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算法设计与分析基础 （第2版） 课后答案-清华大学出版社.docx
算法设计与分析基础课后练习答案
习题 1.1
4.设计一个计算
的算法，n 是任意正整数。除了赋值和比较运算，该算法只
能用到基本的四则运算操作。
算法求
//输入：一个正整数 n 2
//输出：。
step1:a=1；
step2:若 a*a
P—农夫 W—狼
2.(过桥问题)
G—山羊 C—白菜
1,2,5,10---分别代表 4 个人, f—手电筒
4. 对于任意实系数 a,b,c, 某个算法能求方程 ax^2+bx+c=0 的实根,写出上述算法
的伪代码(可以假设 sqrt(x)是求平方根的函数)
算法 Quadratic(a,b,c)
//求方程 ax^2+bx+c=0 的实根的算法
//输入:实系数 a,b,c
//输出:实根或者无解信息
If a≠0
D←b*b-4*a*c
If D>0
temp←2*a
x1←(-b+sqrt(D))/temp
x2←(-b-sqrt(D))/temp
return x1,x2
else if D=0 return –b/(2*a)
else return “no real roots”
else
//a=0
if b≠0 return –c/b
else
//a=b=0
if c=0 return “no real numbers”
else return “no real roots”
5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法
a.用文字描述
b.用伪代码描述
解答：
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法
输入：一个正整数 n
输出：正整数 n 相应的二进制数
第一步：用 n 除以 2，余数赋给 Ki(i=0,1,2...)，商赋给 n
第二步：如果 n=0，则到第三步，否则重复第一步
第三步：将 Ki 按照 i 从高到低的顺序输出
b.伪代码
算法 DectoBin(n)
//将十进制整数 n 转换为二进制整数的算法
//输入：正整数 n
//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组 Bin[1...n]中
i=1
while n!=0 do {
Bin[i]=n%2;
n=(int)n/2;
i++;
}
while i!=0 do{
print Bin[i];
i--;
}
9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)
对这个算法做尽可能多的改进.
算法 MinDistance(A[0..n-1])
//输入:数组 A[0..n-1]
//输出:the smallest distance d between two of its elements
习题 1.3
1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它
小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.
a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序
b.该算法稳定吗?
c.该算法在位吗?
解:
a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:
b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序
c.该算法不在位.额外空间 for S and Count[]
4.(古老的七桥问题)
第 2 章
习题 2.1
7.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例)
a. 如果 t(n)∈O(g(n),则 g(n)∈Ω(t(n))
b.α>0 时,Θ(αg(n))= Θ(g(n))
解:
a. 这个断言是正确的。它指出如果 t(n)的增长率小于或等于 g(n)的增长率，那
么 g(n)的增长率大于或等于 t(n)的增长率
由 t(n)≤c·g(n) for all n≥n0, where c>0
则：
)()1(
nt
c
)(
ng
for all n≥n0
b. 这个断言是正确的。只需证明
(
(
ng
))
((
ng
)),
((
ng
))
(
(
ng
))
。
设 f(n)∈Θ(αg(n)),则有：
)(
nf
)(
ngc
for all n>=n0, c>0
)(
nf
)(
ngc
1
for all n>=n0, c1=cα>0
即：f(n)∈Θ(g(n))
又设 f(n)∈Θ(g(n)),则有：
)(
nf
)(
ncg
for all n>=n0,c>0
)(
nf
ngc
)(
)(
ngc
1
for all n>=n0,c1=c/α>0
即：f(n)∈Θ(αg(n))
8．证明本节定理对于下列符号也成立：
a.Ω符号
b.Θ符号
证明：
a。we need to proof that if t1(n)∈Ω(g1(n)) and t2(n)∈Ω(g2(n)), then t1(n)+
t2(n)∈Ω(max{g1(n), g2(n)})。
由 t1(n)∈Ω(g1(n))，
t1(n)≥c1g1(n)
for all n>=n1, where c1>0
由 t2(n)∈Ω(g2(n))，
T2(n)≥c2g2(n)
for all n>=n2, where c2>0
那么，取 c>=min{c1,c2},当 n>=max{n1,n2}时：
t1(n)+ t2(n)≥c1g1(n)+ c2g2(n)
≥c g1(n)+c g2(n)≥c[g1(n)+ g2(n)]
≥cmax{ g1(n), g2(n)}
所以以命题成立。
b. t1(n)+t2(n) ∈Θ(
证明：由大Ⓗ的定义知，必须确定常数 c1、c2 和 n0，使得对于所有 n>=n0，有：
(1
(2
ngng
max(
)))
),
1
c
max((
(1
(2
ngng
),
))
)(1
nt
)(2
nt
max(
(1
(2
ngng
),
))
由 t1(n)∈Θ(g1(n))知，存在非负整数 a1,a2 和 n1 使：
a1*g1(n)<=t1(n)<=a2*g1(n)-----(1)
由 t2(n)∈Θ(g2(n))知，存在非负整数 b1,b2 和 n2 使：
b1*g2(n)<=t2(n)<=b2*g2(n)-----(2)
(1)+(2):
a1*g1(n)+ b1*g2(n)<=t1(n)+t2(n) <= a2*g1(n)+ b2*g2(n)
令 c1=min(a1,b1),c2=max(a2,b2)，则
C1*(g1+g2)<= t1(n)+t2(n) <=c2(g1+g2)-----(3)
不失一般性假设 max(g1(n),g2(n))=g1(n).
显然，g1(n)+g2(n)<2g1(n)，即 g1+g2<2max(g1,g2)
又 g2(n)>0，g1(n)+g2(n)>g1(n),即 g1+g2>max(g1,g2)。
则（3）式转换为：
C1*max(g1,g2) <= t1(n)+t2(n) <=c2*2max(g1,g2)
所以当 c1＝min(a1,b1),c2＝2c2=2max(c1,c2)，n0＝max(n1,n2)时，当 n>=n0
时上述不等式成立。
证毕。
习题 2.2
2. 请用
的非正式定义来判断下列断言是真还是假。
a. n(n + 1)/2 ∈ O(n3) b. n(n + 1)/2 ∈ O(n2)
c. n(n + 1)/2 ∈ Θ(n3) d. n(n + 1)/2 ∈ Ω(n)
答：c 假，其它真。
5.按照下列函数的增长次数对它们进行排列（按照从低到高的顺序）
(n−2)!, 5lg(n+100)10, 22n, 0.001n4+3n3+1, ln2 n,
， 3n.
答：
习题 2.3
1. 计算下列求和表达式的值。
答
：
3. 考虑下面的算法。
a．该算法求的是什么？
b． 它的基本操作是什么？
c．该基本操作执行了多少次？
d． 该算法的效率类型是什么？
e．对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它们的效率类型。
如果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。
9.证明下面的公式：
可以使用数学归纳法，也可以像 10 岁的高斯一样，用洞察力来解决该问题。这
个小学生长大以后成为有史以来最伟大的数学家之一。
数学归纳法：
高斯的方法：
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