2013年广东高考文科数学试题及答案.doc

发布时间：2022-10-03 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.84M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2013 年广东高考文科数学试题及答案本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．锥体的体积公式： V  1 3 Sh ．其中 S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 S  { | x x 2  2 x  0, } x R  ， T  { | x x 2  2 x  0, } x R  ，则 S T  A．{0} B．{0,2} C．{ 2,0}  D．{ 2,0,2}  【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选 A，5 分到手，妙！ 2．函数 ( ) f x  的定义域是 1) lg( x  1 x    C．( 1,1)  ) A．( 1,   B．[ 1, )  (1,  ) D．[ 1,1)   (1,  ) 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测 C！ 3．若 ( i x  yi ) 3 4   ， ,x y R ，则复数 x i yi 的模是 A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】：复数的运算、复数相等，目测 4,  x 5  2 )  B． 4．已知 sin( 2 5 A．  1 5 1  5  ，那么 cos 1 5 5  2 sin( C．【解析】：考查三角函数诱导公式， y   ，模为 5，选 D. 3 D． 2 5  )   sin(2 +   2  )   sin    2        cos   1 5 ，选 C. 5．执行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是 A．1 B．2 C．4 D．7 【解析】选 C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥的体积是 A． 1 6 B． 1 3 C． 2 3 D．1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 2，则 V = 1 1  3 2  1 1 2=   1 3 ，选 B.

7．垂直于直线 y x  且与圆 2 x 1 2 y  相切于第一象限的直线方程是 1 A． x y  2  0 B． x y   1 0 C． x y   1 0 D． x y  2  0 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于 1r  ，排除 B、C；相切于第一象限排除 D，选 A.直接法可设所求的直线方程为： y    x  k k  ，再 0 利用圆心到直线的距离等于 1r  ，求得 k  2 . 8．设l 为直线， ,是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若 // l ， // l ，则 //  B．若l  ，l  ，则 //  C．若l  ， // l ，则 //  D．若  ， // l ，则l  【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选 B 了. 1 2 9．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 (1,0) ，离心率等于 F ，则 C 的方程是 A． 2 x 3 2  y 4  1 B． 2 x 4  y 2 3  1 C． 2 x 4 2  y 2  1 D． 2 x 4 2  y 3  1 【解析】基础题， 1,  c a  2, 10．设   a 是已知的平面向量且  0 ①给定向量 ②给定向量  b ，总存在向量  b 和 ③给定单位向量 3  ，选 D. b  a ，关于向量  c ，使    a   b c ；  a  a 的分解，有如下四个命题：   c ； c ，总存在实数和，使    b 和正数，总存在单位向量    c ； c 和实数，使    b   b    c ； c ，使    a   b  a   ④给定正数和，总存在单位向量  b 和单位向量上述命题中的向量  b ，  c 和  a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量

加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须      = +  b c a ，所以④是假命题.综上，本题选 B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何. 【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题 3322 再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共 5 小题．考生作答 4 小题．每小题 5 分，满分 20 分．（一）必做题（11～13 题） 11．设数列{ }na 是首项为1，公比为 2 的等比数列，则 1 a  | a 2 | a   3 | a 4 |  【解析】这题相当于直接给出答案了15 12．若曲线 y  2 ax  ln x 在点 (1, )a 处的切线平行于 x 轴，则 a  ．【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意 ' y  2 ax  1 x , ' y x 1   2 a 1 0,     a 1 2 13．已知变量 ,x y 满足约束条件 03 x y  1 1 x  1 y       ，则 z   的 x y 最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为 1,4 ，故填 5 ；（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为   2cos  ．以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程  x  2 1  2 y  ，易的则曲线 C 的参数方程为 1 15．（几何证明选讲选做题）  x    y 1 cos   sin  （为参数）如图 3，在矩形 ABCD 中， AB  3, BC  ， BE 3 AC ，垂足为 E ，则 ED  ．【解析】本题对数值要敏感，由 AB  3, BC  ，可知 3 BAC   60 从而 AE  3 , 2  CAD  30  ，

DE  2 AE  2 AD  2 AE AD   cos30  21 2 . 【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  2 cos  x  12      , x R  ． (1) 求 f   3     的值； (2) 若 cos    , 3 5     3  2 ,2     ，求 f     6   ．【解析】(1) f     3     2 cos      3 12      2 cos     4     1 （2）  cos   3 5 ,      3  2 ,2     ， sin    1 cos  2    ， 4 5  f         6  = 2 cos         4    2 cos cos     4  sin sin     4    1 5 ．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了. 17．（本小题满分 13 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数（个） 5 10 20 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95) 的频率； (2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85) 和[95,100) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在[80,85) 的有几个？ (3) 在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80,85) 和[95,100) 中各有 1 个的概率．

【解析】（1）苹果的重量在 （2）重量在 85,80 的有 4  95,90 的频率为 5 =1 个； 5+15 20 =0.4 50 ；（3）设这 4 个苹果中 85,80 分段的为 1， 100,95  分段的为 2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共 6 种；设任取 2 个，重量在 中各有 1 个的事件为 A，则事件 A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共 3 种，所以  85,80 和 100,95 3 1 2 6   . (A) P 【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！ 18．（本小题满分 13 分）如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， ,D E 分别是 ,AB AC 边上的点，AD AE ，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点G ，将 ABF  沿 AF 折起，得到如图 5 所示的三棱锥 A BCF  ，其中 BC  2 2 ． (1) 证明： DE //平面 BCF ； (2) 证明：CF  平面 ABF ； (3) 当 AD  时，求三棱锥 F DEG  2 3 的体积 F DEG V  ．【解析】（1）在等边三角形 ABC 中， AD AE   AD AE EC DB  也成立， / /DE BC BC  平面 BCF ， ,在折叠后的三棱锥 A BCF  中 , DE   平面 BCF ， / /DE 平面 BCF ；（2）在等边三角形 ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AF BC ①， BF CF  在三棱锥 A BCF  中， BC  2 2 ，  BC 2  2 BF  CF 2   CF BF ② 1  . 2  BF CF F CF     平面 ABF ；（3）由（1）可知 / /GE CF ，结合（2）可得GE  平面 DFG .

 V F DEG   V E DFG    1 1 3 2  DG FG GF     1 1 1 3 2 3       1 3  3 2  1     3  3 324 【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容. a a a 构成 , , 且 2 5 14 19．（本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 4 S n 2 a  1 n  4 n  1, , n N   等比数列． a (1) 证明： 2  14 a  ； 5 (2) 求数列 na 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 n ，有 1 a a 1 2  1 a a 2 3    1 a a  1 n n  1 2 ．【解析】（1）当 1n  时， 4 a 1  a 2 2  5, a 2 2  4 a 1  ， 5  na    a 0 2 4 a 1  5 （2）当 2 n  时， 4 S   1 n a 2 n  4  n 1   ， 1  4 a n  4 S n  4 S n 1   a 2 1 n   a 2 n  4 a 2   1 n a 2 n  4 a n   4  a n  2 2  , a n   0 a n 1   a n  2 当 2 n  时， na 是公差 d  的等差数列. 2  , a a a 2 14 , 5 构成等比数列， 2 a 5   a a 2 14  ， a 2  2 8   a 2   a 2  24  ，解得 2 3 a  , 由（1）可知， 4 a 1  a 2 2  5=4,   a 1 1  a 2 a 1    3 1 2   na 是首项 1 1 a  ,公差 d  的等差数列. 2 数列 na 的通项公式为 na 2 n 1  . （3） 1 a a 1 2  1 a a 2 3    1 a a n n 1   1 1 1 3 3 5     1 5 7     1  1 2 n  1   2 n 

 1    1   2 1 2     1       1     3   1   1 n         1 5  1 7        1  1 2 n  1 1 n        2  1 1 3 5 1 2  . 2 【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知 nS 求 na ， na 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成 1n  ， 2 n  来做后，不会求 1a ，没有证明 1a 也满足通项公式. 20．（本小题满分 14 分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点  F 0, c  c  到直线 : l x 0  y   的距离为 2 0 3 2 2 ．设 P 为直线l 上的点，过点 P 作抛物线C 的两条切线 ,PA PB ，其中 ,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程； (2) 当点   , 0 0 P x y 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3) 当点 P 在直线l 上移动时，求 AF BF 的最小值．【解析】（1）依题意 d  2 0 c   2  3 2 2 ，解得 1c  （负根舍去） 抛物线C 的方程为 2 x y ； 4 （2）设点 1 ( A x y 1 , ) , ( B x , 2 y ， 2 ) ( xP , 0 y 0 ) ，由 2 x  4 y ,即 y  21 x , 4 得 y  1 2 x . ∴抛物线C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y  y 1  x 1 2 ( x  x 1 ) ，即 y  xx 1 2  y 1  1 2 2 x 1 . ∵ y  1 1 x 4 2 1 ， ∴ y  xx 1 2  y 1 . ∵点 ( xP , 0 y 0 ) 在切线 1l 上, ∴ y 0  xx 1 2 0  y 1 . ①

同理， y 0  xx 2 2 0  y 2 . ② 综合①、②得，点 1 ( A x y B x y 的坐标都满足方程 ), ( ) , , 2 2 1 y 0  xx 2 0  y . ∵经过 1 ( A x y B x y 两点的直线是唯一的， ), ( ) , , 2 2 1 ∴直线 AB 的方程为 y 0  （3）由抛物线的定义可知 xx 2 AF  y x x ，即 0 0  2 y  2 y 0  ； 0  y 1  1, BF  y 2 1  ，所以 AF BF    y 1   1 y 2  1   y 1  y 2  y y 1 2  1 联立    2 4 x y  2 x x y  0  2 y 0  0 ，消去 x 得 2 y   2 y 0  x 2 0  y  2 y 0  ， 0   y 1 y 2  2 x 0  2 , y y y 0 1 2  y 2 0  x 0 y 0   2 0  AF BF   y 2 0  2 y 0  x 2 0  1= y 2 0  2 y 0   y 0  2 2  1 =2 y 2 0  2 +5=2 y 0 y   0  2 1 2    + 9 2 当 0 y   时， AF BF 1 2 取得最小值为 9 2 【解析】2013 广州模直接命中了这一题，广一模 20 题解法 2 正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！ 21．（本小题满分 14 分）设函数 )( xf  3 x 2  kx  x  Rk  ． (1) 当 1k 时,求函数 )(xf 的单调区间； (2) 当 0k 时,求函数 )(xf 在 k k , 上的最小值 m 和最大值 M ．【解析】：  f ' x   23 x  2 kx  1 (1)当 1k  时  f ' x   23 x  2 x 1,     4 12    8 0

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