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N-S方程推导.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.14M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    写在前面的话 本人非学流体出身，初时只略有涉猎，后因学习需要，勘此流体 第一方程——Navier-Stokes 方程。此于本专业或聪明毓秀之人，自 不在话下，于我则艰涩难懂。往往“显而易见”之处，我需思索多时， 断断续续间，自接触至今，已近一年。其间人事变动，岁月倥偬，总 算可窥其门径。此方程既是流体力学支柱，亦是门径之学。欲登堂入 室，此之一节，逾越不得。当我不得要领之时，曾立誓，若得通，定 当付之网络，知于似我等愚鲁而又欲知之者。 此文欢迎转载，讨论，指教，多多益善。 Email：zsqsolking@163.com 目录 引言 ........................................................... 2 一、N-S 方程的最初形式 .......................................... 3 1、作用在单元体上的力....................................... 3 1.1 质量力.............................................. 3 1.2 表面力.............................................. 4 2、单元体的加速度和重量..................................... 5 二、应力形式化简................................................ 6 1、切应力与应变的关系....................................... 6 2、法向应力与应变的关系..................................... 6 三、不可压缩流体的 N-S 方程...................................... 8 四、加速度项 r du dt 的处理 ......................................... 10 【附录】关于哈密顿算子（Del Operator）......................... 11
    引言引言引言引言 【【【【理论依据 理论依据】】】】 理论依据理论依据 理论依据非常简单，牛顿第二定律。 F=ma（1） 有了受力，有了加速度，本方程基本形式就算完成。余下的，就 是对力、加速度等的处理、化简了。 【【【【本文思路 本文思路】】】】 本文思路本文思路 本文首先根据牛顿第二定律，找到所研究的单元体受到的力。即 质量力和表面力。（一） 根据应力和应变的关系，将应力进行转化，因为实际应用时应力 是很难获取的。这就得到了 可压缩流体 N-S 方程最一般的形式。（二） 结合连续性方程（即质量守恒方程），得到了不可压缩流体 N-S 方程的形式。（三） 对其加速度项进行化简，转化为一般的形式。因为加速度有两个， 当地加速度和位移加速度，只是用一个 du dt 表示会给特殊性试下的化 简带来问题。这样就得到了我们最常见的不可压缩流体的 N-S 方程 （41）式。（四）
    一一一一、、、、NNNN----SSSS 方程的最初形式 方程的最初形式 方程的最初形式 方程的最初形式 1、作用在单元体上的力 z σzz+ əσzz —— əz dz — 2 dz — 2 əτzy əz—— τzx+ əτzx —— əz dz — 2 τzy+ τxz+ əτxz əx—— dx — 2 τyz+ əτyz əy—— dy — 2 σyy+ əσyy —— əy dy — 2 y σxx+ əσxx —— əx dx — 2 τyx+ əτyx —— əy dy — 2 τxy+ əτxy əx—— dx — 2 x 图 1 作用在单元体上的力 作用力有两类，即质量力和表面力。 1111.1 .1 .1 .1 质量力质量力质量力质量力 质量力是作用在每一个流体质点上，大小与流体的质量成正比。 工程流体力学中，会遇到两种质量力：重力和惯性力。惯性力是一个 很特殊的称谓，原来中学教程中认为惯性力并不是力，但是实际上， 在出现加速度的时候，惯性力的作用同普通力是完全一样的，只是惯 性力会随着加速度的消失而消失。如果认为惯性力是一种力，那么牛 顿第二定律（1）也可以认为是力的平衡。式的右端就是惯性力，左 端就是其他的常规力。其实观察一下重力，G=mg，同惯性力的 ma 本 质上是一致的，g 本身就是重力加速度。但在这个推导中，暂且不将
    惯性力视作常规力，而是按照一般的牛顿第二定律来推导。虽然这样 做本质上没有一点变化。 假设单位质量流体上的质量力在各个坐标轴的分量分别为，X，Y， Z。图 1 流体单元体的质量为： dxdydz r 。则作用在流体单元体上的质 量力在坐标轴的分量分别为： X dxdydz r 、Y dxdydz r r 、 Z dxdydz 。 1.1.1.1.2222 表面力表面力表面力表面力 作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用 的面积成正比的力。分为垂直于作用面的压力和沿作用面方向的切 力。表面力可以使作用于流体界面的压力、切力，也可以是一部分流 体质点作用于相邻另一部分流体质点的压力、切力。单位作用面的压 应力、切应力即为图 1 中的s t、 （第一个下标表示作用面的法线方向， 第二个下标表示力的方向）。 以 x 方向为例，流体单元受到的力： = G x s       + xx s xx x + t       + yx + t       + zx t yx y t zx z s    dx 2 作用在 方向的压力  s   x xx t    dy 2 作用在 方向的切力  t   x yx t    dz 2 作用在 方向的切力  t   x zx dx 2       xx x dydz dy 2       yx y dxdz （2） dz 2       zx z dxdy 即： = xG s xx x +    t + t yx y    zx z y，z 方向同理可获得。 dxdydz （3） ¶ ¶ - - ¶ ¶ ¶ ¶ - - ¶ ¶ ¶ ¶ - - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
    = yG = zG       t xy x t xz x s + t + yy y    zy z dxdydz （4） + t yz y + s    zz z dxdydz （5） 2、单元体的加速度和重量 加速度和质量的乘积（（1）式右侧）在三个方向上的分量分别为： dxdydz （6） dxdydz （7） dxdydz （8） ma x ma y ma z = = = r r r du x dt du y dt du z dt 将（3）（6）式带入（1）式，x 方向有： s xx x +    t + t yx y    zx z dxdydz + r Xdxdydz = r dxdydz xdu dt （9） 即： r du x dt =    s xx x + t + t yx y + r    zx z X （10） 同样： du y dt du z dt = =       t xy x t xz x s + t + yy y + r    zy z + t yz y + s zz z    + r Y （11） Z （12） r r ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
    二二二二、、、、应力形式 应力形式化简化简化简化简 应力形式应力形式 1、切应力与应变的关系 t xy = t = m yx t xz t = m = zx t yz = t = m zy       ¶   + + + u x y u x z u y z u y x    u z x    u z y    （13） （14） （15） 2、法向应力与应变的关系 u x x u y y u z z m 2 3 m 2 3 m 2 3 r u （16） r u （17） r u （18） = - + p m 2 = - + p m 2 = - + p m 2 s s s xx yy zz 将（13）、（16）带入（10）， s xx x x = = - = -    p + x p + x - + p m 2 m 2 m 2   x  2 u x 2 x u x x u  x  x  2 m 3 2 m 3 r u    ( ) x r u 2 m 3 x ( ) r u （19）       ¶   y ¶= t yx y m       y + u x y u y x = m ¶= m    y 2 u x 2 y + m u x y    + m 2 u y x y u y x    （20） ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ - ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
    t zx z = m       z + u x z u z x       = m = m   z  2 u x 2 z m + u x z      ¶  z u z x    （21） m + 2 u z x z 即： r du x dt =    s xx x + = - = - ¶= - = - = - t yx y 2 u x 2 x t +    zx z 2 m 3 r + ( x X ) m r + u 2 u + m x 2 y 2 + u x 2 x 2 + u x 2 y m 2 u x 2 z  +       2 + u x 2 x p + x p + x m 2 m    p m + x p m + x p m + x + m 2 u x 2 + u x m 2 + u x 1 m 3 x x    ( x u x x r u + ) ( + r u u y y 2 m 3 ) r + + x X 2 m 3 u z z (    r r u ) ( x X 2 u + m y x y 2 u + y x y 2 u + m x 2 z     u z x z 2 ) r r + u r 2 u + z x z X ( ) r r + u x X 2 m 3 X （22） 同理： r r du x dt du y dt = - = - p m + x p + m y r = - du z dt p m + z 矢量形式： 2 + u x 2 + u y 2 + u z 1 m 3 1 m 3 1 m 3 ( ( ( x y z + + r r u ) ) r r u ) r r u + X （23） Y （24） Z （25） r v du dt = - + p m + 2 v u ( + ) v r u 1 m 3 uv F （26） ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
    三三三三、、、、不可压缩流体的 不可压缩流体的 NNNN----SSSS 方程方程方程方程 不可压缩流体的 不可压缩流体的 连续性方程的基本推导原理就是，单元体内流出、流入质量差等 于该时间段内单元体内质量的变化。原理是很简单的。没有流入流出 质量就不会变化，流入流出有了差值，说明单元体的质量变化了。 仍以 x 方向为例。 左侧质量流速（一般的流速是体积流速，m/s,为了推导质量的变 化需要引入质量流速，质量流速的定义就是单位时间内通过单位横截 面的流体质量）为 xur ，质量流速是位置的函数，因此在右侧面流出 的质量流速为 r u x + )x ( r u x 差为： dx 。时间段 dt 内流出、流入单元体的质量 r u x +    ) ( r u x x dx dydzdt    [ r ] = u dydzdt x ( r ) x u x dxdydzdt （27） 同理，该时间段 dt 内 y 方向，z 方向的流出流入质量差为： ( r )yu dxdydzdt （28） y ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶
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