2001年广东高考数学真题及答案.doc-资料库

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2001 年广东高考数学真题及答案说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟. 参考公式：三角函数的积化和差公式 )   )      sin( )]   sin( )]   cos( )]   sin  cos cos  sin   [sin( [sin( 1 2 1 2 1 [sin( 2 1  2  cos  cos )   sin  sin [cos( )    cos( )]   正棱台、圆台的侧面积公式 S台侧= 1 2 (c′+c)l 其中 c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式 V台体 = 1 3 ( S   SS ) hS 其中 S′、S分别表示上、下底面积，h表示高．第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式 x x   1 3 ＞０的解集为 A．｛ｘ｜ｘ＜１｝ C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ B．｛ｘ｜ｘ＞３｝ D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝ 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个圆锥的全面积是Ａ．３π Ｂ．３ 3 π Ｃ．6π Ｄ．９π 3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是 A．两条相交直线 B．圆 C．椭圆 4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0， D．双曲线则ａ的取值范围是 1 2 A．（０，）Ｂ．（０， 1 2 ] 5．已知复数ｚ＝ 2  i6 ，则ａｒｇ A．  3 Ｂ． 5 3 1 2 Ｃ．（ 1 Z 是Ｃ．  6 ，＋∞）Ｄ．（０，＋∞）Ｄ． 11 6

1 1 x 1 1 x  4 1 1 x 1 x ，ｘ∈（１，２），ｘ∈（１，２] 1 6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是 A．ｙ＝ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２ 7．若０＜α＜β＜，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则 A．ａ＞ｂＢ．ａ＜ｂＣ．ａｂ＜１Ｄ．ａｂ＞2 8．在正三棱柱 ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ 2 ＢＢ１，则 AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为 A．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120° 9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题 ①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增； ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减； ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减其中，正确的命题是 A． ①③ 10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点 Q，点 P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则 a的Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④ 取值范围是 A．（－∞,０） B．（－∞,２） 11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 C．［０,２］ D．（０,２）记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．Ｂ．P３＞P２＝P１Ｄ．P３＝P２＝P１若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 A．P３＞P２＞P１Ｃ．P３＝Ｐ２＞Ｐ１ 12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点 A向结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为 A．２６Ｂ．２４Ｃ．２０Ｄ．１９第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有种可能(用数字作答) 新疆王新敞奎屯

14．双曲线 2 x 9 2  y 16  1 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点 P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点 P到ｘ轴的距离为新疆王新敞奎屯 15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝新疆王新敞奎屯新疆王新敞奎屯 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分 12 分) 已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk＝２５５０． (Ⅰ)求ａ及ｋ的值； 1 S )1 S 1( S lim n  (Ⅱ)求   1 2   n 19．(本小题满分 12 分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面 ABCD， SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝ 1 2 ． (Ⅰ)求四棱锥 S—ABCD的体积； (Ⅱ)求面 SCD与面 SBA所成的二面角的正切值． 20．(本小题满分 12 分) 设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留 5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈ 小? 21．(本小题满分 14 分) 2[ 3 3, 4 ] ，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最已知椭圆 2 x 2 2  y  1 的右准线 l与 x轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F的直线与椭圆相交于 A、B两点，点 C在右准线 l上，且ＢＣ∥x轴求证直线 AC经过线段 EF的中点． 1 2 22．(本小题满分 14 分) 设ｆ（ｘ）是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且 f(1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ 1( 2 ), f 1( 4 ) ； (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；

（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋ 1 n2 ），求 lim n  (ln a ) n ．一、选择题 1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 参考答案二、填空题 13.4900 14. 16 5 三、解答题 15.1 16.2n(n-1) 17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ x  2 2 ＝ sin( 2)   4 所以最小正周期Ｔ＝π． 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则 a１＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０．由已知有 a+3a=2×４，解得首项 a１＝ａ＝２，公差 d=a２－ａ１＝２．代入公式 Sｋ＝ｋ·ａ１＋ )1 ( kk  2  d 得 k 2  )1 ( kk  2 2  2550 ∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得 k=50,k=-51(舍去) ∴a=2,k=50. (Ⅱ)由 S n an  1   d 得 Sｎ＝ｎ（ｎ＋１）， )1  ( nn  2 1 21  1- 1( 1 2 1 S 1  1 S 2    1 S n   )   1 32  1( 1- 2 3   )   )1 1 ( nn  1-1( nn   ) 1 1  1  1  1(  lim n  1  1 n 1)  n )1 S n  lim n  1( S 1  1 S 2    19．解：(Ⅰ)直角梯形 ABCD的面积是 M底面= = 1 ( BC 2 5.01  2  AD 1  AB  ) 3 4 ∴四棱锥 S—ABCD的体积是５分 8 分 10 分 2 分 6 分 9 分 12 分 2 分

V  1 3 底面MSA  31  4 1 3  1 4 (Ⅱ)延长 BA、CD相交于点 E，连结 SE，则 SE是所求二面角的棱 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面 ABCD，得面 SEB⊥面 EBC，EB是交线. 又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面 SEB，故 SB是 SC在面 SEB上的射影， ∴CS⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 ∵ＳＢ＝ 2 SA  2 AB  ,2 BC  ,1 BC  SB ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝ BC SB 2 2 即所求二面角的正切值为 2 2 4 分 6 分 10 分 12 分 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０设纸张面积为 S，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3 分 1 分将ｘ＝ 22 10  代入上式得Ｓ＝５０００＋４４ 8(10  )5  当８   ,5  即   5 8 5( 8  )1 时，S取得最小值， 5 分此时，高：ｘ＝宽：λｘ＝ 4840   5 8 88  88 cｍ，如果λ∈［ 2 3 3, 4 ］，可设  2 3 55 ｃｍ    2 1  3 4 ，则由 S的表达式得 8 分Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４ 8(10  1  5  1  8  2  )5  2 = 44 (10  1 2  8)(  5  2 11 ) 10 分由于  1 2  2 3  5 8 , 8 故  5  2 1  0

因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以 S（λ）在区间［］内单调递增. 从而，对于λ∈［ 2 3 ］，当λ＝ 2 3 时，S（λ）取得最小值 3, 4 2 3 3, 4 2 3 3, 4 ］, 12 分答：画面高为 88ｃｍ、宽为５５ｃｍ时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［当λ＝ 2 3 时，所用纸张面积最小. 21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为 F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点 E的坐标为(2，0)，EF的中点为 N( 3 2 ，0) 3 分若 AB垂直于 x轴，则 A（１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC中点为 N( 3 2 ，0)，即 AC过 EF中点 N. 若 AB不垂直于 x轴，由直线 AB过点 F，且由 BC∥x轴知点 B不在 x轴上，故直线 AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记 A（ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则 C（２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程 2 2 ( k x   )1 2 x 2 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０， 1  ∴ｘ１＋ｘ２＝ 2 4 k 21  2 k , xx 21  )1 2 １０分 2 (2 k  21 k  3 2 又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－ ≠０，故直线 AN，CN的斜率分别为ｋ１＝  (2 )1 xk  1 2 3 x  1 y 1  x 1 3 2 k 2  y 2  2 3 2  (2 xk 2  )1 ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ· ( x 1 )1  x 1  )3 ( x 2 2 x 1   2)(1 3 ∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ 1 21  21(4)1  12[ (4   k k k k 2 2 2 ＝ 2 )]  0 ∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故 A、C、N三点共线. 所以，直线 AC经过线段 EF的中点 N. 14 分 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，所以 1 2 ］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,

)( xf    f )1( f 1( 2 )  )  xf (  2 1( f 2 1(  4 f x 2  1 2 ) 1 4 xf ( )  2 1( f 2 1( ) 4 f  )  xf ( ) 2 1( f 2 1( ) 4 f  ,0 )  [  [ f x 2 )] ]1,0[  1( f 2 1( )] 4 2 )   ｆ（１）＝ａ＞0， ∴ f 1( 2 1 2 , f )  a 1 4 )  a 1( 4 (Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ这表明ｆ（ｘ）是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期. （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ 3 分 6 分 10 分 f (  1[ 2 n 1)1  2 n f   )  n 1)1  2 n ]  ]  1( 2 n )  [ f 1( 2 n n )] [( nf 1( 2 n f ∵ f 1( 2 )  ( nf  1 2 n )    f f 1( 2 n 1( 2 n )  )  1 2 )  a f 1( 2 ∴ f 1 na 2 )  1( 2 n ∵ｆ（ｘ）的一个周期是 2 ∴ｆ（２ｎ＋ 1 n2 ）=ｆ（）,因此 an= 1 na 2 1 n2  lim n  (ln a n )  lim n  1( 2 n ln a )  0 12 分 14 分

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