions ,[J]. International Journal of Management Science and Engineering Management.2006, 1（1）：3-16. - 5 -