第1页 / 共12页
第2页 / 共12页
第3页 / 共12页
第4页 / 共12页
第5页 / 共12页
第6页 / 共12页
第7页 / 共12页
第8页 / 共12页
矩阵理论与应用(张跃辉)第五章习题参考解答(上海交大）..pdf
第五章习题参考解答
注：1. 48-54 题无解答.
2. 13 题应与 16 题对调;
3. 61 题的 α 应为 a;
1. 设 || · || 是酉空间 Cn 的向量范数, 证明向量范数的下列基本性质:
(1) 零向量的范数为零;
flflflflflflflfl x||x||
flflflflflflflfl = 1;
flflflflflflflfl =
flflflflflflflfl x||x||
(2) 当 x 是非零向量时:
(3) || − x|| = ||x||;
(4) |||x|| − ||y||| ≤ ||x − y||.
证明：(1) ||0|| = ||0x|| = 0||x|| = 0;
(2)
(3) || − x|| = | − 1|||x|| = ||x||;
(4) ||x|| ≤ ||x − y|| + ||y||,||y|| ≤ ||x − y|| + ||x||.
2. 证明: 若 x ∈ Cn, 则
(1) ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ √
n||x||1.
||x||||x|| = 1;
n||x||2;
1
√
(2) ||x||1 ≤ ||x||1 ≤ n||x||1;
(3) ||x||1 ≤ ||x||2 ≤
|xi|. 则
证明：设 x = (x1,··· , xn)T , a = max
1•i•n
(1) ||x||2 = (|x1|2 + ··· + |xn|2)1/2 ≤ |x1| + ··· + |xn| = ||x||1 ≤ (na)1/2 =
(2) ||x||1 = a ≤ ||x||1 ≤ na = n||x||1;
(3) ||x||1 = a ≤ ||x||2 ≤ √
3. (1) 试构造 R2 上的一个向量范数, 使得该范数不是任何 p- 范数;
(2) 画出你构造的范数的单位圆;
(3) 试对 R3 做 (1) 与 (2), 并比较你的单位球与 1- 范数和 ∞- 范数的单位球;
(4) 证明当 0 < p < 1 时, lp 范数仍然满足向量范数的前两个条件, 但不满足三角不等式.
在平面上画出 p = 1/2, 3/2 时的单位圆, 并就 p < 1 与 p ≥ 1 的一般情形作比较.
n||x||1.
n||x||2;
na =
√
√
证明：(1) 给某 p- 范数乘以某正数;
(2) 略;
(3) 略;
(4) 范数的正定性条件与齐次性条件显然与数 p 无关. 以 n = 2, p = 1/2 为例，并
设 xi, yi ≥ 0. 由于 |(x1 +y1)1/2 +(x2 +y2)1/2|2 = (x1 +y1)+(x2 +y2)+2[(x1 +y1)(x2 +y2)]1/2 ≥
(x1 + y1) + (x2 + y2) + 2[(x1x2)1/2 + (y1y2)1/2] = [(x1/2
1 + x2)1/2 + (y1/2
1 + y2)1/2]2.
4. 证明 Minkowski 不等式 (5.1.1).
证明：略。
47
5. (1) 证明由内积诱导的向量范数满足平平平行行行四四四边边边形形形恒恒恒等等等式式式或极极极化化化恒恒恒等等等式式式
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2).
(2) 解释上式的意义;
(3) 证明: 如果一个向量范数满足平行四边形恒等式, 则该范数一定是由某内积诱导的范
数;
(4) 由 (3) 的结论判断哪些 lp 范数是由内积诱导的, 并给出一个由内积诱导的新范数.
证明：为方便起见，设内积空间为欧氏空间.
(1) 设 || • || 是由内积 (•,•) 诱导的范数，则
||x ± y||2 = (x ± y, x ± y) = (x, x) ± 2(x, y) + (y, y).
由于 ||x||2 = (x, x), 故等号成立；
(2) 上式的几何意义是：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和；
(3) 令 (x, y) = 1
2[||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2]. 下证这是一个内积. 对称性与正定性是显然的.
注意 (x, x) = ||x||2. 于是 4(x, y) + 4(z, y) = 2[||x + y||2 + ||z + y||2 − ||x||2 − ||z||2 − 2||y||2] =
||x + 2y + z||2 − ||x + z||2 − 4||y||2 = 4(x + z, y), 即得可加性.
为证齐次性，首先利用可加性知道对任何整数 n 有 (nx, y) = n(x, y)，进而对任何有理
数 q 有 (qx, y) = q(x, y). 最后令 f(t) = t2||x||2 + 2t(x, y) + ||y||2, 其中 t ∈ R. 由上面的证明
可知，如果 t 是有理数，则 f(t) = ||tx + y||2. 注意 f(t) 是 t ∈ R 的连续函数而有理数在实
数集中稠密, 所以对所有 t ∈ R, f(t) ≥ 0. 因此其判别式 ≤ 0, 故 |(x, y)| ≤ ||x||2||y||2. 因此，
对取定的 a ∈ R 以及任意的 b ∈ Q，有 |(ax, y) − a(x, y)| = |((a − b)x, y) + (b − a)(x, y)| ≤
|((a − b)x, y)| + |(b − a)(x, y)| ≤ 2|a − b|||x||2||y||2. 由于对任意给定的 ε > 0, 总存在 b ∈ Q 使
得 |a − b| < ε, 因此上式意味着 |(ax, y) − a(x, y)| 可以任意小, 故它们必相等.
(4) 仅有 l2 范数.
6. 验证例 5.1.4.
证明：易，略。
7. 证明命题 5.1.1 中的正定性与齐次性.
证明：齐次性是显然的。设 ||x||β = ||Ax||α = 0. 由于 ||•||α 是向量范数，故 Ax = 0. 但 A
列满秩，故 x = 0，即得正定性。
8. 证明命题 5.1.3.
证明：必要性由范数等价的定义可直接得到。反过来，如果对任意非零向量 v, 有
n!1||xn − v||α = 0 ⇐⇒ lim
n!1||xn − v||β = 0,
lim
则存在 C1 > 0 满足条件 ||xn||α ≤ C1||v||β 以及
n!1|| xn||v||β
lim
− v||v||β
||α = 0 ⇐⇒ lim
n!1|| xn||v||β
− v||v||β
||β = 0,
因此
≤ C1.
jjvjjαjjvjjβ
类似地可证存在 C2 > 0，使得
jjvjjβ
jjvjjα
≤ C2.
48
9. 证明例 5.1.8 中的两个范数不等价.
证明：由定义直接计算可得
n!1||fn||1 = 0, lim
n!1||fn||1 = 1.
lim
10. 证明赋范线性空间中的单位球均为凸集, 即若 x, y 属于单位球, 则 αx + βy 也属于单
位球, 其中 α, β 为正数且 α + β = 1. 对照习题 5, 解释这种现象.
证明：设 ||x|| = ||y|| = 1, α + β = 1, α ≥ 0, β ≥ 0, 则 ||αx + βy|| ≤ α||x|| + β||y|| = 1,
即 αx + βy 也属于单位球. 这表明，单位球的凸性是由范数的三角不等式保证的.
11. 验证矩阵的极大列和范数与极大行和范数均满足次乘性.
证明：仅就极大列和范数验证次乘性。设 A = (aij), B = (bij)，则
||AB||1 = max
1•j•n
aikbkj| ≤ ( max
1•j•n
|aij|)( max
1•j•n
| n∑
n∑
n∑
n∑
i=1
k=1
i=1
i=1
|bij|) = ||A||1||B||1.
12. 设矩阵 A 的 F- 范数等于 a, U 是酉矩阵, 问 AU 与 U A 的 F- 范数各是多少? 请总结
你的计算.
解：均为 a. 矩阵的 F- 范数在 U 变换下不变.
13. 证明矩阵的 1- 范数, 2- 范数和 ∞- 范数分别是向量的 1- 范数, 2- 范数和 ∞- 范数的诱
导范数 (因此与之相容).
证明：设 A = (aij), x = (x1,··· , xn)T 6= 0, ei 是第 i 个标准单位向量.
n∑
n∑
(1) 1- 范数:
n∑
n∑
n∑
| n∑
aijxj| ≤ n∑
|aij||xj| =
|aij||xj| ≤ ( max
1•j•n
i=1
j=1
i=1
j=1
j=1
i=1
||Ax||1 =
n∑
|xj| = ||A||1||x||1.
|aij|)
i=1
j=1
. 另一 方面 ，易 知 ||Aei||1 恰 好是 A 的第 i 列的绝 对值 的和, 因
故 |||A|||1 ≥ max
x6=0
此 |||A|||1 ≤ max
x6=0
jjAxjj1
jjxjj1
jjAxjj1
.
jjxjj1
(2) 2- 范数即谱范数 (定义为 |||A|||2 = max
λ2σ(A⁄A)
√
λ 即 |||A|||2 = A 的最大奇异值 σmax,
见 16 题):
显然有 ||Ax||2
大值，因此 || Axjjxjj||2
量，则有 α
2
2
⁄
⁄
A
Aα
⁄
⁄
A
⁄
⁄
A
≥ α
α⁄α = σmax = |||A|||2
2.
⁄
⁄
2 = x
A
⁄
⁄
2 = x
A
jjxjj2
Aα = σmaxα
Ax 在单位球面上的极
A 的最大特征值 σmax 的特征向
A 的最大特征值恰好是函数 x
⁄
2. 反之，设 α 是属于 A
⁄
Ax. 但 A
≤ |||A|||2
Ax
α, 故 || Axjjxjj||2
⁄
(3) ∞- 范数: 与 1- 范数类似，略。
14. 证明: (1) 矩阵仿照向量的 1- 范数是矩阵范数, 但与向量的 1- 范数不相容, 试求与其相
(2) 矩阵仿照向量的 ∞- 范数是向量范数但不是矩阵范数.
∑
证明：(1) 记矩阵 A 仿照向量的 1- 范数为 |||A||| =
与该范数相容的向量范数为 1- 范数的 n 倍，即 ||x|| = n||x||1 = n(
∑
|bij|) = |||A||||||B|||, 即得次乘性.
∑
|aik||bkj| = (
|aij|. 则 |||AB||| =
|∑
|aij|)(
∑
∑
∑
|xi|.
n
i,j=1
n
i,j=1
n
i,j=1
n
i,j=1
n
k=1
n
i=1
容的向量范数;
∑
n
i,j=1
n
k=1 aikbkj| ≤
49
(2) 记矩阵 A 仿照向量的 ∞- 范数为 |||A||| = max
1•i,j•n
素均为 1)，则 |||A2||| = 2 > 1 = |||A|||2，故不满足次乘性。
|aij|. 取 A = J 为 2 阶全 1 矩阵 (元
15. 证明公式 (5.1.12).
jjAxjj
证明：因为 x 6= 0, 故
jjxjj = ||A xjjxjj||，由于 xjjxjj 的范数为 1，即得所需。
16. (1) 证明 |||A|||2 = (ρ(A
⁄
A))1/2 定义了一个矩阵范数, 称为 A 的谱谱谱范范范数数数;
(2) 试求一个与矩阵的谱范数相容的向量范数;
(3) 证明若 A 是正规矩阵, 则 A 的谱范数就是其谱半径 ρ(A);
(4) 设 V 是由全体 Hermite 矩阵构成的复线性空间, 证明谱半径给出 V 上的一个向量范
数. 该范数是矩阵范数吗?
证明：(1), (2) 与 (3) 参见第 13 题；
(4) 由于 Hermite 矩阵是正规矩阵，故由 (2) 可知谱半径给出 V 上的一个向量范数. 由
谱半径给出的向量范数不是矩阵范数：设 A =
, B =
, 则 ρ(AB) = 2 >
(
)
(
1 1
0 0
)
1 1
0 0
1 = ρ(A)ρ(B). 即使限定在 Hermite 矩阵范围内，也不满足次乘性，比如 A =
= B,
则 ρ(AB) = 3 > 3+
p
2 = ρ(A)ρ(B).
5
(
)
1 1
1 0
(
)
2 0
0 0
满足条
17. 试构造两种矩阵范数使得一个矩阵 A 的两种范数分别为 2 与 1/3. 能否使所有非零矩
阵的两种范数之积等于 1?
解：第一种范数取为 1- 范数，第二种取为 1- 范数的 1/6，则矩阵 A =
件. 不存在两种范数使得所有非零矩阵的两种范数之积等于 1：否则，任何非零矩阵的第二种
矩阵范数将等于第一种的倒数，故齐次性将不被满足。
18. (1) 证明向量范数的代数性质: 有限种向量范数的任意正线性组合仍是向量范数;
(2) 设 || · ||α 与 || · ||β 是两种向量范数或矩阵范数, p > 0. 判断
[(|| · ||α)p + (|| · ||β)p ]1/p
是否为向量范数或矩阵范数?
(3) 判断矩阵范数是否有与向量范数相同的代数性质 (1)?
证明：(1) 设 || · ||i, i = 1, 2,··· , n 是有限种向量范数, 而
|| · || =
ai|| · ||i, ai > 0.
|| · || 的正定性与齐次性是显然的。故只需证明三角不等式：
n∑
n∑
ai||x + y||i ≤ n∑
||x + y|| =
ai(||x||i + ||y||i) =
ai||x||i +
i=1
i=1
i=1
n∑
i=1
ai||y||i = ||x|| + ||y||.
(2) 记 || · || = [(|| · ||α)p + (|| · ||β)p ]1/p. 则 || · || 显然是正定的与齐次的。下面证明三角不等
式：
50
n∑
i=1
1/p
]
)
)
||x||p
α + ||x||p
[(
(
(||x + y||)p = (||x + y||α)p + (||x + y||β)p ≤ (||x||α + ||y||α)p + (||x||β + ||y||β)p
≤
||y||p
α + ||y||p
所以 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
∑
(3) 由于矩阵范数是向量范数，故只需考察次乘性：易知此条一般不成立。例如：在本
i=1 ai||I||i = 0.5，而我们知道单位矩阵的任何矩阵范
= (||x|| + ||y||)p .
jjIjji
2n , 则 ||I|| =
+
n
p
1/p
β
β
题 (1) 的证明中取 ai =
数均不小于 1.
19. 利用特征值的定义直接证明矩阵 A 的谱半径不超过矩阵 A 的任何一种矩阵范数. 此
结论可以换成矩阵的任何一种向量范数吗?
证明：(1) 设 ||| · ||| 是任何一种矩阵范数，|| · || 是与其相容的一种向量范数. 设 λ 是 A 的
jjαjj = λ.
一个特征值，α 是 λ 的特征向量。则 |||A||| = supx6=0
jjAxjj
jjxjj ≥ jjAαjj
(2) 不能。存在向量范数，使得矩阵 A 的向量范数任意小.
20. 证明公式 (5.1.13) 定义了一个与矩阵范数 ||| · ||| 相容的向量范数.
证明：直接验证即可。
21. 设 T 为正交矩阵, 又 A ∈ Rn£n. 证明:
(1)|||T|||2 = 1;
(2)|||A|||2 = |||T A|||2;
(3) 试解释上面的两个结果.
证明：直接验证即可得 (1) 与 (2).
(3) 正交矩阵的 2- 范数为 1 反映了正交变换保持长度这一特征；(2) 表明矩阵的 2- 范数
在正交变换下不变。
22. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 其中 A 可逆而 B 不可逆, 设 ||| · ||| 是任何一种矩阵范数. 定义 A
的条件数 Cond(A) = |||A||||||A
¡1|||. 证明: |||A − B||| ≥ 1/|||A
¡1|||. 解释这个结果.
¡1B 是奇异矩阵，故 1 是 I − A
¡1B 的一个特
证明：A
¡1(A − B) = I − A
¡1B. 由于 A
征值，因此 |||I − A
¡1B||| ≥ 1. 从而 |||A
¡1||||||(A − B)||| ≥ |||A
¡1(A − B)||| ≥ 1.
上 述 不 等 式 可 改 写 为 |||A − B||| ≥ |||A|||/Cond(A). 由 于 Cond(A) = |||A||||||A
¡1||| ≥
¡1||| ≥ 1, 故该不等式表明存在与可逆矩阵 A“最接近”的奇异矩阵，因此用奇异矩
|||AA
阵逼近可逆矩阵是可能的。
(∑
)
23. (奇异值与矩阵的范数) 设 A ∈ Cm£n, σ1, σ2, ··· , σn 是 A 的全部奇异值. 证明:
(1) Cond(A) = σ1(A)/σn(A), 其中 σ1(A) 与 σn(A) 分别是 A 的最大和最小奇异值.(参考
第四章例 4.5.5.)
(2)|||A|||F =
r
i=1 σ2
i
(3)|||A|||2 = σmax(A).
24. (1) 证明定理 5.1.3;
(2) 设 U, V 是任意赋范线性空间 (不必有限维), σ ∈ Hom(U, V ). 证明: σ 连续 ⇐⇒ σ 有
⁄
1/2 = (tr(A
A))1/2;
界.
25. 证明引理 5.2.1 与定理 5.2.1.
51
(
1
k2
2
)
, 求 lim
k!1 Ak.
k2+k
k2+1
(1 − 2
k )k
)
.
26. 设 Ak =
(
、解：
0
2 e
1
¡2
27. 设 limk!1 Ak = A.
(1) 如果 Ak 均为正定矩阵, 问 A 有何特点?
(2) 如果 Ak 均为正规矩阵, 问 A 有何特点?
(3) 如果 Ak 均为可逆矩阵, 问 A 有何特点?
解：(1) A 半正定；
(2) A 也正规；
(3) A 未必可逆。
28. 若 lim
n!1 An = B, 则 B 为幂等矩阵.
证明：B2 =
lim
n!1 An
= lim
n!1 A2n = B.
[
(
2
]
)
1∑
k=0
, 求
Ak
2k .
.
解：
(
30. 设 A =
4 −1
0
4
29. 证明命题 5.2.1.
2 − 1
)
2
0
2
−0.6
0
−0.6
(
−2
32. (1) 设 A =
(2) 已知 J =
解：幂收敛.
31. 设 A =
1
0.2
1
0.8
0
0.8
)
0
0
1 −2
1 1
1
(
¡2
解：(1)
e
(2)
0
¡2
e
,
1
− 1
2 e
¡2
1
2
e e
e
e2
. 试判断 A 是否幂收敛.
2
, 求 eA, sin A, cos A;
, 求 eJ , sin J, cos J.
(
)
(
)
− sin 2
0
2 sin 2 − sin 2
sin 1
0
1
,
,
cos 1
sin 1
)
.
0
cos 2
1
− 1
2 cos 2
1
2
,
cos 2
cos 1 − sin 1
cos 1
.
sin 2
cos 2
33. (1) 证明定理 5.3.1;
(2) 利用 (1) 求第四章习题 1 中所有正规矩阵的指数函数, 正弦函数和余弦函数.
52
证明：(1) 因为 A 是单纯矩阵，故 f(A) 也是单纯矩阵。又注意属于 f(A) 的特征值 f(λ)
的特征向量与属于 A 的特征值 λ 的特征向量一致，故 f(A) 的谱分解的主幂等矩阵 Pi 与 A 的
谱分解中的主幂等矩阵一致，即得定理。(2) 前两个矩阵是正规矩阵，设 f(t) = et, sin t, cos t,
则 f(At) = U f(Dt)U
⁄. 故得
(i) f(At) = Udiag (f(t), f(−t), f(−2t))U
⁄ =
2if(t) − if(−2t)
4f(t) + 2f(−2t)
f(t) + 3f(−t) + 2f(−2t)
2f(−√
f(t) − 3f(−t) + 2f(−2t)
−2if(t) + 2if(−2t)
f(t) − 3f(−t) + 2f(−2t) 2if(t) − 2if(−2t) f(t) + 3f(−t) + 2f(−2t)
(ii) f(At) = Udiag (f(0), f(−√
−√
−√
2f(−√
2t) 2f(0) − √
√
2 if(−√
−√
2f(0) + f(−√
√
⁄ =
2 if(−√
√
2t), f(
√
2f(−√
2t) +
2t) −2if(0) + if(−√
√
√
2t) − √
2t) + 2f(
2t)
√
√
2t)
2 if(
2f(
√
√
√
2t)
2 if(
√
2f(
2t) +
2t) + if(
−2if(t) + if(−2t)
√
2f(−√
2 if(
.
2f(0) +
1
6
1
4
2t))U
2t) +
2t) +
2t)
2f(
√
2t) − √
√
√
2t)
√
2 if(
2t)
2t) + f(
.
2t)
34. 证明命题 5.3.3 与命题 5.3.4(2).
证明：利用 eA 的定义直接验证即可得命题 5.3.3；利用 deAt
dt = AeAt 以及指数函数与三
角函数的关系可得命题 5.3.4(2).
35. 对下列方阵 A, 求矩阵函数 eAt:
(1) A =
(2) A =
,
0
1
0
0
0
1
−8 −12 −6
,
(3) A =
− 5
6 et + 11
15 e
6 et + 1
15 e
6 et − 14
15 e
5
10
¡2t + e3t
¡2t + e3t
¡2t + e3t
10
10
5
et
3
− et
− et
3
− 11
15 e
− 1
15 e
3 + 14
15 e
¡2t + 2
5 e3t
¡2t + 2
5 e3t
¡2t + 2
5 e3t
解：(1)
2
1
1
3
1
1
3 −1
2 −2
et
2t2+2t+1
e
2 + e3t
− et
2 + e3t
− et
2 + e3t
¡2t −5e
0
0
¡2t
2
2
(2) e
(3)
;
.
2(t+1)
1
2 t2
−4t2 −4t2+2t+1 −t2−t
8t(t−5)
4t(2t−3) 2t2−12t+1
¡2t+6te
¡2t+5e
¡3t
e
¡2t−2e
¡3t
2e
¡3t e
¡2t+3te
¡2t
0
¡2t
e
36. 求下列两类矩阵的矩阵函数: cos A, sin A, eA:
(1)A 为幂等矩阵;
(2)A 为对合矩阵 (即 A2 = I).
解：(1) I + ( cos 1 − 1)A, ( sin 1)A, I + (e − 1)A;
(2) ( cos 1)I, ( sin 1)I, eI.
37. 设函数矩阵 A(t) =
, 其中 t 6= 0. 计算 lim
t!0
sin t
sin t
t
1
cos t
et
0
t
t2
t3
53
.
1
3
0 −3
0
2 −2
0
−2
;
A(t),
d
d t
A(t),
d 2
d t2 A(t).
0 1 0
1 1 0
1 0 0
,
解：
38. 设函数矩阵 A(t) =
1
2(e2 − 1)
1 − e
¡1
3
2
解：
t cos t¡ sin t
cos t
e2t
t2
0
1
0
1
2t
3t2
− sin t
et
0
,
, 计算
∫
, 2t
e2t2
t2et2
2e2t2
t2
0
0
tet
¡t 2e2t
e
3t
0
1
3
1
e2 − 1 0
0
0
¡t2
e
3t2
0
.
t4
0
0
.
− cos t
et
0
0
2
6t
− sin t
(2 − t2) sin t − 2t cos t
∫
0
d
d t
A(t) d t 和
t2
0
A(s) d s.
39. 证明: (1) 若 A 为实反对称矩阵, 则 eA 为正交矩阵;
(2) 若 A 为 Hermite 阵, 则 eiA 为酉矩阵.
证明：因为 eA(eA)T = eAeAT = eA+AT . 故
(1) 若 A + AT = 0，则 eA(eA)T = e0 = I.
(2) 若 A
⁄ = A, 则 iA + (iA)⁄ = iA − iA
⁄ = 0. 因此 eiA(eiA)⁄ = e0 = I.
40. 详细证明定理 5.4.2.
P
¡1f(J)P = P
g(ki¡1)(λi), i = 1, 2,··· , s.
证明：设 A 的 Jordan 标准形为 P
¡1g(J)P ⇐⇒ f(Ji) = g(Ji),∀i. 因此，f(λi) = g(λi), f
0(λi) = g
0(λi),··· , f (ki¡1)(λi) =
¡1AP = J = J1 ⊕ ··· ⊕ Js, 则由 f(A) = g(A) ⇐⇒
41. 证明引理 5.4.1 即 Lagrange 插值公式并利用线性空间的直和分解理论解释之.
证明：诸 Li, i = 1, 2,··· , n+1 均为 n 次多项式，且易知它们是线性无关的 (为什么？)，
故它们构成 n + 1 维线性空间 R[x]n+1 的一组基，因此每个次数不超过 n 的多项式均可由该
组基唯一地线性表示.
42. (1) 设 Jn(λ) 是一个 n 阶 Jordan 块, 求 sin Jt, cos Jt;
(2) 对任意 n 阶矩阵 A, 导出 sin At 与 cos At 的一般表达式.
解：(1) Jn(λ) 极小多项式就是其特征多项式 m(x) = (x − λ)n. 因此可设 f(x) =
n¡1
k=0 akxk. 欲使 f(A) = g(A)，只需 f (k)(λ) = g(k)(λ), k =
n¡1
k=0 tk sin (tλ+kπ/2)/(k!)J k.
sin (tx), sin Jt = f(A), g(λ) =
0, 1,··· , n−1。可得 ak = tk sin (tλ+kπ/2)/(k!). 代入得 sin Jt =
∑
∑
cos Jt 的表达式类似, 略去.
(2) 设 A = P JP
¡1, J 是 A 的 Jordan 标准形，则 sin At = P ( sin Jt)P
¡1.
, 求 eAt, sin At, cos At;
43. (1) 设 A =
(
1 1 0
)
0 2 1
0 0 3
0
1−1 0
, 求 eAt, sin At, cos At.
(2) 设 A =
解：(1) A 的极小多项式就是其特征多项式 m(λ) = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3). 因此可
设 f(t) = eλt, eAt = f(A), g(λ) = a0 + a1λ + a2λ2. 欲使 f(A) = g(A)，只需 f(i) = g(i), i =
1, 2, 3。可得 a0 = 3et − 3e2t + e3t, a1 = (−5et + 8e2t − 3e3t)/2, a2 = (et − 2e2t + e3t)/2. 代入
54
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
