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阵列天线分析与综合讲义王建 §2.6 伍德沃德—劳森抽样法简称伍德沃德法。这种方法是用于天线波束赋形的一种常用的方向图综合方法，它是对所需方向图在不同离散角度处进行抽样来实现预期方向图的。与各方向抽样和联系的是谐波电流，谐波电流对应的场叫做构成函数。综合方法分为连续的线源和离散的线阵分别讨论。对于连续线源。其构成函数为 a m sin( u m ) / um 形式，对于离散线阵，其构成函数为 a m sin( nu m ) /( sin n u m ) 形式。各谐波电流激励系数等于所要求的方向图在对应抽样点上的幅度。谐波电流的有限项之和为源 ma 的总激励。构成函数的有限项之和则为综合的方向图，其中每一项代表一个电流谐波产生的场。 ( )g t ，如果最高频率为理。该定理指出：“一个有限频带的函数伍德沃德方法中有关公式的处理类似于信号理论中的香农(Shannon)抽样定 ( )g t hT ，为 / Lλ hf ，则函数 f 可以用等间隔的抽样唯一地表示。抽样间隔必须不大于对应于最高频率的周期”。用类似的方法综合天线方向图时，其抽样间隔应取弧度，L 为源的长度。 2.6.1 连续线源 (1) 连续线源上的电流分布 1/(2 ) h t Δ = / 2 T h = 对于长为 L 的连续线源，伍德沃德方法是令连续线源的总电流 I(z)在线上用若干谐波电流 ( ) z 的有限和来表示： nI I z ( ) = N ∑ n =− N I n z ( ) , − L / 2 ≤ z L ≤ / 2 (2.119) 式中谐波电流为 I n z ( ) = a n L − jkz cos θ n e , − L / 2 ≤ ≤ z L / 2 (2.120) nθ 代表所需方向图的抽样角度。 n = ± ± 1, 2, ± N , (2N 个偶数抽样) n = ± ± 0, 1, 2, ± , N (2N+1 个奇数抽样) (2) 谐波电流产生的场方向图 z 产生的场方向图函数(即构成函数)为由各谐波电流 ( ) z e ( ) nI I dz θ dz θ θ n ( ) θ (cos = = S e − cos jkz cos jkz / 2 L / 2 L ) n ∫ − L / 2 n a n L ∫ − L / 2 106

阵列天线分析与综合讲义王建 n a = kL sin[ 2 kL (cos 2 nθ θ= 处。 (cos θ − cos θ n )] − θ cos θ n ) 其最大值发生在 (3) 总电流分布产生的场方向图 (2.121) 由式(2.119)总电流 ( ) I z 产生的总方向图为 S ( ) θ = N ∑ n =− N S n ( ) θ = N ∑ n =− N a n kL sin[ 2 kL (cos 2 (cos θ − cos θ n )] θ − cos θ n ) (2.122) nθ θ= 处，其最大值为：上式的最大值也发生在 S S S = = = ) ) ( θ n n ( θ n max na (2.123) nθ θ= 处，综合的方向图最大值 ( 即在 S θ ，而其它的所有抽样点对应的 ( 大值 ( n n m 人的地方。若式(2.122)等号左边为预给方向图 S ) n )nS θ 等于各谐波电流所产生场方向图的最 ≠ 。这是本方法最吸引 m n θ = 0, ( ) ) S fθ ( ) ( ) θ= 激励系数就可以在抽样点 na nθ θ= 处得到，即 f ( ) nθ= na (2.124) 然后由式(2.122)就得到综合的方向图，由式(2.119)和(2.120)就可得到线源上的电流分布。 (4) 抽样间隔的确定为了使综合的方向图对应实际观察角可见区 0 ~θ π= ，且满足周期 2π的要求和准确地重建给定的方向图，可按下式确定抽样间隔 Δ 。 kz || =Δ z L | = 2 π ⇒ Δ = / λ L (2.125) 每个抽样角度点的位置 nθ 为 n / = Δ = λ cos n θ n L ⇒ θ n = / cos ( 1 λ− n L ) (2.126) 因此，N 应是最接近于 N L λ≤ / 的整数。一旦由式(2.126)确定每一个抽样点的位置，抽样点处的方向图函数值就只由一个抽样值定出，与其它抽样点的场无关。【例 2.8】设预给方向图关于 θ π= / 2 对称，由下式给出，如下图 2-17 所示。 107

阵列天线分析与综合讲义王建 f ( ) θ π θ π ≤ ≤ 3 / 4 1, / 4 ⎧ = ⎨ 0 , ⎩ 其它 (a) 极坐标图 (b) 直角坐标图图 2-17 扇形方向图 f(θ)的极坐标和直角坐标图试求一个置于 z 轴上、长为 5L λ= 的线源电流分布。这称为扇形方向图，广泛用于搜索雷达和通信中，解：因 5L λ= ，取 N=5，抽样间隔度抽样点由下式给出 / cos ( 1 λ− L = = n ) θ n cos (0.2 ) , n − 1 n = ± ± ± , 5 0, 1, 2, / λΔ = L = ，抽样点总数为 2N＋1＝11。角 0. 2 由式(2.124)确定系数 a n f θ= n ( ) 所得抽样点角度和激励系数由下表 2-2 给出表 2-2 抽样点角度和激励系数 1 -2 -1 0 -4 -5 N 5 nθ (o) 180 143.13 126.87 113.58 101.54 90 78.46 66.42 53.13 36.87 0 0 na -3 2 3 4 0 1 1 1 1 1 1 0 0 由 S ( ) θ = N ∑ n =− N a n 计算的方向图见下图 2-18。 1 kL sin[ 2 kL (cos 2 (cos θ − cos θ n )] θ − cos θ n ) 如果线源长度愈长，抽样点数愈多，则综合的方向图愈接近预给方向图。图 2-18 用伍德沃德-劳森综合法的线源方向图 S(θ)与预给方向图 f(θ)的比较 108

阵列天线分析与综合讲义王建 2.6.2 离散线阵上一节讨论的伍德沃德方法综合连续线源的过程也适应于离散线阵。此时抽样方向图函数(即构成函数)式(2.121)应该用均匀直线阵的阵因子来代替。设一个均匀直线阵的单元数为 N，间距为 d，则该直线阵的阵列长度为 L=Nd，对应于式(2.121)的抽样方向图函数为 S n ( ) θ = a n sin[ N kd 2 1 sin[ 2 kd N (cos θ − cos θ n )] (cos θ − cos θ n )] (2.127) 总场阵因子可写成 N=2M 或 N=2M＋1 项的叠加，而每一项都具有式(2.127)的形式。即 (cos θ − cos θ n )] kd (cos θ − cos θ n )] sin[ N kd 2 1 sin[ 2 ( ) θ= N fθ ，则抽样点的阵元激励系数就为 na (2.128) S ( ) θ = M ∑ n M =− S n ( ) θ = M ∑ n M =− a n 如果上式等号左边为预给方向图 ( ) 预给方向图在抽样点的值。即 f ( θ n ( θ n = = a S ) ) S n (2.129a) 如果抽样点正好在 ( ) f θ 的边缘，则应取 = f 0.5 ( ) nθ na (2.129b) 抽样点由下式确定 cos θ n 各单元的激励电流为 = n n λ λ Nd L = ⇒ θ n = cos [ 1 − n λ (2.130) ] Nd I m ( z m ) M = ∑ 1 N n M =− a e n − j kz cos θ n m (2.131) 式中为单元位置。对于奇数(N=2M＋1)和偶数(N=2M)阵列均有， mz mz = [( m N − ( + d 1) / 2] , m = 1,2, − N , 1 (2.132) 此式是以阵列中心为坐标原点计算的阵列单元位置。【例 2.9】设预给方向图为扇形方向图，由下式给出。试求一个置于 z 轴上， d λ= 单元数为 N=20，间距为 1, / 3 π θ π ⎧ = ⎨ 0 , ⎩ 其它的直线阵列各单元的激励分布。 / 2 ≤ ≤ 2 / 3 ( ) θ f 109

阵列天线分析与综合讲义王建解：由 N=2M=20，则 M=10，L=Nd；由式(2.130)确定抽样点角度 nθ ；由式(2.129) na n 确定抽样值 , 。这些结果示于表 2-3 中。 0, 1, 2, = ± ± ± , M -1 -8 -7 表 2-3 扇形波束的抽样角度 nθ 和抽样值 na n -3 -10 107.5 nθ (o) 180 1 na n 8 nθ (o) 84.3 36.7 0 na 0 90 1 上表中抽样点正好在预给方向图函数的边界上，所以抽样值取其一半。由式(1.132)确定阵列单元坐标位置；由式(2.131)确定阵列单元激励电流； -9 154.2 143.1 134.4 0 2 78.5 1 -6 126.9 0 5 60 0.5 -2 101.5 95.7 1 9 25.8 0 1 10 0 0 -4 113.6 1 7 45.6 0 -5 120 0.5 6 53.1 0 0 4 66.4 1 0 3 72.5 1 0 1 1 mz 结果示于表 2-4 中。表 2-4 按扇形波束要求综合得到的单元位置和激励电流 mz 单元编号 m mz /λ mI 单元编号 m mz /λ mI ± 1 ±0.25 0.44923 ±6 ±2.75 0.0302 ±2 ±0.75 0.14727 ±7 ±3.25 -0.02167 ±3 ±1.25 -0.08536 ±8 ±3.25 -0.01464 ±4 ±1.75 -0.0577 ±9 ±4.25 0.00849 mI ±5 ±2.25 0.0414 ±10 ±4.75 0.00278 综合得到的激励电流应该是复数，由于其虚部为零，所以表中没给出来。由式(2.128) 计算并绘出的方向图如下图 2-19 所示。图 2-19 用伍德沃德-劳森综合法的阵列方向图 S(θ)与预给方向图 f(θ)的比较综合得到的方向图的阵列如下图 2-20 所示，单元数为 N=20，单元间距为 / 2 ，阵列中各单元的激励电流 mI 已由表 2-4 中列出。由此阵列采用第一章 d λ= 的方法可给出阵因子为 110

阵列天线分析与综合讲义王建 S ( ) θ = N 1 − ∑ m = 0 jmu I e m , u = kd cos θ 由此阵因子绘出的方向图与图 2-19 综合得到的方向图完全重合。图 2-20 实现综合得到的阵列方向图 S(θ)的直线阵列 §2.7 泰勒综合法前面我们讨论了经典的道尔夫－切比雪夫综合方法，由此得到的切比雪夫阵列其方向图是最佳的，即在相同阵列长度情况下对给定的副瓣电平，其主瓣宽度是最窄的，或对给定的主瓣零点宽度，所得副瓣电平是最低的。但是当阵列单元数较多( )时，切比雪夫阵列两端单元及13 N ≥ N ≥ 25 dB 35 dB 25 ，， = dBR 0 dBR 0 = 的激励幅度将发生跳变，最末单元比其相邻单元的激励幅度大许多，不利于馈电并对方向图副瓣电平影响很大。这一节介绍与切比雪夫综合法密切相关的另外一种经典综合方法——泰勒综合法。采用泰勒综合法设计的泰勒阵列，其方向图只是靠近主瓣某个区域内的副瓣电平接近相等，随后单调地减小，有利于提高天线方向性。如果设计得当，激励幅度分布的变化在阵列两端是单调减的，不会出现两端单元激励幅度跳变的情况。泰勒综合法设计灵活，适应面宽，在工程设计中得到广泛应用。虽然泰勒综合法是针对连续线源设计的一种方法，但可以根据抽样定理将其离散化。换言之，可用单元数足够多的离散阵列幅度分布来逼近连续线源的泰勒分布。 2.7.1 线源的等副瓣理想空间因子早在 1954 年，Mass 就把切比雪夫多项式用于综合线源，得到了一个副瓣电平可以控制的空间因子(方向图函数)。首先，他在切比雪夫多项式的基础上定义了一个新函数 W z ( ) 2 N = T B a z 2 2 N − ( ) ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪⎩ − B a z N )], cos ( cos[ 2 2 1 − B a z N cosh ( cosh[ 2 2 1 − − )], | | B B − − az ( az ( ) | 1 2 ≤ ) | 1 2 ≥ (2.133) 111

阵列天线分析与综合讲义王建 ) 为 N 阶切比雪夫多项式，B 和 a 均为常数。引入新函数的目的两个大幅度区域合并起来，以形成方向图的主瓣，而把等波纹区式中， (NT B a z 2 2 − NT x ( ) 的是把域用来形成副瓣。如下图 2-21 就是 N=4 时 cosh 在图(b)中，参数取为 cosh( B = − 和 NT x ( ) R ) 1 0 ， a ) − 2 (NW B a z 2 2 Nπ= /( 2 ) ，的图形。。 R = 0 20 2 ( ) NW z 的零点由 cos[ cos ( 1 N cos ( 1 B a z ) 2 2 N − − − = 确定，即 )] 0 nπ = , 1) 2 1,2, 1 N B a z 2 2 − n (2 = − 得零点位置： z n = ± 1 a B − cos( 1 ) π n 2 2 − N (2.134) (a) (b) 图 2-21 NT x ( ) 和 2 (NW B a z 2 2 − ) 的图形，N=4 由上图可见，的波纹幅度为 1，则主-副瓣幅度比为 NW z 2 ( ) NT x ( ) 函数的主瓣两侧各有 N 个零点和 N-1 个等副瓣。由于 R W 0 = 2 (0) N 1 N cosh 1 − = T B N ( ) = cosh( N cosh − 1 B (2.135) ) cosh − 1 R 0 ) (2.136a) R 0 (2.136b) 得 B = cosh( 若令 A π = 则 B = cosh( A Nπ / ) (2.136c) 这样，我们就可以用主副瓣幅度比 0R 来确定参数 B。参见图 2-21(b)，如果参数 a 变小而 N 不变，则主瓣将展宽；如果取 a π= /( 2 ) N (2.137) 即 a 随 N 的增大而变小，显然副瓣数量增加，则主瓣变窄。如果令 a → ，则 / Nπ = 2a 代入(2.136c)，再由式(2.134)可得零点位置为。把式(2.137)解出 N → ∞ 0 112

阵列天线分析与综合讲义王建 z 2 n = 1 lim {cosh( 2 a→ 2 a 0 aA ) − cos( 2 n 1 − 2 a )} = A 2 + ( n − 1/ 2) 2 即 nz = ± 2 A + ( n − 1/ 2) 2 , n = (2.138) 1,2, 2 ( ) 为无穷多个( NW z 函数的主瓣两侧各有 N 个零点，N-1 个等副瓣。现在把这些零点扩展 )，并根据一个有 N 个零点的函数 f(z)，可表示成 N 个因式 N → ∞ nz )的连乘积的形式 2 ( z− nz 2 理想空间因子为 f z ( ) = C N −∏ z 2 n ( n 1 = 2 z ) 的事实，可得具有无穷多个副瓣的 F z A ) ( , = lim N →∞ W z ( ) 2 N = C ∞ ∏ n 1 = ( z 2 n − 2 z ) = C ∞ ∏ n 1 = [ A 2 + ( n − 1/ 2) 2 − 2 z ] = C ∞ ∏ n 1 = ( n − 1/ 2) 2 ∞ ∏ n 1 = [1 − z n ( 2 − A 2 − 1/ 2) 2 ] (2.139) 令 C = [ ∞ −∏ n ( n 1 = 1/ 2) ] 2 − 1 ，则得 F z A ) ( , = ∞ ∏ n 1 = [1 − z n ( 2 − A 2 − 1/ 2) 2 ] (2.140a) 由公式： cos x = ∞ ∏ n 1 = [1 − 2 x 1/ 2) 2 2 π ( n − ] ， [ ± ( n − 1/ 2) π 是 cosx 的零点] 则得：式中， ( , F z A ) cos( π= 1 cosh π A = − 1 R 0 2 z − A 2 ) (2.140b) (2.141) 对于一个长为 L 的连续线源，其空间因子(即方向图函数)可由式(2.140b)表示为 F u A ) ( , = cos( π 2 u − A 2 ) , u = 此式即为理想的空间因子。分区表示为 L λ cos θ (2.142) | |u A≤ ，为主瓣区： F ( ) θ = cosh( π A 2 2 u− ) (2.142a) | |u A≥ ，为幅瓣区： F ( ) θ π= cos( 2 u 2 − A (2.142b) ) 当 u=0( θ π= / 2 )时，出现最大值 F = max F u A ( , ) | u = 0 = cos( j A ) π = cosh( A ) π = R 0 (2.143) 113

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