2011年江苏扬州大学数学分析考研真题.doc

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2011 年江苏扬州大学数学分析考研真题一、论述题 (要求: 正确的给出证明, 错误的给出反例) 1. 数列{ nx }收敛    0 ,  , N n N  时, | x n  . x  N |  2. 若 f 在 0x 处存在左、右导数, 则 f 在 0x 连续. 3. 若 f 在[ , a  上连续, )  a ( ) f x dx 收敛, 则 lim ( ) f x dx x  0  . 二、用 N 定义证明 1. lim n  n n 1  ; 三、求下列极限 2. 若数列{ }nx 满足 lim n x n   , 则 x lim n  x 1  x 2 x n    n x  . 1. lim 0 x  x e sin x tan  x (1 x x   x ) 2. lim [ x e x  (1   1 x ) ]x 3. lim[(1 n   1 n )(1  2 n ) (1   1 )] n n n

x 四、设 1  0, x n 1  1   3 x n 4 x  n , n  1,2,  , 证明: { }nx 收敛, 并求 lim n x n  . 五、设 ( ) f x sin , x  0; 存在导函数,但其导函数不连续.求实数范围. 1 x  x     0, x  0, 六、设 ( ) f x 在[ , ]a b 上连续,且对每一个 [ , ] a b x ,都存在 [ , ] a b y , 使得 | ( ) | f y  1 2 | ( ) | f x . 证明: 存在 [ , ]a b  , 使得 ( ) 0 f   . 七、求证: 若 f 为 R 上的连续单射, 则 f 为严格单调映射. 并利用该结论证明: 不存在 R 上的连续函数 g 使得 ( ( )) g g x x  . 八、设函数 )(xf 满足: 对任意函数 )(xg , f  )( x  f )()( xgx  )( xf  0 . 证明: ( f x 若 0 )  ( f x 1 )  0, ( x 0  x 1 ) , 则 f 在 [ , 0 xx 1 ] 上恒等于 0. 九、在[0,2] 上是否存在这样的连续可微函数 ( ) f x , 使得 (0) f f (2) 1  ,

| f '( ) | 1 x  , 且 | 2  0 ( ) | 1 f x dx  ? 十、证明: Riemann  函数  ( ) x    在 (1, 1 x n n 1  ) 上有任意阶连续导函数, 但该级数在 (1, ) 上不一致收敛. 十一、设 ( ) f x 在[0,1] 上可积, 且在 1x  处左连续, 求证: lim n  1 n  n x f x dx ( ) 0  f (1). 十二、设 ( ) f x 在(0,1] 上连续可微,并且 lim  0 x x f '( ) x 存在, 求证: ( ) f x 在 (0,1] 上一致连续. 十三、设 :f R 2 R 为二元连续函数, 求证: f 必有函数值取无穷多次.

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